初一数学本讲主要内容

1、初一数学本讲主要内容第五章 三角形 565.探索三角形全等的条件 6.作三角形二.学习指导5.探索三角形全等的条件我们知道 两个三角形能够重合,则这两个三角形是全等的三角形. 全等三角形的对应边相等,对应角相等 .换言之,两个三角形也只有 对应边相等,对应角相等 ,才能重合.我们可以这样说,两个三角 形全等的条件是三个角对应相等,三条边对应相等.当我们判断两个三角形是否全等时,是不是一 定要研究这六个条件呢?是否缺一不可呢?我们知道, 三角形的内角和等于 180°,那么三角形中, 只要知道两个角,就可得到第三个角,故全等的条件中可以减少一个角.这说明三角形全等的六个 条件是可以减少一

2、部分的.我们下面就来研究哪些条件可以减少.(1我们用三条线段,如长分别为 4cm , 5 cm, 6 cm的三条线段,可以画出一个三角形.再 画一个,我们可以看出,两次画的三角形是全等的.这样我们可以得到结论:三边对应相等的两个三角形全等 .这个结论可以简写为“ 边边边 ”或者“ SSS ” . 由这个结论可知,只要一个三角形的三边的长度确定了, 这个三角形的形状和大小就完全确定了.这个性质叫做 三角形的稳定性 .三角形的稳定性在生活中有很多应用的例子,如电线杆 上的横担,就用两个斜撑加固(如图 .如果已知一个三角形的三个角,画出的三角形就不一定全等.因为这样的两个三角形的形状是 相同的,但大

3、小不一定相等.(2我们知道一个三角形的两个角和一条边,来画一个三角形.这里有两种情况,先考虑这 边是两个角所夹的边.这样可以画出三角形,并且,如果再画一个,定与前一个全等.这样我们可 以得到结论:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 . 这个结论可以简写为“ 角边角 ”或者“ ASA ” .再来考虑一边是其中一个角的对边的情况,由于 三角形的内角和等于 180°,第三个角也对应 相等,即问题变成了上一种情况,于是我们可以得到结论:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 . 这个结论可以简写为“ 角角边 ”或者“ AAS ” .(3如果我们知道两条边和一个角,来画三角形.这也

4、有两种情况,一是条件中的角是两边 的夹角.这样可以画出三角形,并且,如果再画一个,定与前一个全等.这样我们可以得到结论:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 . 这个结论可以简写为“ 边角边 ”或者“ SAS ” . 但是, 如果条件中的角是一条边的对角, 情况就不一样了. 这样可以画出两个不全等的三角形,如图. AB =A 1B 1, AC =A 1C 1, B = B 1, 但 ABC 与 A 1B 1C 1不全等.即 两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形不一定全等. 6.作三角形我们已经学会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角,边和角是三角形的基本B1B 11元素,

5、那么我们就能用尺规作一个三角形和已知三角形全等.例如,已知:线段 a , c , .求作: ABC ,使 BC = a, AB =c , ABC = . 作法:1. 作一条线段 BC = a; 2. 以 B 为顶点, BC 为一边作 DBC = ; 3. 在射线 BD 上截取线段 BA = c;4. 连结 AC . ABC 就是所求作的三角形. (如下图 三.例题评析 例 1如图, AC 、 BD 相交于 O , AB =CD , AC =BD ,请说明 A = D 分析:要说明可以先说明它们所在的三角形 ABC 和 DCB 全等.解:连结 BC ,在 ABC 和 DCB 中,因为 AB =D

6、C , AC =DB , BC =CB , 所以 ABC DCB (SSS.所以 A = D (全等三角形的对应角相等 .说明:要说明也可先说明 ABO 和 DCO 全等.但本题中要说明这两个三角形全等的条件不 够.例 2如图, AB CD , AD BC ,请说明 AB =CD .解:连结 BD ,因为 AB CD ,所以 ABD = CDB ; 因为 AD BC ,所以 ADB = CBD , 又 BD =DB ,所以 ABD CDB (ASA .所以 AB =CD (全等三角形的对应边相等 .说明:这两个例题都是利用全等三角形来说明线段相等或角相等,都要在已知的图形中寻找或 构造全等三角

7、形. 例 3 如图,在 ABC 中, M 在 BC 上,D 在 AM 上, AB =AC , DB =DC ,请说明 MB =MC . 分析:要说明 MB =MC ,可以说明 ABM ACM ,但条件不够,于是要利用已有的条件来推出需要的条件.解:在 ABD 和 ACD 中,因为 AB =AC , DB =DC , AD =AD , 所以 ABD ACD (SSS .4312所以 DAB = DAC (全等三角形的对应角相等 .在 ABM 和 ACM 中,因为 AB =AC , MAB = MAC , AM =AM , 所以 ABM ACM (SAS . 所以 MB =MC (全等三角形对应边

8、相等 . 例 4 已知:线段 a , , .求作: ABC ,使 BC = a, B = , C = . 作法:1.作线段 BC = a;2.以 B 为顶点, BC 为一边作 CBD = ;3.以 C 为顶点, CB 为一边作 BCE = , CE 与 BD 交于点 A . ABC 就是所求的三角形. 四.习题 1. (1三个内角分别对应相等的两个三角形是否全等? (2三条边分别对应相等的两个三角形是否全等?(3有两边及这两边的夹角对应相等的两个三角形是否全等? (4有两角及这两角的夹边对应相等的两个三角形是否全等? (5有两边及一角对应相等的两个三角形是否全等? (6有两角及一边对应相等的两

9、个三角形是否全等? 2.什么是三角形的稳定性?3.如图, AB =AD , BC =CD ,那么 ABC 和 ADC 全等吗?为什么? 4.如图, AB =CD , BC =AD ,那么 A = C 吗?为什么? 4.5.如图, A 、 B 在 CD 上, AD =BC , AE =BF , EC =DF ,那么是否有 DF EC ?为什么?6.如图, E = C , AB=AD, 1= 2,那么, ABC 和 ADE 全等吗?为什么? B C B 321BD B 5. 6.7.如图, AB =AC , AD =AE ,那么 ABD 和 ACE 全等吗?为什么?8.如图, AB CD , AB

10、 =CD ,那么 ABC 和 CDA 全等吗?为什么? 9.如图, D 为 BC 的中点, AD BC ,那么 AB 与 AC 相等吗?为什么?10.如图,已知 C 是 AB 的中点, CD =CE ,还需加上什么条件,就可以得到 BCD 和 ACE 全等? 11.已知:线段 a , .求作: (1 ABC ,使 A = , AB =a , AC =2a .(2 ABC ,使 A = ,AB =a , B =2 .12.已知:线段 a 和 c和 c . 13.已知:线段 a , . 求作:一个直角三角形,使它的一个锐角等于 ,一条直角边等于 a . E五.参考答案1. (1不一定; (2全等; (3全等; (4全等; (5全等; (6不一定.2.一个三角形的三边确定后,这个三角形的形状、大小就确定了.5.由条件可得 AEC BDF ,则 C = D ,即得.6. 1= 2, 1+ DAC = 2+ DAC ,可用 AAS , ABC 和 AD