完整版天一专升本高数知识点

1、第一讲函数、极限、连续1、根本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息2、函数的性质,奇偶性、有界性奇函数：f( x) f(x),图像关于原点对称.偶函数：f( X) f(x),图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设% B是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,那么. % 一(1)假设lim 0,那么%是比B高阶的无穷小量. 假设lim c (不为0),那么与B是同阶无穷小量 a,特别地,假设lim 1,那么与B是等价无穷小量/- 、-+-%.,C 、一(3)假设lim 一 ,那么与B是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快,谁就趋向于 0的本领高.4、两个重

2、要极限sinx x(i)lim lim 1x 0 x x 0sinx0 , 一定保证拼凑sin后面和分母保持一致sin sin使用万法：拼凑limlim00 lim 1x1lim(1 x)x e使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑5、limPn xx Qm XR x的最高次募是a0b00,nn,Qm x的最高次募是 m.,只比较最高次募,谁的次募高,谁的头大,m,以相同的比例趋向于无穷大；n m,分母以更快的速度趋向于无穷大;趋向于无穷大的速度快.m,分子以更快的速度趋向于无穷大.7、左右极限左极限：lim f (x) Ax x0右极限：lim f (x) Ax

3、 X0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解.8、连续、间断连续的定义：lim yx 0lim f (XoX)f (Xo)0X 0或 lim f (x) f (x0) x x0间断：使得连续定义 limx xf (x)f (x0) 无法成立的三种情况记忆方法：1、右边不存在9、间断点类型2、左边不存在 3、左右都存在,但不相等(1)、第二类间断点:limx x0f (x)、limx x0f (x)至少有一个不存在(2)、第一类间断点:limx x0f (x)、limx x0f (x)都存在左右只要有一个不存在, “跳跃就是“第二类然后再判断是不是第一类间注：在应用时,先判断是不是“第二

4、类间断点, 断点；左右相等是“可去,左右不等是10、闭区间上连续函数的性质(1)最值定理：如果 f (x)在a,b上连续,那么 f (x)在a,b上必有最大值最小值.(2)零点定理：如果f (x)在a,b上连续,且f (a)f (b) 0 ,贝u f (x)在 a,b内至少存在一点么 f(x) g(x) c记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、驻点满足f (x) 0的点,称为函数 f (x)的驻点几何意义：切线斜率为 0的点,过此点切线为水平线 4、极值的概念设f(X)在点X0的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有f (x)f (x0),那么称f (x0)为函数f (x)的极大

5、值,x0称为极大值点./设f (x)在点x0的某邻域内有定义,如果对于该邻域内的任一点x,有f (x)f (x0),那么称f (x0)为函数f (x)的极小值,x0称为极小值点.记忆方法：在图像上,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值.5、拐点的概念连续曲线上,凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点,称为曲线的拐点.6、单调性的判定定理设f (x)在(a,b)内可导,如果如果f (x) 0,那么f (x)在(a,b)内单调减少.记忆方法：在图像上但凡和右手向上趋势吻合的,是单调增加,f (x) 0；在图像上但凡和左手向上趋势合的,是单调减少,f (x) 0；7、取得极值的必要条件可导函数f (x)在

6、点x0处取得极值的必'要条件是f (x0) 08、取得极值的充分条件第一充分条件：设f (x)在点x0的某空心邻域内可导,且 f (x)在x0处连续,那么(1)如果x x0时,f (x) 0；x x0时,f (x) 0,那么f (x)在x0处取得极大值f(x°)；(2)如果x x0时,f (x) 0； x x0时,f (x) 0,那么f (x)在x0处取得极小值f(%)；(3) 如果在点x0的两侧,f(x)同号,那么f (x)在x0处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图,波峰的顶点为极大值,波谷的谷底为极小值.第二充分条件：设函数f (x)在点x0的某邻域内具有一阶、

7、二阶导数,且 f (x0) 0, f (x0) 0那么(i)如果f (x0) 0,那么f (x)在x0处取得极大值f(x0)；(2)如果f (xO) 0,那么f (x)在x0处取得极小值f(x°)9、凹凸性的判定设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,(1)如果f (x) 0, x (a,b),那么曲线f(x)在(a,b)内凹的; 如果f (x) 0,x (a,b),那么f (x)在(a,b)内凸的.图像表现：f凹的表理&的表一10、渐近线的历念一一)乂曲线f (x)在伸向无穷远处时,能够逐步逼近的直线,称为曲线的渐近线.(1) 水平渐近线：假设lim f (x) A,那么

8、y f(x)有水平渐近线y A(2)垂直渐近线：假设存在点 x0, lim f (x),那么y f(x)有垂直渐近线x x0xf (x)(2) 求斜渐近线：右lima,lim f (x) ax b,那么y ax b为其斜渐近线.x x x11、洛必达法那么中 0,+遇到“一、“ 一,就分子分母分别求导,直至求出极限.0如果遇到募指函数,需用f (x) e1nMx)把函数变成“ 0、“ 一 .0第二讲导数与微分1、导数的定义(1)、 f (x0) lim y lim f (x0x) f (x0) 0x 0x 0f (x0 h) f(x0)(2)、 f (x0) lim-0h 0 hf (x) f

9、(x0)(3)、f (x0) lim x x0x x0注：使用时务必保证 x0后面和分母保持一致,不一致就拼凑.2、导数几何意义： f (x0)在x x0处切线斜率法线表示垂直于切线,法线斜率与f (x0)乘积为一13、导数的公式,记忆的时候不仅要从左到右记忆,还要从右到左记忆.4、求导方法总结(1)、导数的四那么运算法那么(2)、复合函数求导：y f x是由y 口)与口(x)复合而成,那么(3)、隐函数求导对于F (x, y) 0 ,遇到v,把y当成中间变量u,然后利用复合函数求导方法.(4)、参数方程求导dy设 x(t)确定一可导函数y f (x),那么9丫 生 一(1)y(t)dxdx

10、(t)dt(5)、对数求导法先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导(6)、募指函数求导募指函数y u(x)v(x),利用公式a elnaln u(x)v(x)v(x) In u(x)y ee然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可.第二种方法可使用对数求导法,先对等号两边取对数,再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法.5、高阶导数对函数f(x)屡次求导,直至求出.6、微分记忆方法：微分公式本质上就是求导公式,后面加 dx,不需要单独记忆.7、可微、可导、连续之间的关系可微 可导可导 连续,但连续不一定可导8、可导与连续的区别.脑海里记忆两幅图(1) (2)f2 , ,_ 一y x在x=

11、0既连续又可导.y x在x=0只连续但不可导.所以可导比连续的要求更高.第四讲不定积分一、原函数与不定积分1、原函数：假设F (x) f(x),那么F(x)为f (x)的一个原函数；2、不定积分：f(x)的所有原函数F(x)+C叫做f (x)的不定积分,记作f(x)dx F(x) C二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、 f (x)dxf(x)或d f (x)dx f (x)dx2、 f (x)dx f (x) c注：求导与求不定积分互为逆运算.四、积分方法3、 根本积分公式4、 第一换元积分法(凑微分法)把求导公式反着看就是凑微分的方法,所以不需要

12、单独记忆.5、 第二换元积分法2三角代换 .xx2-2x一2a2aasinta sectatant三角代换主要使用两个三角公式:2 2 2 2sin t cos t 1,1 tan t sec t4、分部积分法udv uv vdu第五讲定积分1、定积分定义ba f(x)dxlimx 0nf( i) X如果f (x)在a, b上连续,那么f (x)在a,b上一定可积.理解：既然在闭区间上连续,那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形,面积存在所以一定可积,由于面积 是常数,所以定积分如果可积也是常数.2、定积分的几何意义(1)如果f (x)在a,b上连续,且f(x)0,f(x)dx表示由f(x

13、), x a,x b,x轴所围成的曲b边梯形的面积.S= a f (x)dx(2)如果f (x)在a,b上连续,且f(x)0,S=f(x)dx o3、定积分的性质：b(1) a kf (x)dxbk a f (x)dx(3)(4 )(5)(x)g(x)dx =ba f (x)dxb1dx ba如果f (x)ba f (x)dxba g(x)dxf (x)dxbc g(x)dxaa f (x)dx 0ab f (x)dxba f (x)dxbg(x),那么 f(x)dxabag(x)dx(6)积分中值定理大长方形面积m记忆：小长方形面积如果f (x)在a,b上连续,那么至少存在一点使得bf (x

14、)dx f( )(b a)a设m,M分别是f (x)在 a, b的min,max,那么记忆:总可以找到一个适当的位置,把凸出来的局部切下,剁成粉末,填平在凹下去的局部使曲边梯形变成一个长 方形.1 b . f (x)dx为f (x)在a,b上的平均值. a a4、积分的计算(1)、变上限的定积分注：由此可看出来(x)xf (t)dt是f (x)的一个原函数.而且变上限的定积分的自变量只有一个 a是x而不是t(2)、牛顿莱布尼兹公式设f (x)在a,b上连续,F (x)是f (x)的一个原函数,ba f(x)dx F(x)ab F(b) F(a)5、(i)、假设f (x)在 a,a上为奇函数,那

15、么aa f(x)(2)、假设f (x)在 a,a上为偶函数,那么aa f(x)a0 f (x)dx由牛顿公式可以看出,求定积分,本质上就是求不定积分,只不过又多出一步代入积分上下限,所以求定积分也有四种方法.奇函数、偶函数在对称区间上的定积分注：此方法只适用于对称区间上的定积分.6、广义积分(1) 无穷积分a, b上的定积分.Vx2f(x) dxg2(x)dxyVy2(y) dy2(y)2(y)dy(二)、直线与平面的相关测试内容一、二元函数的极限定义：设函数z f (x, y)在点(Xo, y0)某邻域有定义(但(Xo, 70)点可以除外),如果当点 (x, y)无论沿着任何途径趋向于(Xo

16、,y0)时,z f (x, y)都无限接近于唯一确定的常数a,那么称当点(x, y)趋向于(Xo, yo)时,z f (x, y)以a为极限,记为二、二元函数的连续性假设 lim f (x, y) f(xo,yo),那么称 z f (x, y)在点(x°,yo)连续. (x,y) (xo,yo)注：z f (x, y)的不连续点叫函数的间断点,二元函数的间断点可能是一些离散点,也可能是一条或多条曲线.三、二元函数的偏导数四、偏导数求法由偏导数定义可看出,对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量,其它的变量都当成常数看待.五、全微分：dz dx - dyx y六、二元函数的连续、偏导、

17、可微之间的关系二元函数可微,那么必连续,可偏导,但反之不一定成立.假设偏导存在且连续,那么一定可微.函数z f (x, y)的偏导存在与否,与函数是否连续毫无关系.七、二元复合函数求偏导设 z f (u,v), u (x,y),v(x, y),z z u zvzzuzv那么xuxvxyuyvy注：有几个中间变量就处理几次,根据复合函数求导处理.八、隐函数求偏导方程F (x, y, z) o确定的隐函数为 z f (x, y),那么对等号两边同时对 x求导,遇到z的函数,把z当成中间变量.第八讲多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质n1、 f (x,y)dxdy 1d叫f(i,i) i ,

18、几何意义：代表由 f(x,y),D围成的曲顶柱体体积.Dd o i12、性质：(1) kf (x, y)dxdy k f (x, y)dxdyDD f (x, y) g(x,y) dxdy= f (x, y)dxdy+ g(x, y)dxdyDDD(3)、dxdy D(4)DD1D2, f (x, y)dxdy= f (x,y)dxdy+ f (x, y)dxdyD2Di假设 f (x,y) g(x,y),那么 f (x,y)dxdy g(x,y)dxdyDD(6)假设 m f (x, y) M,那么 mD f (x, y)dxdy MDD设f(x, y)在区域d上连续,那么至少存在一点 (,

19、) D,使 f(x, y)dxdyD二、计算(1) d： a x b, 1(x) y 2(x)(2) d： c y d, i(y) xz(y),技巧：“谁的范围最容易确定就先确定“谁的范围,然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围 极坐标下： x r cos , y r sin ,dxdy rdrd三、曲线积分i、第一型曲线积分的计算(1)假设积分路径为 l： y (x), a x b,那么l f (x, y)ds= ：f (x, (x) .1 ( (x)2dxf( , )D(2)假设积分路径为 l： x (y),c y d,那么1 f (x, y)ds= ： f ( (y),y) ,1 cx(3)假设积分路为L:yLf(x,y)ds= f( (t),2、第二型曲线积分的计算(1) 假设积分路径为 l