第五章计算机实时控制系统设计2(最少拍)

1、5.2最少拍数字控制器的算法与程序最少拍数字控制器的算法与程序所谓最少拍系统是指系统对某些典型的输入，例如单位阶所谓最少拍系统是指系统对某些典型的输入，例如单位阶跃输入，速度函数输入或加速度函数输入等，具有最快的跃输入，速度函数输入或加速度函数输入等，具有最快的响应特性。具体来说，最少拍系统应满足：系统的响应特性。具体来说，最少拍系统应满足：系统的响应时响应时间最短间最短，即能在有限个采样周期内结束过渡过程；对典型，即能在有限个采样周期内结束过渡过程；对典型输入，系统的输入，系统的稳态误差为零稳态误差为零。1. 最少拍系统的设计方法最少拍系统的设计方法 由方程式（由方程式（5.6），可得），可

2、得 （5.12） 其中其中K(z)为系统闭环脉冲传递函数为系统闭环脉冲传递函数( ) ( )( )( )( )1( ) ( )DDGz G zY zK zR zGz G z由方程式由方程式(5.12)，可求得系统的误差脉冲传递函，可求得系统的误差脉冲传递函数为数为 （5.13） ( )( )1( )E zR zK z( )E z 对于稳态误差为零的系统对于稳态误差为零的系统,就是要求就是要求 的反变换的反变换 e(t) 的终值为零。由终值定理，可得的终值为零。由终值定理，可得 （5.14）11( ) lim (1) ( )1( )zezR zK z 由上式可知，系统的稳态误差与输入函数由上式可

3、知，系统的稳态误差与输入函数 R(z)有关。典型的输入函数有关。典型的输入函数 R(z) 可表示为可表示为 (5.15)11()()(1)pAzRzz其中其中 是不包含是不包含 因子的因子的 多项式。多项式。1()A z1(1)z1z对单位阶跃输入函数，对单位阶跃输入函数，p=1；对速度输入函数，；对速度输入函数，p=2；对加速度输入函数；对加速度输入函数, p=3 。将式（。将式（5.15）代入式）代入式 (5.14)中中,得得 (5.16) 1111()1( )( )lim(1)(1)pzA zK zezz 由上式可知由上式可知,满足稳态误差为零的条件是满足稳态误差为零的条件是 (5.17

4、)11( ) (1)( )pK zzF z其中其中 F(z) 是待定的是待定的 的有理分式。当的有理分式。当 F(z)=1 时，时，(5.17)式求得的式求得的 K(z) 是最简单的，所含的是最简单的，所含的 项数最项数最少少,即为最少拍系统即为最少拍系统.由由(5.17)式可得式可得 (5.18)1z1z1( )1(1)pK zz由由(5.18)式可求得各种输入函数时式可求得各种输入函数时,最少拍响应特性的系统最少拍响应特性的系统闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数,并从并从(5.12)式可求得相应的数字控制器式可求得相应的数字控制器的脉冲传递函数。的脉冲传递函数。由由(5.18)式可求得各种输

5、入函数时式可求得各种输入函数时,最少拍响应特性的系统最少拍响应特性的系统闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数,并从并从(5.12)式可求得相应的数字控制器式可求得相应的数字控制器的脉冲传递函数。的脉冲传递函数。表表5.1 具有最少拍响应特性的具有最少拍响应特性的K(z)与与( )DGz( )DGz( )R z( )K z11(1)z1z11( )(1)zG zz11 2(1)Tzz122zz121 22( )(1)zzG zz2111 3(1)(1)T zzz12333zzz1231 333( )(1)zzzG zz输入类型输入类型单位阶跃单位阶跃速度函数速度函数加速函数加速函数表表5.1给出了给

6、出了3种典型输入函数具有最少拍响应特性的种典型输入函数具有最少拍响应特性的 K(z) 和和 。( )DG z由表由表5.1可见，当输入为单位阶跃函数时，可见，当输入为单位阶跃函数时， ，只含，只含 1项项 ，即过渡过程在，即过渡过程在1个采样周期内结束；当输入为速度个采样周期内结束；当输入为速度函数时，过渡过程在函数时，过渡过程在2个采样周期内结束；当输入为加速个采样周期内结束；当输入为加速度函数时，过渡过程在度函数时，过渡过程在3个采样周期内结束。个采样周期内结束。1( )K zz1z由上述分析可见，提高采样频率，可以缩短采样周期，也由上述分析可见，提高采样频率，可以缩短采样周期，也就是可以

7、缩短系统的过渡过程时间。这样，就是可以缩短系统的过渡过程时间。这样，当采样频率无当采样频率无限增加时，过渡过程时间等于无限小吗限增加时，过渡过程时间等于无限小吗?。这个结论在理。这个结论在理论上是正确的，但在实际系统中存在约束条件，限制了采论上是正确的，但在实际系统中存在约束条件，限制了采样频率的上限。例如，当采样频率增加时，为了使系统对样频率的上限。例如，当采样频率增加时，为了使系统对阶跃输入的过渡过程只有一拍，要求数字控制器的放大倍阶跃输入的过渡过程只有一拍，要求数字控制器的放大倍数成平方倍关系增加。实际上，数字控制器的放大倍数总数成平方倍关系增加。实际上，数字控制器的放大倍数总有一定的限

8、制，不能无限地增加。所以，采样频率也就不有一定的限制，不能无限地增加。所以，采样频率也就不能无限制地增加。能无限制地增加。例例5.1 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 求输入函数为单位阶跃函数时具有最少拍特性的数字控制求输入函数为单位阶跃函数时具有最少拍特性的数字控制器器1 0 0(1 0 )ss ( )DGz（1）求零阶保持环节和控制对象的组合脉冲传）求零阶保持环节和控制对象的组合脉冲传递函数递函数 （5.19）12101010101100( )(10)100(1)(10)(101)(110)(1)()TsTTTTeG zZss szZs sTezeTezze 2A zBzC zD其

9、中其中1010101010(101)(110)(1)TTTTTATeBeTeCeDe （2）求数字控制器的脉冲传递函数）求数字控制器的脉冲传递函数由表由表5.1，可求得输入函数为单位阶跃的数字控制器脉冲，可求得输入函数为单位阶跃的数字控制器脉冲传递函数，即传递函数，即 （5.20）11112( )( )(1)(1)DzGzG zzzAzBzzCzD12121()CzDzABA zBz（3）求数字控制器的控制算法）求数字控制器的控制算法由由(5.20)式，可求得数字控制器的控制算法为式，可求得数字控制器的控制算法为 （5.21）1( )( )(1)(2)CDm ke ke ke kAAA()(1

10、)(2)BABm km kAA必须指出，所设计的数字控制器必须是物理上可以实现必须指出，所设计的数字控制器必须是物理上可以实现的，物理上可实现的条件为的，物理上可实现的条件为（1） 的分子的分子阶次阶次必须低于或等于分母的阶次。必须低于或等于分母的阶次。（2）假如，控制对象包含）假如，控制对象包含滞迟环节滞迟环节 ，那末被设计，那末被设计的闭环系统至少包含相同的滞迟环带。的闭环系统至少包含相同的滞迟环带。( )DG zLSe1z（3）假如，）假如，G(z) 展开成展开成 多项式，闭环脉冲传递函数多项式，闭环脉冲传递函数的的 K(z) 最小负幂最小负幂必须等于或高于必须等于或高于 G(z) 的最

11、小负幂。例如，的最小负幂。例如， G(z) 是从是从 阶开始的，那么阶开始的，那么 K(z) 的第的第1项项 必须等于零。必须等于零。即即 （5.22）12012( )nnK zzzz1212nnzzz1z0此外，物理上可实现条件，还应包含此外，物理上可实现条件，还应包含稳定性条件稳定性条件，例如，例如，数字控制器的脉冲传递函数不应为了补偿在单位圆以外的数字控制器的脉冲传递函数不应为了补偿在单位圆以外的对象的零点而造成系统的不稳定。对象的零点而造成系统的不稳定。例如例如 G(z) 中有一个位于单位圆以外的零点，中有一个位于单位圆以外的零点，即即 （5.23）21.5( )1.40.4zG zz

12、z为了使数字控制器不包含不稳定的极点，我们为了使数字控制器不包含不稳定的极点，我们可以选取（可以选取（5.17）式中的合适的）式中的合适的 F(z) 表示式。表示式。假设系统的闭环脉冲传递函数为假设系统的闭环脉冲传递函数为 (5.24)2( )(1.5)K zk zz由由(5.24)式和式和(5.25)式可得式可得 (5.26)选取选取 (5.27)将将(5.27)式代入（式代入（5.26）式，得）式，得以及以及211(1.5)(1) ( )k zzzF z 101( )F zz0101,k 11.5k如果系统的输入为单位阶跃函数，如果系统的输入为单位阶跃函数， 的值可由的值可由下式方法确定，

13、因为由下式方法确定，因为由(5.17)式，得式，得 (5.25)11( )(1)( )K zzF zk 将将(5.28)式和式和(5.23)式代入表式代入表4.1中的中的 计算公式中，求计算公式中，求得具有稳定补偿的数字控制器的脉冲传递函数为得具有稳定补偿的数字控制器的脉冲传递函数为 （5.29）12212( )( )( )1( )(0.40.6)(1.40.4)(1.5)(1 0.40.6)DK zG zG zK zzzzzzzz12120.4(1 1.40.4)1 0.40.6zzzz( )DG z 由上式可得由上式可得 =0.4 ，因此，因此 （5.28）2( )0.4 (1.5)K z

14、zz120.40.6zzk相应的数字控制器的控制算法为相应的数字控制器的控制算法为 （5.30）( ) 0.4 ( ) 0.4 1.4 (1) 0.4 0.4 (2)mke ke ke k 0.4 (1)0.6 (2)m km k2无纹波最少拍系统的设计方法无纹波最少拍系统的设计方法由最小拍系统的设计可见，最少拍系统是稳态误差为零的由最小拍系统的设计可见，最少拍系统是稳态误差为零的系统。稳态误差为零是指过渡过程结束以后，在采样点处系统。稳态误差为零是指过渡过程结束以后，在采样点处没有误差，而采样点之间可能有纹波存在，如图没有误差，而采样点之间可能有纹波存在，如图5.6所示。所示。图图5.6 最

15、少拍系统产生的纹波最少拍系统产生的纹波( )/( )Y zR z有限项( )/( )M zR z无限项，过渡过程总结束不了，总在那里摆动。( )/( )M zR z解决方法：解决方法：变成有限项原因：原因：可以推知：可以推知：( )( )( )( )M zK zR zG z因此只需使因此只需使 K(z)能被能被G(z) 除尽除尽考虑系统相似例5.1的系统，并改写（5.19）式为下述形式:1111()( )(1)(1)ABzzG zzDz则K(z)应包含:1()ABz如果系统的输入为速度函数，那么可取：12112( )()()K zf zf zABz其中f1、f2为待定系数为了使稳态误差等于0，

16、有:可知:1 21( )(1)( )K zzF z1( )|1zK z1( )|0zK z具体是:12()()1ffAB12122230AfAfBfBf解得:1(23 )(22)()ABfAB AB21(23 )(22)()ABfABAB AB22(22)()BABAB有:121 (23 )(22 )( )()(22)()AB zB zK zABzAB AB1112121211121( )( )( ) 1( )(1)(1)()1 ()()DK zGzG zK zzDzf zf zf zf zABzz1111212112(1)(1)()1 ()()zDzff zf zf zABz3应用实例应用实

17、例例例5.2 某直流调速系统的传递函数方块图，如图某直流调速系统的传递函数方块图，如图5.7所示。所示。图图5.7 直流调速系统传递函数方块图直流调速系统传递函数方块图 假设输入信号为单位阶跃函数，求系统具有最少拍响应的假设输入信号为单位阶跃函数，求系统具有最少拍响应的数字控制器及相应的计算机控制算法。数字控制器及相应的计算机控制算法。（1）求数字控制器的算法）求数字控制器的算法求取数字控制器的算法分为求取数字控制器的算法分为3步：步：（a）计算零阶保持环节与控制对象的组合脉冲传递函数）计算零阶保持环节与控制对象的组合脉冲传递函数由图由图5.7可见可见 （5.46）2A zBzC zD)95.

18、 5)(6 .60(29. 04 .4366. 05 .4141)1 ()()1 ()(1)(11sssZzssGZzsGseZsGppTs 其中其中60.65.9566.55.9560.660.65.9566.551.0410.589.559.551.0410.58()TTTTTTTTAeeBeeeCeeD e（b）计算数字控制器的脉冲传递函数）计算数字控制器的脉冲传递函数对单位阶跃输入函数，由表对单位阶跃输入函数，由表5.1中查到数字控中查到数字控制器的脉冲传递函数为制器的脉冲传递函数为 （5.47）111()() 1DzGzGzz12121()CzDzABA zBz（c）求数字控制器的算

19、法）求数字控制器的算法由（由（5.47）式，可得）式，可得 （5.48）1212212( )( )( )(1)( )()()( )( )( )DM zE z G zCzDzE zAB A zBzBB ADz M zz M zz E zAAA11( )( )CzE zE zAA由上式可直接写出数字控制器的算法为由上式可直接写出数字控制器的算法为 （5.49）1( )( )(1)(2)CDm ke ke ke kAAA()(1)(2)BABm km kAA（2）编写数字控制器的计算机程序）编写数字控制器的计算机程序根据（根据（5.49）式可直接编写数字控制器的计算机程序。）式可直接编写数字控制器的

20、计算机程序。计算机程序流程图，如图计算机程序流程图，如图5.8所示。所示。图图5.8 数字控制器的计算机程序流程图数字控制器的计算机程序流程图（3）具有前馈控制的数字控制器）具有前馈控制的数字控制器具有前馈控制的直流调速系统的传递函数图，如图具有前馈控制的直流调速系统的传递函数图，如图5.9所所示。示。图图5.9 具有前馈控制的可控硅调速系统的传递函数图具有前馈控制的可控硅调速系统的传递函数图+- - -+ + + +合理地设计前馈控制器合理地设计前馈控制器 的脉冲传递函数，来消除负的脉冲传递函数，来消除负载干扰的影响。由于计算机有高速的运算能力，所以这种载干扰的影响。由于计算机有高速的运算能

21、力，所以这种控制具有能有效地克服由负载变化引起的动态速降，使系控制具有能有效地克服由负载变化引起的动态速降，使系统具有较高的动态精度。统具有较高的动态精度。fG设计前馈控制器的一般步骤为设计前馈控制器的一般步骤为（a）求被控对象及零阶保持环节的组合脉冲传递函数）求被控对象及零阶保持环节的组合脉冲传递函数 G(z) ；求干扰信号的；求干扰信号的Z传递函数传递函数 ；求干扰；求干扰信号与控制对象相关部分的组合脉冲传递函数信号与控制对象相关部分的组合脉冲传递函数 。图图5.9所示系统的控制对象及零阶保持环节的组合脉冲传所示系统的控制对象及零阶保持环节的组合脉冲传递函数递函数 G(z) ，它与，它与(

22、5.46)式相同式相同,这里不再重述这里不再重述.( )( )lLT zZ T s11( ) ( ) . ( )LLT G zZ T sG s设负载干扰信号为单位阶跃函数设负载干扰信号为单位阶跃函数,则干扰信号的则干扰信号的Z传递函传递函数为数为 （5.50）11( )1LTzz干扰信号与被控对象相关部分的组合脉冲传递函数为干扰信号与被控对象相关部分的组合脉冲传递函数为 （5.51）111( )( )LT G sZG ss43.40.29(5.95)Zs s5.955.95(1)2.12(1)()TTezzz e(b) 求系统具有求系统具有最少拍最少拍响应的数字控制的脉冲传递函数响应的数字控制

23、的脉冲传递函数 。图图5.9所示系统的数字控制器的脉冲传递函数与所示系统的数字控制器的脉冲传递函数与（5.47）式相同）式相同，这里也不再重述。，这里也不再重述。( )DGz对（对（5.52）式的两边进行星号变换，得）式的两边进行星号变换，得 （5.53）将（将（5.53）式写成）式写成Z变换形式，得变换形式，得 （5.54） 1*( )* ( ) *( )* ( ) * ( ) * ( ) *( )LLfDYsTGsE sTs Gs Gs G S1( )( ) ( )( )( )( ) ( )LLfDY zT G zE zT z G z G z G z（c）求前馈数字控制器的脉冲传递函数）求

24、前馈数字控制器的脉冲传递函数 。由图由图5.9，可得，可得 （5.52）1( )( )( ) *( )*( )*( )*( ) ( )LLfDY sT s G sEsTs Gs Gs G s( )fG z( )( )( )E zR zY z 因为因为 （5.55） 将（将（5.55）式代入（）式代入（5.54）式，得）式，得 （5.56）1( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )LDDY zT G zR z G z G zY z G z G z( )( )( ) ( )LfDT z G z Gz G z由（由（5.54）式可见，能合理地补偿干扰信号的）式可见，能合理地补偿干扰信号的

25、 为为 （5.57）( )fG z1( )( )( )( ) ( )LfLDT G zGzT z Gz G z由（由（5.54）式可见，能合理地补偿干扰信号的）式可见，能合理地补偿干扰信号的 为为 （5.57）( )fG z1( )( )( )( ) ( )LfLDT G zGzT z Gz G z将将(5.50),(5.51),(5.47)式式,代入代入(5.57)式式,得得5.955.951111112.12(1)()( )11 ( )(1) (1)( )1TTfezz eG zzG zzzG zHzFHFzz GGz(5.58)（d）求顺馈和前馈数字控制器的算法）求顺馈和前馈数字控制器的

26、算法顺馈数字控制器的算法与（顺馈数字控制器的算法与（5.49）式相同）式相同,由由(5.58)式可式可得前馈数字控制器的算法为：得前馈数字控制器的算法为： （5.59）1( )(1)(1)( )lq kGq kFt kHt k 其中其中 5.952.12(1)THe5.955.952.12(1)TTFHeG e由由(5.49)式和（式和（5.59）式可直接编制具有前馈和顺馈数字）式可直接编制具有前馈和顺馈数字控制器的计算机程序，它的程序流程图，如图（控制器的计算机程序，它的程序流程图，如图（5.10）所）所示。示。开始输入采样频率计算机数A，B，C，D设定控制量m,误差量e,干优信号te和等初始值e(k-1)=0e(k-2)=0m(k-1)=0m(k-2)=0q(k-1)=0q(k-2)=0t1(k-1)=0t1(k-2)=0采样误差信号e，干扰信号t1(k