1第一讲集合和命题

1、第一讲集合和命题1. 设集合 A=x|x 2=0，集合 B=x|x2 _4=o贝y A - B=.2. 已知全集U = R ,集合A =x x +1 <0 , B =x x 3c 0,那么集合 (CuA)"B 二3. 已知集合A =1,0, a,B =x 0 vx cl，若A" B式0，则实数a的取值范围是4. 设集合A=a, b, c, d 则它的非空真子集的个数是 . 5(1)已知集合A = x |xa < 1, B =x x2 5x +4 > 0若A| B =0 ,则实数a的取值范围 . 若集合A = J x2 + x -6 = 01 B = mx

2、+1 = 0，且 妄A,则实数m的值.6(1)设全集合 U 1,0,1,2,3,4 1,集合 CuM 一-1,1, N =0,1,2,3?,则集合 M 门 N = _ 已知全集 U =11,2,3,4,5,6,7，M 3,4,5?，N =1,3,6?，则 3,7 ；=7.已知集合 M.x | x ： 11, N J x |2x - V ,则 M 门 N =.8. 已知 A=1,3,m，集合 B =3, 4，若 B9 A,则实数 m = _9. 设A是整数集的一个非空子集，对于k A，如果k -1 A且k T一 A，那么k是A的一个“孤立元”给定S =1,2,3,4,5,6,7,8,，由S的3个

3、元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.10. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26, 15, 13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.11. 若集合M =a,b,c中元素是ABC的三边长，贝UABC 一定不是 三角形.12(1)已知i为虚数单位，a为实数，复数z = (a -2i)(1+i)在复平面内对应的点为M，则“ a二1 ”是“点在第四象限”的“ AB AC 二 BA BC ”是 “ I AC |=| BC I” 的在 ABC

4、中,条件.条件. “ x = -1 ”是“ x2 _5x _6 =0 ”的条件.“ a = -1 ”是“直线a2x -y 0与直线4x-(a -3)y 9=0互相垂直”的 条件. 213(1)命题右x =1，贝y x = 1 ”的否命题为：(2)命题“存在 x R,使得x2 x V： 0 ”的否定是： .(3) 命题“若 x = y，贝U sin x = sin y ”的非命题为 .14. 若非空集合 A,B,C满足AUB二C，且B不是A的子集，则正确的是“ x C ”是“ x A”的充分不必要条件；“ x C ”是“ x A”的必要不充分条件“ x C ”是“ x A”的充要条件；“ x C

5、 ”是“ X. A”的既不充分也不必要条件15. 设M =.ax? 6x +9 =0是含一个元素的集合，贝Ua的值为.16已知集合x|ax2 2x 1=0,a R,x R.(1)若A中只有一个元素，求 a的值； (2) 若A中至多有一个元素，求a的取值范围17. 已知 A = q|x_a|<4, B =&| I x 一2卜3.(1 )若 a =1，求 A B ；(2)若A B二R,求实数a的取值范围18.已知集合 A = 乂 | x2 -5x 4 _ 0 /与 B = X | x2 - 2ax a 2 _ 0，若 B 二 A，求 a 的取值范围19.已知集合 A 二 x|x2 _

6、3x_10 岂 0, B = x|m 1 mx 2m_1，若 A B =A，求实数 m取值范围20.已知aR ,二次函数f(x)=ax2 2x2a .设不等式f(x)>0的解集为A,又知集合B=x1cxc3,若A|B =,求a的取值范围.21*已知集合a2,川，aj(k> 2),其中a Z(i ", 2, , k),由A中的元素构成两个相应的集 合：S -(a,b) a A, bA,a b A?, T -(a, b) aA,bA,a -b A/.其中(a,b)是有序数对，集合 S 和T中的元素个数分别为 m和n .若对于任意的a A,总有-aA ,则称集合A具有性质P .

7、(1) 检验集合01,2,3与-1,2,3?是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合 S和T ;(2) 对任何具有性质 P的集合A，证明：n < k(k -1)；(3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论.第一章集合和命题2.设集合 A=x|x 2=0，集合 b=x|x2 -4 =0贝 y A - B=.一 22. 已知全集 U = R，集合 A=xx+1<0 , B=xx3<0，那么集合(GjA)nB=x-x<3f3. 已知集合A=1,0,a,B =x0 <x cl，若A" B式0，则实数a的取值范围是(0,1)4. 设集合A=a, b,

8、 c, d则它的非空真子集的个数是 14 5(1)已知集合 A = x|xa < 1, B=xx25x + 4 > 0若 A| B =0，则实数 a 的取值范围(2,3) 若集合A = . x2 + x -6 = 0 , B = & mx +1 =。，且 萨A,则实数m的值.6(1)设全集合 U 才-1,0,1,2,3,4集合 CuM - 1,1二 N 30,1,2,3?，则集合 M“N=_一0,2,31 已知全集 U 丄1,2,3,4,5,6,7，M =3,4,5?，N j,3,6?，则(2,7 产._ (CuM)(CuN)7.已知集合 M】x|x ：心,N.x|2x .

9、 V,则 M Cl N =.fx|0：X：18. 已知 A = 1,3, m，集合 B =3, 4，若 B A ,则实数 m = m = 49. 设A是整数集的一个非空子集，对于 k A，如果k -1 A且k T一 A，那么k是A的一个“孤立元”给定S二1,2,3,4,5,6,7,8,，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个.610. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26, 15, 13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.81

10、1. 若集合M =a,b,c中元素是. ABC的三边长，则 AABC 定不是 三角形.等腰12(1)已知i为虚数单位，a为实数，复数z = (a -2i)(1+i)在复平面内对应的点为M，则“ a二1 ”是“点在第四象限”的条件.既不充分也不必要在 ABC 中,是“ | AC|=|BC 的条件.充要 “ x 二-1 ”是“ x2 -5x -6 =0”的条件. “ a = -1 ”是“直线a2x - y 0与直线4x -(a -3)y 9=0互相垂直”的 条件.充分不必要213(1)命题右x -1，贝y x -1 ”的否命题为：(2)命题“存在 x R,使得x2 x V： 0 ”的否定是： .(

11、3) 命题“若 x = y，贝U sin x二sin y ”的非命题为 .14.若非空集合 A,B,C满足AUB =C，且B不是A的子集，则正确的是.B“ x C ”是“ x A”的充分不必要条件；“ x C ”是“ x A”的必要不充分条件“ x C ”是“ x A”的充要条件“ x C ”是“ x A”的既不充分也不必要条件15.设M = Jax?6x+9 =0是含一个元素的集合，则a的值为.16已知集合x|ax2 2x 1 =0,a R,x R(1)若A中只有一个元素，求 a的值；(2)若A中至多有一个元素，求 a的取值范围17. 已知 A = & |x a |<4，B =

12、x |x 2卜3.(1 )若a =1，求A B ；( 2)若A B =R,求实数a的取值范围解:(1)当 a= 1 时，A= x- 3< x< 5. B=xx< - 1 或 x> 5 A B - ;x | 3 ： x ： -1r A A(2)： A=xa- 4<x<a+4. B=xx<- 1或x>5.且 AUB=R * = 1cac3 ,范围是 (1,3).18. 已知集合 A - "x| x2 -5x 4 _0与 B = "-x |x2 -2ax a 2 _ 0，若 B A，求 a 的取值范围。解：x2-5x 4 = (x4

13、)(x1)空 0,1 岂 x 空 4,. A = ：x|1xz4/设y =x2 -2ax a 2(*)当B二？，即方程(*)无解，显然B A成立，由:0得4a2 -4(a 2) : 0，解得一1 ： a : 2(1)当B =?,且B二A成立，即：|捲_ x _ x2 ；二：x |1 _ x _ 4根据图像得出：12 -2a*1+a+2X0/_42 _2a*4亠a亠2_0，解得1 - a '(2)综合(1) ( 2)两式，得a的取值范围为i 1,182a1 <一 <4.-219.已知集合 A=x|x2-3x-100, B=x|m1x乞 2m-1，若 A B = A，求实数 m

14、 取值范围.(-：,320.已知aR，二次函数f (x) =ax2 2x 2a 设不等式f(x)=0的解集为A,又知集合B=x1<xc3, 若A|B -一，求a的取值范围.解:易知 a =0 ,由 f(x) =0 得：为=丄 -，2!：；1-1X2 =丄 . 2： 由此可得：x： 0,x2 0 (1)当 a 0a a2a V a2时，A =xx ex" Jxx ax2 ,B式的充要条件是x2 <3 ,即丄+.2十<3 ,解得a6 ;(2 )当av0a a27时，A =xx1 ：x , A BE 的充要条件是X2即丄厶21 解得a ：-2 a a综上所述，使 AB式成

15、立的a的取值范围为(-°°,-2)U(；6，+xi)21*.已知集合AJa, a?, aj(k > 2),其中a Z(i=1,2J|, k),由A中的元素构成两个相应的集合：S= (a,b) aA,bA,a b Az, T = ；(a, b) aA,bA,abA.其中(a, b)是有序数对,集合S和T中的元素个数分别为 m和n .若对于任意的a三A,总有-a一 A ,则称集合 A具有性质P .(1) 检验集合01,2,3；与-1,2,3?是否具有性质P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合S和T ;(2) 对任何具有性质P的集合A，证明：n < k(k 一1

16、);(3)判断m和n的大小关系，并证明你的结论2解：1)0,1,2,3?不具有性质P 123具有性质P ,其相应的集合S和T是S(43)3-1), T.(2,-1)23 ；(1)证明：首先，由A中元素构成的有序数对(ai, aj)共有k2个因为0世A，所以(a, aj世T(i =12, k)；又因为当 a，A 时，-a-A 时，A，所以当(ai, ajb T 时，(aj, ai- T(i, j =1,2,L k) 从而，集合T中元素的个数最多为(k2 - k -k(k耳，即n < k(k 1) 2 2 2(3)解：m =n，证明如下：(1)对于(a, b) S，根据定义，a A , b A，且a b A ，从而(a b, b T 如果(a, b)与(c, d)是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a，b=c，d与b =d中也至少有一个不成立.故