1990真题及解析

1、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 极限 lim( Jn +3亦 一 Jn -亦)= 设函数f(x)有连续的导函数，f (0) =0, f (0) =b ,若函数工f(x) asin x,x = 0,F(x)= xA,x = 0在x = 0处连续，则常数 A =.2 曲线y=x与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为 .X + X2 = -C,x2 + x, = a2,(4) 若线性方程组22有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件 .X3+&=as,X4 * x( =80(5) 一射手对同一目标独立

2、地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命81中率为.二、选择题(本题满分15分，每小题3分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内.)sin x(1)设函数 f (x)二 x tan x e ,则 f (x)是()(A) 偶函数 (B)无界函数(C)周期函数(D) 单调函数 设函数f (x)对任意x均满足等式f (1 x af (x),且有f (0) = b,其中a, b为非零常数，则()(A) f (x)在x =1处不可导(B)f (x)在x = 1处可导，且f (1) = af (x)在x = 1处可导，且f (1) = ab(C) f

3、(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b (D) 向量组1,2l(,s线性无关的充分条件是()(A) ：'1,2,川，»均不为零向量(B) ：仆2,川，»中任意两个向量的分量不成比例(C) ：1,中任意一个向量均不能由其余S-1个向量线性表示(D) ：'i,2,|l(,：s中有一部分向量线性无关 设代B为两随机事件，且B A,则下列式子正确的是(A) P A B j=P A(B)P AB = P Am-1 1PX =m1 12 2则下列式子正确的是m-1 1PY = m1 12 2P B - Ai=P(B)_ P A()PX 二Y.；=0PfX 二Y ；=

4、10求级数7n £n(x _3)2n的收敛域.(C) P(BA)=P(B)(D)(5)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为(A) X 二丫(B)1(C) PX =Y(D)2三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)x In to(1)求函数l(x) 2dt在区间e,e2上的最大值.'e t2 2t +1 计算二重积分xedxdy,其中D是曲线y = 4x2和y二9x2在第一象限所围成的区D域 求微分方程y* ycosx=(lnxle""的通解四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告，根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告

5、费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R =15 14x32x2 -8x2 -2x； T0x；.(1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略五、(本题满分6分)设f (x)在闭区间0, c上连续，其导数f (x)在开区间(0, c)内存在且单调减少；f(0) =0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a b)乞f (a) f (b),其中常数 a b满足条件0空a乞b空ab乞c 六、(本题满分8分)已知线性方程组xi x2 x3 X4 X5 二 a,3Xi * 2X2 ' X3 * X4 -

6、3X5 0, x2 2x3 2x4 6X5 二 b,5x1 4x2 3x3 3x4 - X5 = 2,(1) a b为何值时，方程组有解？(2) 方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；(3) 方程组有解时，求出方程组的全部解七、(本题满分5分)已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak =0 ,试证明矩阵E - A可逆，并写出其逆 矩阵的表达式(E为n阶单位阵).八、(本题满分6分)设A是n阶矩阵，和J是A的两个不同的特征值，X1,X2是分别属于'1和七的特征 向量.试证明X1 X2不是A的特征向量.九、(本题满分4分)从0,1,2川1,9十个数字中任意选出三个不同数字，试求

7、下列事件的概率：A =三个数字中不含 0和5 ； y 三个数字中不含 0或5.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为：q5x_e°5y“），若x_0,y_0,0,其他.(1) 问X和Y是否独立？(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.附表X00.51.01.52.02.53.0（X）0.500 0.692 0.

8、841 0.933 0.977 0.9940.999表中（X）是标准正态分布函数1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子,n 3/nn -，n.n +3亦-门+循 =lim "Y Jn +3石n再分子分母同时除以 .n ,有原式二limn_» -1 Tna4因为nm/。，其中a为常数,所以原式二厂汽【答案】b - a【解析】由于 F(x)在x = 0处连续，故A= F(0) = lim F(x).I叫F (x)为“ 0 ”型的极限未定式，又f (x)在点

9、0处导数存在，所以A=lim f(x) asinxx )0二 limx )0f (x) acosx=b a.【相关知识点】函数y = f (x)在点x0连续：设函数y = f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果lim f (x)二f (冷)，则称函数f (x)在点x°连续.X %1【答案】4-2【解析】先解出两条曲线在平面的交点，即令x2解得x = -1和x = 2,故所围成的平面图形如右图所示2 2S x 2 - X dx所求面积为二】X2 2x-lx323【答案】3 a2 a3 a4 = 0【解析】由于方程组有解 =r(A)二r(A),对A作初等行变换第一行乘以丨-1加到第四行

10、上，有1100-a1j1000110a?0110a?>0011_a30011_a3001a4 一-101a * a4,再第三行乘以-1加到第四行上，有第二行加到第四行上j100-a1I10110a?T0011_a30011a + a? + a41 l100-Q1110a?11_a30印 +a? +a3 +a4为使 r( A)二 r(A),常数 ai, a2,a3, a4 应满足条件：ai a? a3 a 0 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩阵，线性方程组 Ax = b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵Ap.Ab的秩，即是r(Ar(A)(或者说，b可

11、由A的列向量n线表出， 亦等同于i2l(,n与12l(n,b是等价向量组).设A是m n矩阵，线性方程组Ax=b，则(1)有唯一解r(A) = r(A)二 n.(2)有无穷多解r(A)二 r(A) ： n.(3)无解r(A) 仁r(A).二b不能由A的列向量冷2l(,n线表出2【答案】一3【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型，设试验的成功率即射手的命中率为p，则进行80四次独立的射击，设事件Y为“射手命中目标的次数”，Y服从参数n =4, p 的二项分81布，由二项分布的概率公式，事件“四次均不中”的概率为(1 - p)4,它是至少命中一次的对立事件依题意(1 - P)4 十 80fp 丄

12、p/8133本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数，p表示一次射击的命中率，则X - B(4, p),依题意4pfx =0= pfx即(1-p)41 281= p = 31二k;二丄81k 4【相关知识点】二项分布的概率公式:若 Y、B( n, p),则 PY 二匕；乂：/(1-卩严，k=0,1川，n.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(B)【解析】由于sin x 7Tlim x ee,而 lim tanx -：,所以,x 才2 x >_：sin xlim x tanx eX F或考察f (x)在xn=2*匸(n“2川)的函数值，有nm

13、fspmxne2：，可见二二 sin：(r: ' : sin -fe 4 "1-e4444以下证明其他结论均不正确(兀由4 ,知(A)不正确;f(X)是无界函数.应选(B).f兀、f 冗由 f 0, f -一 0,而 f 0；=0,知(D)不正确.14丿J 4丿证明(C)不正确可用反证法.设 g x = tan x esinx是g x的定义域为 D = x| x-jiik 汀=0'1,2 川,且g x的全部零点为 & =n二，n =0,_1,_2,|(.若f x = xg x以T T 0为周期，则x T g x T 二 xg x ,x D.令x=0,有Tg T

14、 =0,即g T =0.从而T = k二，其中k为某一正数.于是2k二也是 xg x的周期.代入即得，对一 D有x 2k二 g x 2k二二 x 2k二 g x = xg x .这表明2k二g x三0在xD上成立，于是g x三0在x D上成立，导致了矛盾.故f x =xg x不可能是周期函数【相关知识点】极限的四则运算法则：若 lim f (x)二 A, lim g(x)二 B ,则有 lim f (x) g(x)二 AB.X xX %X f【答案】(D)【解析】通过变量代换t=x1或按定义由关系式f(x)二af(x)将f(x)在x = 1的可导性与f (x)在x=0的可导性联系起来令x 1,

15、则f (t)二af(t -1).由复合函数可导性及求导法则，知f(t)在t =1可导，且f (t)t=af (t-1)(t-1)td =af(0ab,因此，应选(D).【相关知识点】 复合函数求导法则：如果u = g(x)在点x可导，而y = f (x)在点u = g(x)可 导,则复合函数y二f lg(x) 1在点x可导，且其导数为d = f (u) g (x)或史二史史dxdx du dx【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论，以及充分必要性条件的概念.(A)(B)(D)均是必要条件，并非充分条件.也就是说，向量组121(,亠线性无关，可以推导出(A)(B)(D)选项，但是不能

16、由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组线性无关.例如:(1,0),(011)1(111)显然有(1,0) (0,1) -(1,1)= (0,0),该向量组线性相关但(A)(B)(D)均成立根据“：仆21(,亠线性相关的充分必要条件是存在某:i(i =1,2,川，s)可以由1,川2, ：i 1,Ms线性表出 ”或由“12l(,s线性无关的充分必要条件是任意一个 :i(i =12川，S)均不能由1l2i4i1,Ms线性表出 ”故选(C)【答案】A【解析】由于B A,所以A - B =A,于是有P A Bi=p A 故本题选A.对于B选项，因为B A,所以事件B发生，则事件A必然发生，所以

17、P AB = P B ,而不是P ABi； = P A ,故B错对于C选项，因为B A,由条件概率公式 P B人=鬻，当B,A是相互独立的事件时,才会有P(B A)=P(B );所以C错对于D选项,因为B A,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故P B - A =0,所以(D)错.【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义，有p(x 二Y 二 pfx 二 -1,丫二 pfx =1,Y =1二 plx 二-1 PY 二-V PX =1 PY =111111=x: + X =2 2 2 2 2故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项，题目中只说了随机变量X和Y相互

18、独立，且他们的概率分布相同，但是者是不同的事件，并不能说事件 X与事件Y是同一事件故(A)错.ln x=72(x)0 ,故函数I (x)在e,e2上单三、计算题(本题满分20分，每小题5分.)(1)【解析】在x e,e2上，I (x)二x 2x + 1调增加，最大值为I(e2).由怎甘dI (e2)二e2 lnta2e (t-1)dte2Intd丄t-1lntt -1e2e2dtInte t t -1 t -12e+ee2(丄)dtt -1 t2e2 -11丄 In(e2 -1)-2- l.ln(e-1)-1】 e-1.e 1+ ln.e+1 e【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：I

19、 (t)若 F(t)二 f(x)dx(t), ：(t)均一阶可导，则(t)F (t)f(t) f(t)l.2.假定U二u(x)与V二v(x)均具有连续的导函数,则uvdx 二 uv- u vdx,或者 udv 二 uv- vdu.(2)【解析】区域D是无界函数，设Db=Dn0_y_b；-x,y 0_y_ b _ x _不难发现,当b；工：时有Db D,从而.y2. .y2x丄dy 址 xdx1b 11V2lim（_yy）e dy2 0'4，9“'5b2lim ye * dy72匕厂：0-t 二 y2b2e'dt11 xe dxdy lim xe_ dxdy lim5上2

20、5lim （1e ） 144b 门：144【解析】因系数an12（n =1,2,川）,故nlimn l :an 1an=limn i:=limn i:2n2n 1这样,幕级数的收敛半径R二丄=1.因此当-1 ： x -3 ： 1,即2 x 4时级数绝对收敛.当*=2时,得交错级数0彳OQ 彳' (-1)n ；当x = 4时，得正项级数.,二者都收敛，于是原级n生nn吕n数的收敛域为2,4.【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果F ；,其中z是幂级一 a：用的n =0-He0,相邻两项的系数，则这幕级数的收敛半径0兰P兰址,= 0,P = "HeqQ2.交错级数的莱布尼茨判别

21、法：设交错级数7 (_1)nun满足:nW Un 比 1, n =1,2,川；(2)lim un = 0.则x (-1)nlun收敛，且其和满足n 40(1)n，Un VUi,余项 rn| VUn*n -113. p级数：v -当p 1时收敛；当p乞1时发散.np(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程，可直接利用通解公式求解-cosxdxsinxcosxdxy = ee In xe dx C=esin ' ln xdx C 二 esinxxln x - x C.方法2:|P(x)dxicosxdxsin x用函数e=e-es冋乘方程两端，构造成全微分方程.方程两端同乘 esi

22、nx,得 esinxy ' yesinx cosx = (yesinx) = (yesinx)'lnx,再积分一次得ye5inx = C 亠 iIn xdx = C xln x - x.最后，再用e_sinx同乘上式两端即得通解yueSnxixl nxx，C.【相关知识点】一阶线性非齐次方程P(x)y二Q(x)的通解为-P(x)dxP(x)dx其中C为任意常数e(Q(x)e dx+C 四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本，所以利润函数为2 2二=15 14x1 32x2 -8x2 -2为一10x2 -(xr x2)2 2=15 13为 31x2 -8x|X2

23、2为-10x2.由多元函数极值点的必要条件 ，有 -4x1 - 8x2 13 = 0,= 捲=0.75,x2 二 1.25.-8x1 20x231 二 0,因驻点惟且实际问题必有最大值，故投入电台广告费用 0.75万元，报纸广告费用1.25万元可获最大利润 若广告费用为1.5万元，则应当求利润函数(与 中解析式相同)2 2 -：=15 13xi 31x2-8x1X2-2xi -10x2,在x1 x2 =1.5时的条件最大值拉格朗日函数为2 2L(x1,x2, ) =15 13x1 31x -8x1x 2x1 -10x2 :"(x x2 -1.5),；:L:x1=4x1 8x2 13

24、= 0,2L.:x2-8咅-20x231，- 0,'x.x2 -1.5 = 0= x<)二 0, x2 =1.5.因驻点惟一，且实际问题必有最大值，故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最 大.【相关知识点】拉格朗日乘数法：要找函数z二f(x, y)在附加条件(x, y) =0下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数L(x,y) = f (x,y)(x, y),其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与附加条件联立起来：fx(x, y) J(x,y) = 0,fy(x, y) l(x,y) =0,I.：(x,y) =0.由这方程组解出 x, y及，这样得到的(

25、x,y)就是函数f (x, y)在附加条件：:(x,y)=0下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1：当a = 0时，f (a b f(bH f (a) f (b),即不等式成立；若a 0,因为f (a b) - f (a) - f (b) f (0)<f(a b)-f(b)-f(a)-f(0)=f ( 2)a-f ( da=af ( 2) - f ( 1),其中0 ： 1 : a b ： 2 - a b.又f (x)单调减少，故f (；)岂f ( 1).从而有f(a b) _f(a)- f(b) f(0)乞 0,即 f(a b)乞 f(a) f(b).方法2:构造辅助函数，将

26、式子移到不等式右边，再将b视为变量X ,得辅助函数令 F(x)二 f(x) f (a) f(a x),x 0, b,由于 f(0) =0,所以 F(0) =0,又因为F (x) = f (x) - f (a x),且 a _ 0, f (x)在(0, b)单调减少,所以 F (x) _ 0 ,于是 F(x)在0, b上单调递增，故F(b)_F(0)=0,即f (a b)込 f (a) f (b),其中 0込a込 ba b込c.【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足在闭区间a,b上连续；在开区间a,b内可导，那么在a,b内至少有一点(a：: b),使等式 f (b)f (a)二 f

27、 ( )(ba)成立.六、(本题满分8分)第二行乘以1、【解析】本题中，方程组有解二r(A)二r(A).(相关定理见第一题(4)_111115 al_11111a 13211_3:0T01_2_263a01226:b01226b】5433_1:2_1 10_1_2_2-62 5a一对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以-5分别加到第二、四行上，有-3、-1分别加到第三、四行上,第二行再自乘-1 ,有a【26： 3a:b 3a2 2a(1)当b -3a =0且2-2a =0,即a =1,b =3时方程组有解.当a =1,b =3时,方程组的同解方程组是X1 X2 沧 X4 X5 = 1,X2 2X3

28、 2X4 6X5 =3,-r(A) =5 -2 =3,即解空间的维数为 3.取自变量为x3,x4,x5,则导出组的基础解系为1 =(1,一2,1,0,0)丁，2 =(1,2,0,1,0)T, 3 =(5,-6,0,0,1)丁. 令X3 = X4 = X5 = 0 ,得方程组的特解为：二（-2,3,0,0,0） T.因此,方程组的所有解是.： 'ki i k2 2 k3 3,其中kiKK为任意常数.【相关知识点】 若：、2是对应齐次线性方程组 Ax = 0的基础解系,则Ax二b的通解形式为ki i k2,其中1, 2是Ax=O的基础解系，是Ax二b的一个特解七、（本题满分5分）【解析】若

29、 A、B是n阶矩阵，且AB=E,则必有BA=E.于是按可逆的定义知 A=B .如果对特征值熟悉，由Ak = 0可知矩阵A的特征值全是0,从而E - A的特征值全是1, 也就能证明E-A可逆由于A =0 ,故E - A （E A A2 川 Ak） = Ek -Ak = E.1所以 E - A 可逆,且 E - A =E A A2AkJ.八、（本题满分6分）【解析】（反证法）若Xi X2是A的特征向量,它所对应的特征值为-,则由定义有：A（Xj X2） = ' （X1 X2）.由已知又有 A（X1 X2AX1 AX-X 2X2.两式相减得（打）Xj （J ；2）X2 =0.由'2,

30、知- 1, - 2不全为0,于是Xi,X2线性相关，这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以，X1 X2不是A的特征向量【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵，若存在数及非零的n维列向量X使得A = X成立，则称是矩阵A的特征值，称非零向量 X是矩阵A的特征 向量九、（本题满分4分）3【解析】样本空间含样本点总数为C10;即十个数字任意选三个有多少种选择方案有利于事件A1的样本点数为C；;十个数字除去0和5任意选三个有多少种选择方案 .3 3有利于事件A2的样本点数为2C9-C8；十个数字除去0任意选三个的选择方案和十个数字,即是事件Al被加了两次,所除去5任意选三个的选

31、择方案再减去中间多算了一次的方法数 以应该减去c8 .由古典型概率公式P(A)二召 P(A2)=2CZ315Co1415【相关知识点】古典型概率公式:P(Ai)二有利于事件A的样本点数样本空间的总数十、(本题满分5分)【解析】(1)由连续型随机变量边缘分布的定义X和Y的边缘分布函数分别为,且lim e“x = 0,( a为常数)有 x_：j-:Fx(x)=F(x,：)二limF(x,y)=f_0.5x-e0,若x _ 0,若x 0;FyW) =f(二,y)二xlim；F(x,y)-1_e.5y,若 y_0, 0, 若 y<0.由于对任意实数x,y都满足F(x, y) = FX (x)Fy

32、(x).因此X和Y相互独立因为X和Y相互独立，所以有 Plx 0.1,Y 0.1.；®X 0.1 PY 0.1rA l /r a xirA l /c 八i-0.05_0.05_0.1珂1-Fx(0.1)1 -Fy(0.1) =e e 二e .十一、(本题满分7分)【解析】若已知正态分布的期望和方差，在计算有关概率时可将其转化为标准正态分布的有关概率，通过叮' (x)表计算.但是正态分布的参数与二2未知时，则应先根据题设条件求出与二2的值，再去计算有关事件的概率.设X为考生的外语成绩，依题意有XN (",；"),且J = 72，但二2未知.所以可标准X _

33、72化得N (0,1).由标准正态分布函数概率的计算公式,有aPX 96 ；=1-Px 乞96 ；=1-门 96-72丝 >0.023,I貯丿£丿:I 24 J -0.023 =0.977.& )一 242查表可得2,；丁 =12,即 X N(72,122),arI flx_72P(60 兰X 兰84=P2兰 1 ' = 2(1)1 = 0.682.1 12J1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】2【解析】对原式进行分子有理化 ，分子分母同乘以有理化因子 .n nn - .'n lJn

34、+3亦Jn 一麻)lim (Jn +3亦 _ Jn _亦)(Jn +3亦+Jn亦)n21-nim一匚丄。卞丄丄一匚n 3、n - n 、；n=lim "Y厶+3药+ J n 一听再分子分母同时除以.n,有原式二lim4a4因为lim = ：- 0,其中a为常数,所以原式2.1+1【答案】b a【解析】由于F(x)在x=0处连续，故A = F(0)pmF(x).I叫F (x)为“ 0 ”型的极限未定式，又f (x)在点0处导数存在，所以A=|imf(x)asinxx)0=limx )0厂(x)+acosx _b + a【相关知识点】函数y二f(x)在点X。连续：设函数y= f(x)在点

35、X。的某一邻域内有定义,如果lim f (x) = f (冷)，则称函数f (x)在点x°连续.x內1【答案】4-2【解析】先解出两条曲线在平面的交点，即令x2解得x - -1和x =2,故所围成的平面图形如右图所示2 2S x 2 -x dx所求面积为= ；x2 2xx323【答案】a1 a2 a3 a4 =0【解析】由于方程组有解二r(A)二r(A),对A作初等行变换 第一行乘以丨T 加到第四行上，有1100-a1 11100_a1 10110a20110a2T0011_a30011-as001a4 一-101印+a4第二行加到第四行上，再第三行乘以-1加到第四行上，有-1100

36、_a1-11 00_al0110a21 10a2T0011_a3T110011印 +a2 +a41 10印 +a2 +a3 +a4为使 r(A) = r(A),常数 ai, 828384应满足条件：a! a? *3 a 0 .【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩阵,线性方程组 Ax二b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A hAb的秩，即是r(A) =r(A)(或者说，b可由A的列向量n线表出，亦等同于:1,2，川，：与：12l(n，b是等价向量组).设A是m n矩阵，线性方程组Ax=b，则(4)有唯一解r(A) = r(A) = n.(5)有无穷多解r(A)

37、= r(A) ： n.(6)无解r(A) 1=r(A).二b不冃匕由A的列向量厂2ll,n线表出2【答案】一3【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型，设试验的成功率即射手的命中率为p，则进行四次独立的射击，设事件丫为“射手命中目标的次数”，丫服从参数80茁的二项分布，由二项分布的概率公式，事件“四次均不中”的概率为(1 - p)4，它是至少命中一次的对立事件依题意(1-p)4 =1本题的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数，p表示一次射击的命中率，则X - B(4, p)，依题意4 1PX P；=1 -、PX S 二一即(1-p)48i= p = 3【相关知识点】二项

38、分布的概率公式:若 Y、B(n, p),则 pfY 二k?二C：pk(1-p)z, k=0,1,”|, n.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】(B)【解析】由于lim x esinxe,而lim tanx - :,所以,222lim x tanx esinx -:,故 f (x)无界. xyJ或考察 f (x)在 Xn = 2n (n = 12川)的函数值，有 lim f (Xn)二 lim x*e 2 - ：,可见 4n-?cf (x)是无界函数.应选(B).以下证明其他结论均不正确 .由f汀y知(A)不正确;由f 一 0, f -一 0,而f 0A0,知(D)不正确.

39、4. 4证明(C)不正确可用反证法.“sinx设g x =tanxe ,于是g x的定义域为D= x|x= k 】，k=0 , 1 ,2|)lI2J且g x的全部零点为Xn =n二，n =0,_1,_2,|(.若f x = xg x以T T 0为周期，则有x T g x T = xg x , _x D.令x=0,有Tg T =0,即g T =0.从而T二k二，其中k为某一正数.于是2k二也是 xg x的周期.代入即得，对- XD有x 2k二 g x 2k二=x 2k二 g x = xg x .这表明2k二g x =0在x，D上成立，于是g x三0在x D上成立，导致了矛盾.故f x =xg x

40、不可能是周期函数【相关知识点】极限的四则运算法则若 lim f (x) = A, lim g(x) = B ,则有 lim f (x) g(x) = AB.x /0X 汽X m【答案】(D)【解析】通过变量代换 x 1或按定义由关系式 f (1 x) =af(x)将f(x)在x=1的可导性与f (x)在x = 0的可导性联系起来.令x 1,则f (t)二af(t -1).由复合函数可导性及求导法则,知f(t)在t =1可导,且f (切厂af (t-1)(t-1)taf(0) =ab,因此，应选(D).【相关知识点】 复合函数求导法则：如果u二g(x)在点x可导，而y二f (x)在点u二g(x)

41、可导,则复合函数y二f lg(x) 1在点x可导，且其导数为df (u) g (x)或dxdx du dx【答案】(C)【解析】本题考查线性无关的概念与理论，以及充分必要性条件的概念 .(A)(B)(D)均是必要条件，并非充分条件.也就是说，向量组a线性无关,可以 推导出(A)(B)(D)选项，但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组线性无关例如：(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0) (0,1)-(1,1) = (0,0),该向量组线性相关但 (A)(B)(D)均成立根据“1,2l(,s线性相关的充分必要条件是存在某 i(i =1,21 ,s)可以由:仆丨1(冷丄

42、冷1JIUs线性表出 ”或由“1,2l|,：s线性无关的充分必要条件是任意一个:i(i =1,2,|l(,s)均不能由：JlWi4i 1,Ms线性表出 ”故选(C).【答案】A【解析】由于B A,所以A B二A,于是有P A B = P A 故本题选A.对于B选项，因为B A,所以事件B发生，则事件A必然发生，所以P AB = P B , 而不是P AB二P A ,故B错对于C选项，因为B A,由条件概率公式P(B A )=P(AB)P(A),当B, A是相互独立的事件时，才会有P(B A)=P(B ”所以C错对于D选项,因为B A,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故P B - A

43、=0,所以(D)错.【答案】(C)【解析】由离散型随机变量概率的定义，有plx =Y ； =px 二1,Y 二1 PX =1,Y=1= PX =-1 PY=_1? Pfx =1 PY=111111=X +2 2 2 2 2故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的.对于(A)选项，题目中只说了随机变量X和Y相互独立，且他们的概率分布相同，但是者是不同的事件，并不能说事件 X与事件Y是同一事件故(A)错.三、计算题(本题满分20分，每小题5分.)In x(1)【解析】在x e,e2上，I (x)二丐x 2x + 1lnx 0,故函数I (x)在e,e2上单2(x1)调增加，最大值为I(e2).

44、由丰二址单“2 2(1X)2(1X)2(1 X)I (e2)二e2 lnt dt_e22(t1)lntd t-1Inte2e2dtInte2e2t -1e t t _ _t -1(1 】)dt t -1 te2 -1 e-1丄 In(e2 -1)-2- l.ln(e-1)-1】ln【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：i：.(t)若 F(t)二 f(x)dx,(t), ：(t)均一阶可导，则f 二-(t) f：(t)iT(t) f(t)L2.假定U二u(x)与V二v(x)均具有连续的导函数，则uv dx = uv - u vdx,或者 udv 二 uvvdu.(2)【解析】区域D是无界

45、函数，设Db =D n0 乞 y 乞 bl = x, y 0 乞 y 乞 b#不难发现，当b；心时有Db D ,从而_y2_y211 xe dxdy lim xe_ dxdy lim db 心 Dbb0dy T xdx1b 1125b2limyedy t = y72 b： 0 -5b2lime'dt144b 心 o144blim*e“144【解析】因系数an12(n = 1,2l|),故nlimn 5:an 1n2an这样,幕级数的收敛半径r二丄=1.因此当_1 :： X -3 :： 1,即2 x 4时级数绝对收敛.当x=2时,得交错级数eoj a'、(-1)n ；当x = 4

46、时，得正项级数' -,二者都收敛，于是原级n数的收敛域为2,4.【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果,其中an,an1是幕级数7 anXn的n =0沙：0(4y(y)edy相邻两项的系数，则这幕级数的收敛半径P'R =:0,2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数、(-1)、满足:听比十,nh，2,川；(2)助7P(x)dxy =e|P(x)dx.Q(x)e dx C其中C为任意常数则(_1)n%收敛，且其和满足0：、(_1)nun屮，余项rn : un1. n 4nJ13.p级数：v 当p .1时收敛；当p乞1时发散.n4np(4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方

47、程，可直接利用通解公式求解-cosxdxsin xcosxdxy = ee In xe dx C= esmx Jln xdi'=e_sinxxln x x +C-方法2：用函数e.p(x)dx =eFosxdx =esinx同乘方程两端，构造成全微分方程.方程两端同乘 esinx,得 esinxy ' yesinx cosx = (yesinx) = (yesinx/ = lnx,再积分一次得yex = c 亠 i In xdx = C xln x-x.最后，再用e_sinx同乘上式两端即得通解y = enxixln x - x C.【相关知识点】一阶线性非齐次方程、 P(x)

48、y =Q(x)的通解为四、(本题满分9分)【解析】(1)利润为销售收入减去成本，所以利润函数为22二=15 14x-i 32x2 -8x|X2 -2为-10x2 -(x< x2)22=15 13为 31x2 -8x|X2 -2为一10x2.由多元函数极值点的必要条件，有=-4捲8x2 +13 = 0,%/n 捲=0.75,x2 = 1.25.8洛20x231 =0,X因驻点惟一，且实际问题必有最大值，故投入电台广告费用 0.75万元，报纸广告费用1.25万 元可获最大利润 .(2)若广告费用为1.5万元，则应当求利润函数(与(1)中解析式相同)2 2i -15 13x1 31x2 - 8

49、X1X2 - 2x1 10x2,在x1 x2 =1.5时的条件最大值.拉格朗日函数为2 2L(x1,x2, ) =15 13x1 31x2 -8x1x2x1 -10x2 ：； ； (xx2 -1.5),乱 =4x1 -8x2 +13 + 九=0,FL由8x1 - 20x2 31 - 0,cx2cL=为 +x2 1.5 = 0 X"i = 0, x2 =1.5.因驻点惟一，且实际问题必有最大值，故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.【相关知识点】拉格朗日乘数法：要找函数z = f(x, y)在附加条件 (x, y) =0下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数L(x,y)

50、= f (x,y)(X, y),其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与附加条件联立起来：fx(x, y) *x,y) = 0,fy(x,y)J(x,y) =0,.(x,y0.由这方程组解出 x, y及，这样得到的(x,y)就是函数f (x, y)在附加条件(x,y)=0下的可能极值点.五、(本题满分6分)【解析】方法1：当a = 0时，f (a bH f(bH f (a) f (b),即不等式成立；若a 0,因为f (a b) - f (a) - f (b) f (0)珂f(a b)-f(b)-f(a)-f(0)=f ( 2)a-f ( 1)a=af ( 2) - f ( 1),其中0 ： 1 : a乞b ： 2 < a b.又f (x)单调减少,故f2)乞f ( 1).从而有f (a b) _f(a)- f(b) f(0)乞 0,即 f(a b)乞 f(a) f (b).方法2:构造辅助函数，将式子移到不等式右边，再将b视为变量x ,得辅助函数令 F(x)二 f(x) f (