19.2特殊的平行四边形(通用)

1、菱形讲义菱形知识精讲一. 菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.二. 菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有.此外，它还具有以下性质:1.菱形的四条边都相等；2 .菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3 .是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线.三. 菱形的判定1 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3 四条边都相等的四边形是菱形.四面积问题如下图：1S菱形ABCD pACUBD .三点剖析.考点：1.菱形的性质；2.菱形的判定；3 .面积问题.重难点：菱形的性质和应用，菱形的证明与判定.三.易

2、错点：矩形和菱形性质的区别.例题讲解一：性质例如图，在菱形 ABCD中，E是AB边上一点，且/ A=Z EDF=60，有下列结论： AE=BF DEF是等边三角形：厶 BEF是等腰三角形；/ ADEN BEF,其中结论正确的个数是 C. 1D. 2A. 3B. 4【答案】D【解析】连接BD ,凶四边形ABCD是菱形，1 AD=AB，/ ADB= / ADC , AB / CD ,2/ A=60° ,/ ADC=120，/ ADB=60 ,同理：/ DBF=60 ,即/ A= / DBF , ABD是等边三角形， AD=BD ,/ ADE+ / BDE=60，/ BDE+ / BDF=

3、 / EDF=60 ,/ ADE= / BDF ,在 ADE和厶BDF中，ZADE ZBDFAD =BD,IZA /DBF ADE BDF (ASA ), DE=DF ,/ EDF=60 , EDF是等边三角形，正确；/ DEF=60 ,/ AED+ / BEF=120 ,/ AED+ / ADE=180 -Z A=120 ,/ ADE= Z BEF;故正确.vZ ADE= Z BDF ,同理：Z BDE= Z CDF,但Z ADE不一定等于Z BDE , AE不一定等于 BE , 故错误; ADE BDF , AE=BF ,同理：BE=CF,但BE不一定等于 BF .故错误.故选D .例如图

4、，在菱形 ABCD中, Z BAD=80 , AB的垂直平分线交对角线 AC于点F,垂足为E,连 接 DF,则Z CDF等于（）A. 50°【答案】B【解析】B. 60 °C. 70°D. 80°如图，连接BF ,在菱形 ABCD 中，Z BAC= - Z BAD= - >80°40 °, Z BCF= Z DCF , BC=CD , 2 2vZ BAD=80 , Z ABC=180 -Z BAD=180 -80 °=100° ,v EF是线段AB的垂直平分线， AF=BF , Z ABF= Z BAC=40

5、 , Z CBF= Z ABC- Z ABF=100 -40 °=60° ,在 BCF和厶DCF中,BC 二CDI/BCF =. DCF ,CF =CF BCF DCF ( SAS), / CDF= / CBF=60 .故选B .例已知四边形 ABCD是边长为2的菱形，/ BAD=60，对角线 AC与BD交于点O,过点O的直 线EF交AD于点E,交BC于点F.(1) 求证： AOEA COF(2) 若/ EOD=30，求 CE的长.【答案】(1)见解析(2) 12【解析】(1)证明:四边形 ABCD是菱形, AO=CO ,AD / BC,在厶AOE和厶COF中,OAE =

6、OCFAO = CO, AOE = COF AOECOF ( ASA );(2)/ BAD=60 ,11 / DAO= / BAD=00 °=30 °,22/Z EOD=30 ,/ AOE=90 -30 °60° ,Z AEF=180 - Z DAO- Z AOE=180 -30 °-60 °90°/菱形的边长为 2,Z DAO=30 ,11OD= AD= ><2=1 ,22 AO= . AD2 -OD2 = 22 12 = 3 , AE=CF= 3=-,2 2/菱形的边长为 2,Z BAD=60 ,.高 EF=

7、2X_2=32 ，在 Rt CEF 中，CE= EF2 CF2 = , (j2 ( 3)2 = 二：判定例如图，在?ABCD中，添加下列条件不能判定 ?ABCD是菱形的是()A、 AB=BCB. ACL BDC. BD平分Z ABCD. AC=BD【答案】D【解析】/四边形ABCD是平行四边形， A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得?ABCD是菱形，故本选项正确；B、 当AC丄BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得?ABCD是菱形，故本选项正 确；C、当BD平分Z ABC时，易证得 AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得ABCD是菱形，故本

8、选项正确；由排除法可得D选项错误.故选D .例如图，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形 ABCD只需要满足一个条件，是（）A. 四边形ABCD是梯形C. 对角线AC =BDB. 四边形ABCD是菱形D. AD =BC【答案】D【解析】：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，.EF II AD , HG / AD ,.EF / HG ;同理，HELGF ,.四边形EFGH是平行四边形；A、 若四边形 ABCD是梯形时， AD =CD，贝U GH = FE，这与平行四边形 EFGH的对边GH =

9、 FE 相矛盾；故本选项错误；B、若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误；C、 若对角线AC =BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同 A选项；故本选项错误；D当AD =BC时，GH =GF ;所以平行四边形 EFGH是菱形；故本选项正确.故答案为D选项.例 1.2.3 如图.在 ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D, AE平分/ BAC 分别于 BC CD交于 E、F, EH! AB于H.连接FH,求证：四边形 CFHE是菱形.【答案】见解析【解析】证明：/ ACB=90 , AE 平分/ BAC , EH 丄 AB , CE=EH ,在 Rt ACE

10、和 Rt AHE 中，AE=AE , CE=EH，由勾股定理得： AC=AH ,/ AE 平分/ CAB ,/ CAF= / HAF ,在厶CAF和厶HAF中AC = AH?r? CAF ? HAF ?AF = AF CAF HAF ( SAS),/ CD 丄 AB，/ ACB=90 ,/ CDA= / ACB=90 ,/ B+ / CAB=90，/ CAB+ / ACD=90 ,/ ACD= / B= / AHF , FH / CE,/ CD 丄 AB , EH 丄 AB , CF / EH ,四边形CFHE是平行四边形，/ CE=EH ,四边形CFHE是菱形.例已知：如图，在 ？ABCD中

11、，E, F分别是边 AD, BC上的点，且 AE=CF,直线 EF分别交 BA的延长线、 DC的延长线于点 G, H，交BD于点0 .(1) 求证： ABEA CDF;【答案】(1 )证明见解析；(2) 连接DG若DG=BG则四边形 BEDF是什幺特殊四边形？请说明理由.菱形【解析】(1 )证明：四 边形ABCD是平行四边形， AB=CD , / BAE= / DCF ,皆CD在厶 ABE 和厶 CDF 中， ZBAE=ZDCF ,Iae=cf ABE CDF ( SAS );(2)解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示： 四边形ABCD是平行四边形， AD / BC , AD=BC ,

12、/ AE=CF , DE=BF ,四边形BEDF是平行四边形， OB=OD ,/ DG=BG , EF 丄 BD ,四边形BEDF是菱形.例已知一个菱形的周长是 20cm,两条对角线的比是 42 2 2A. 12cmB. 24cmC. 48cm【答案】B【解析】该题考查的是菱形的性质.四边形ABCD是菱形四边形ABCD四边长相等，且对角线互相垂直且平分，t该菱形周长为20cm它的每个边长为 5cm两条对角线的比是 4:3 OA 3OB 一4由勾股定理，算出 OA =3cm , OB =4cm ,两平分线长度分别为 6cm, 8cm;:3,则这个菱形的面积是（）2D. 96cm菱形面积$冷6 8

13、® .例如图，在菱形A. 4【答案】C12B.524C.5D. 51ABCD中，AB=5,对角线 AC=6.若过点 A作AE丄BC,垂足为 E,贝U AE的长【解析】连接 BD,交 AC于 O 点，T AB=BC=CD=AD=5 二 AC丄 BD, AO= 2 AC, BD=2B0,1 1/ AOB=90 ,T AC=6,. A0=3,. B0= 25 9 =4,a DB=8,.菱形 ABCD 的面积是 2 x AC?DB2 24AE= 5随堂练习1.1如图，菱形 ABCD的对角线 AC BD相交于点 则点O到边AB的距离OH等于（O, AC=8, BD=6,过点 O作OH丄AB,垂

14、足为 H,C【解析】四边形 BO=3 , AO=4 ,12C.D.ABCD是菱形，AC=8, BD=6,AO 丄 BO , AB=,I'1=5./ OH 丄 AB ,丄AO ?BO=AB?OH , OH二丄,5故选D.1.2 如图，菱形 ABCD中，/DAB =60 ,DF _ AB于点E,且DF = DC，连接FC,则.ACF的度数度.【答案】15ZAD =-ZADB【解析】DF _ AB ,2=30，.乙CDF= 120 -30 =90 DF =DC CDF是等腰直角三角形，ZDCF= 45°NACF=45 30 =151.3如图,在菱形 ABCD中, M,N分另【J在A

15、B, CD上，且AM=CN MN与AC交于点 O,连接BO 若/DAC=28A. 28°【答案】，则/ OBC的度数为（B. 52 °C. 62°D. 72°【解析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相 互垂直的性质.根据菱形的性质以及 AM=CN，利用ASA可得MMO CNO ,可得AO=CO，然后可得BO丄AC , 继而可求得/ OBC的度数.四边形ABCD为菱形, AB / CD , AB=BC ,/ MAO= / NCO，/ AMO= / CNO , 在MMO和加“。中,MAO 二 NCO AM = CN

16、 , |ZAMO ZCNO AMO 也厶 CNO (ASA ), AO=CO ,/ AB=BC , BO 丄AC ,/ BOC=90 ,/ DAC=28 ,/ BCA= / DAC=28 ,/ OBC=90 -28 °62° .故选：C.1.4已知：如图，四边形 ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M交CD的延长 线于点F.(1)求证：AM=D；(2 )若DF=2,求菱形ABCD勺周长.【答案】(1)见解析(2) 16【解析】(1)证明：四边形 ABCD是菱形,/ BAC= / DAC .上J又 EF 丄 AC , AC是EM的垂直平分线， AE=AM

17、 ,11 AE=AM= - AB= AD ,22 AM=DM .(2)解：T AB / CD ,/ AEM= / F.又/ FMD= / AME，/ AME= / AEM ,/ FMD= / F, DFM是等腰三角形，1 DF=DM= -AD2 ' AD=4 .菱形ABCD的周长是16.1.5如图，矩形 ABCD的对角线相交于点 O, DE/ AC, CE/ BD. 求证：四边形 OCED是菱形.【答案】见解析【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义：一 组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边 形是菱形

18、.首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论.证明： DE / AC , CE / BD ,四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD是矩形， OC=OD ,四边形OCED是菱形.1.6若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是A.矩形B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形【答案】C【解析】如图，根据题意得：四边形 EFGH是菱形，点E, F, G, H分别是边AD , AB , BC, CD的中点,H EF=FG=CH=EH , BD=2EF , AC=2FG , BD=AC .原四边形一定是对角线相等的四边形.故选：C.1.7如图，在矩形 ABCD中，对角线 BD的垂直平分线 MN与 AD相交于点 M与BD相交于点N,连接BM, DN(1) 求证：四边形BMDN是菱形；(2) 若 AB=4, AD=8 求 MD的长.【答案】(1)见解析(2) 5【解析】(1)证明：四边形 ABCD是矩形, AD / BC，/ A=90 ,/ MDO= / NBO，/ DMO= / BNO ,在 DMO 和厶B