数形转化中可能发生的错误

1、数形转化中可能发生的错误当我们将一个数学问题转化为一特定的图形之后，我们便可创造性地分析问题的解法；代数演算的确切性可以帮助我们定量地来探讨几何图形的位置及关系，当我们将一个几何问题代数化以后，我们便可抽象性探索问题的解法，然而，在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则，如果违反了上述原则，常常会步入数形结合的误区，本文从以下四个方面阐述数形结合不当将会引起的错误。1、 数形结合无中生有借形解题有独到的效果，但若忽视图形的存在性，只凭主观想象，无中生有，则会造成错解。 例1 已知抛物线y2 = x有一条长为l的动弦AB，求AB的中点M到y轴的最短距离dmin。错解：如图1，F（1/4，0）为抛

2、物线的焦点，l为其准线，AEl，BGl，E、G为垂点，则 （图1）剖析：上述解法中不等式取等号的条件为动弦AB过焦点。经过抛物线焦点的弦中，以通径（即过焦点且垂直于对称轴的弦）最短，而抛物线y2 = x的通径为1，因此，当l<1时，上述“数形结合”中的“形”是不存在的。正确解答：设中点M坐标为（x, y）, A为（x + u, y + v）, 则B为（x - u, y - v），于是（y + v）2 = x + u，（y - v）2 = x - v，（2u）2 + (2v）2 = l2.消去u和v可得探求上述函数的最值，易知 2、数形结合图形失真借形解题，不仅要画出相应图形的大致草图，而

3、且要尽量地准确描绘图形；必要时还需对图形的直观分析给出严密性的推理。例2 方程x2 = 2x的解的个数为（ ）。（A）0 （B）1 （C）2 （D）3错解：在同一坐标系内做出函数y = x2和y = 2x的图像，如图2所示，它们有两个交点，故选（C）。 图2剖析：此题由于草图粗糙而导致误判。事实上，当x < 0时，两图像显然有一个交点；当x > 0时，考察函数y = x2和y = 2x的增长“速度”变化，即知它们有两交点，即（2，4）和（4，16），故正确答案应为（D）。3、 数形结合以偏概全借助图形解题时，必须考察图形的所有可能性，思维严谨，进而来反映代数性质的全貌，以求得问题的

4、完整解答。 例3 已知直线y = 3 - x和坐标轴交于A、B两点，若抛物线y = -x2 + mx - 1和线段AB有两个不同的交点，求实数m的范围。图3 错解：令f ( x ) = -x2 + mx 1，结合图3知抛物线和AB有两交点需满足解之得 剖析：上述解法错误地认为抛物线的顶点需在线段AB上方,事实上它忽略了顶在线AB下方而抛物线AB有两交点的情形。正确解答：将y = 3 - x代入抛物线方程即得x2 - (m + 1)x + 4 = 0，欲满足题设条件，只需此方程在0，3内有两个不同实根，令f (x) = x2 - (m + 1)x + 4，则解之得 4、数形结合逻辑循环在许多时候

5、，图形的直观结论是依靠数式关系来刻画的，此时，若用图形的直观结论（未经严密论证）来证明数式关系，便往往会步入逻辑的误区。 例4 已知等差数列an及等比数列bn，a1 = b1，a2 = b2，且这两个数列都是严格递增的正项数列。求证：当n > 2时，an < bn。错证：设an的公差为d (d > 0)，bn的公比不q，则an = dn +（a1 - d1），bn = b1q n - 1。从而，点（n，an）在直线y = dx + a1 - d上，点（n，bn）在曲线y = b1q x - 1上，由已知它们必有两个交点A（1，a1）和B（2，a2）。由图4知，当n > 2时，an < bn。图4剖析：题目欲证n > 2时an < bn，而图4中的图像位置关系（x > 2）正是我们所要证明的等价命题，由于直线和指数类函数曲线的位置关系未经严密论证，故上述证法属于逻辑循环的误证