中考压轴题汇编-点的存在性问题

1、2007年中考压轴题汇编一点的存在性I可题1、(福建龙岩)如图,抛物线 y =ax2 -5ax + 4经过4ABC的三个顶点, BC / x轴,点 A在x轴上,点 C在y轴上,且AC =BC .(1)求抛物线的对称轴；(2)写出A, B, C 三点的坐标并求抛物线的解析式；(3)探究：假设点P是抛物线对称轴上且在 x轴下方的动点, 是否存在4PAB是等腰三角形.假设存在,求出所有符合条件 的点P坐标；不存在,请说明理由. -5a 5解：(1)抛物线的对称轴x =上 2分2a 2(2) A(工,0)B(5 4) C(0 4 ) 5分2.一 .1把点A坐标代入y=ax 5ax+4中,解得a =-

2、6分6125,八: y = 一 x +x + 4 7分66(3)存在符合条件的点 P共有3个.以下分三类情形探索. 设抛物线对称轴与 x轴交于N ,与CB交于M .过点 B 作 BQ _Lx 轴于 Q,易得 BQ=4, AQ =8 , AN =5.5,以AB为腰且顶角为角A 的 4PAB 有 1 个：zRAB .AB2 =AQ2 BQ2 =82 42 =80在 RtzANP1 中,PN =Ja42 an2 = Jab2 _AN2 = J80_(5.5)2 =99以AB为腰且顶角为角B 的 4PAB有 1 个：zBAB .在 RtBMP2中,MP2=Jbp22 bm 2 = Jab2 bm 2

3、=如言=295 to分11分15 8 -295 p F2 一,2以AB为底,顶角为角 P的4PAB有1个,即zEAB .画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于 P3,此时平分线必过等腰 ABC的顶点C .过点E作P3K垂直y轴,垂足为K ,显然 RtA P3CK s RtA BAQ .P3K BQ 1-=.CK AQ 2：P3 K =2.5CK=5 于是 OK=1 13分P3(2.5,-1) 14 分 注：第(3)小题中,只写出点 P的坐标,无任何说明者不得分.2、(河南)如图,对称轴为直线x= 7的抛物线经过点 A (6, 0)和B (0, 4).(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E (

4、x, y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形 OEAF是以OA为 对角线的平行四边形,求四边形 OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围；(3)当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?假设存在,求出点 E的坐标；假设不存 在,请说明理由.y*7x= 23、(山东临沂)如图,抛物线的顶点为A(2, 1),且经过原点 O,与x轴的另一交点为Bo(1)求抛物线的解析式；(2)假设点C在抛物线的对称轴上,点 D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标；(3)连接OA、AB,如图,在

5、x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得 OBF与4OAB相似假设存在,求出 P点的坐标；假设不存在,说明理由.26.解土C3由题意可设随物线的解折式为尸=且?土一2尸+ 1. C 分)Y掘物缓过原点.AO = aCO -Si1 + 1,其他的利tgg衍我力在口 下 =+华苒+ 一 八一一一一 fin nEJ ,当 uu 辿能隹福平亍四边摩 M * 和即 Sv Eh 酶物,的又寸祢性E划 * 八o - yijB ,上 Aom abo. 假设4日力产与AA5B相作工.必辆有上产.日一上aoA 一目产d设 W:,女,fk的标折式汨JV =-_-由一方+工.铀 1 I 令 - 过户作尸后_L e钾J 在

6、氏止心目五二1rh +t JBE - 2 尸目 , PB - 淖 + K 4.二 户日 / OB B 二 上 ZJOF* 上 &二CX r.-*= idLACJ 不相假, 一一一 一同坦可迎期在用t称驰左班的岫物疑上也不存在濯F合条件邰J尸 点, 所以在该捕aMr曲上不存在点 尸他用.C5O Ft 目JU-4、(浙江义乌)如图,抛物线 y2=x 2x3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于(1)求 A、B(2) P是线段A、C两点,其中两点的坐标及直线AC上的一个动点,C点的横坐标为2.AC的函数表达式； 过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值；(3)点G

7、抛物线上的动点,在 x轴上是否存在点 F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在,求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在,请说明理由.解：(1)令 y=0 ,解得 x1 = 1 或 x2 =3 (1 分).A (-1 , 0) B (3, 0) ; (1 分)将C点的横坐标x=2代入2y=x 2x3 得 y=-3, . . C (2, -3) (1 分),直线AC的函数解析式是(2)设P点的横坐标为y=-x-1(-1x2)(注：x的范围不写不扣分)那么P、E的坐标分别为:(x, -x-1), (1 分)E ( (x, x2 2x -3) (1 分)P点在E点的上方,PE

8、= (x 7) (x2 - 2x _3) = _x2 + x + 2 (2 分)1 9当x =一时,PE的取大值=(1分)(3)存在 4 个这样的点 F,分别是 F1(1,0), F2(,0), F3(4 +V7), F4(4 -77)(结论“存在给1分,4个做对1个给1分,过程酌情给分)5、(重庆),在 RtAOAB中,/ OAB =90, / BOA = 30, AB = 2.假设以.为坐标原点,OA所在直线为X轴,建立如下列图的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将 RtAOAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点 C处.(1)求点C的坐标；(2)假设抛物线y =ax2 +bx (a w0

9、)经过c、A两点,求此抛物线的解析式；(3)假设抛物线的对称轴与 OB交于点D,点P为线段DB上一点,过P作y轴的平行线, 交抛物线于点 Mo问：是否存在这样的点 P,使得四边形 CDPM为等腰梯形假设存在,请 求出此时点P的坐标；假设不存在,请说明理由.2汪：抛物线 y=ax +bx+c (a%)的顶点坐标为b2a4ac - b24a对称轴公式b2a解：(1)过点C作CHx轴,垂足为H.在 RtAOAB 中,/ OAB =90, / BOA = 30, AB = 2.OB = 4, OA = 23由折叠知,/ COB = 300, OC=OA= 2a/3./COH = 600, OH=J,

10、CH= 3,C 点坐标为(J3 , 3)(2) ;抛物线 y =ax2 +bx ( a w0)经过 c ( v3 , 3)、A ( 2J3 , 0)两点a - -1b =2、33 = Q3 2a +G2解得：,0 = 23 a 2 3b此抛物线的解析式为：y = -x2 2 3x(3)存在.由于y = -x2 +23x的顶点坐标为(飞3 , 3)即为点CMP,X 轴,设垂足为 N , PN=t,由于/ BOA = 30O,所以 ON=、；3tP ( v3 t , t)作PQCD,垂足为Q, ME CD,垂足为 E把 x = )连结0% PM、0P,过F作尸轴于川 那么七POM=90.V W (

11、1. -I), A (I, 0), AM = j04| J. 欷乂=45j wi =必,工 I owl = 1 用Pl 即 z=rv E (xt y)花二次函数y =/-2x的图象上 二工=- 一?工解得0或一3 7尸(人y)在对称轴的右支上,工1,工=3 y=3即P (3, 3)是所求的点连结时显然(?;/,为等幅直角三角形.为耦足条件的点0* (2. 0)工满足条件的点是产(2. 0)或户(3, 3) 30P = 38,即网：= yOP - OM = g布或 S心血-yO.W - ObV - I(3)设修8与C.的交点为.(I,/)显然总二川AO?在用&W中AO1 + AD2 0 即八(3

12、 -y)1解得,斗 二.(I, I)设边所在直线的解析式为y = H + b那么广解得g_/, 6 =?出30工所求苴线解析式为吟27、(2007浙江省)如图,抛物线 y=x 2x3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧), 直线l与抛物线交于 A、C两点,其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线 AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点,过 P点作y轴的平行线交抛物线于 E点,求线段PE 长度的最大值；(3)点G抛物线上的动点,在 x轴上是否存在点 F,使A、C、F、G这样的四个点为 顶点的四边形是平行四边形如果存在,求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在,请说明理由.解：(1)令 y=0 ,解得 x1 = 1 或 x2 =3 (1 分).A (1, 0) B (3, 0) ; (1 分)将C点的横坐标x=2代入y =x2 2x3得y= 3,C (2, 3) (1分),直线AC的函数解析式是 y=x 1(2)设P点的横坐标为x ( 1WxW2