三角形面积公式——之水平宽铅垂高叶茂恒文档良心出品

1、形ABCD,E为AD的中点,P为CE的中点,F为BP的中点,那么 BFD的面积是12D. 一a64三角形面积公式之水平宽铅垂高三角形的面积公式计算较多,而在平面直角 坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积 一般会采用割补形来求解,但有时采用水平宽铅 垂高面积公式会更加的方便.公式呈现如右图所示,过4ABC三个顶点分别作x轴的垂 线,其中过A, C两条垂线与x轴交于点E, F, 线段EF的长度称为4ABC的水平宽,而过B点1的垂线与边AC父于点D,线段BD的长度称为铅垂图,那么$ ABC=1EFgBD , 此即为三角形水平宽铅垂高面积公式,其中水平宽EF通常取最外两条垂线的宽度,对应铅垂高取

2、经过夹在中间的顶点B与边AC交点D之间的距离.公式推导如右图,过点A, C作铅垂高BD上的高AG, CH, 1 1 . _那么有 Saabc = Szabd+S»abcd = AGgBD CH gBD1 一 八1=AG CH gBD = EFgBD .22公式应用1上下垂线例1 适合八年级如图,边长为a的正方“12-12A. a B. a816说明：此题可以连结CF,由4BCD的面积减去4BCF 与4CDF的面积求解,也可以建立平面直角坐标系, 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.解析：不妨以B为原点,BC为x轴,BA为y轴建立平面直角坐标系,那么点 C 坐标为a, 0,点D坐标为a

3、, a,. E为AD的中点,.占.八、. P为CE的中点,.占.八、F为BP的中点,.占.八、过F点作BC的垂线交BD于点G,3坐标为3 a ,又直线BD的解析式为8G的纵坐标为3 a ,8.BDF 的铅垂高 FG = 3a 1a =E坐标为P坐标为F坐标为8a,281 一 一 11S>A BDF=BCgFG -ag-a22%a 16公式应用2左右垂线例2 适合八年级如图,直线yx3x3x轴,y轴分别交于点A, B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角AABC ,且CB1/ BAC=90 .如果在第二象限内有一点 Pa,1, 2且4ABP的面积与RtA ABC的面积相等,求a的 值.

4、说明：此题常见解法有三,一是连结OP, AABP|yCBPOA的面积= AOB面积+4BOP面积AAOP面积,然后用a的代数式表示,与RtAABC的面积 相等列方程求解；二是将点C沿AB翻折到C'位置,那么4 ABC面积与 ABC询积相等,假设4ABP的面积与RtAABC的面积CBPA相等,那么可得PC' AB,因此,可以由点A, C坐标先求C'坐标,再根据AB的 斜率与点C'坐标求直线PC'的解析式,将点P纵坐标代入,即可求a的值.三是考虑水平宽铅垂高公式来计算,但如果从 A, B, P三点向x轴作垂线,较为复杂,不妨换个角度应用公式,即从 垂线,仿公

5、式求解.现解析如下.解析：过A, B, P三点作y轴的垂 线,那么OB可以看成公式中的水平宽, 而PE可以看成公式中的铅垂高,不 习惯的同学可以将屏幕或头转个 90 度由AB的解析式可以得OA=后,A, B, P向y轴作垂线即左右方向作OB=1,而P的纵坐标为-,所以E为AB的中点,2所以PE = -a+理,2从而有12 2-1 a 旧,2222条垂线将与第三边AB的延长线相交,此时顶公式应用3内外垂线从例2可以看到,三条垂线不一定作向 x轴,也可以作向y轴,仿公式用即可.一般地,水平宽取的是最外的两条直线的距离,但这个做法不是绝对的,有 时根据需要也可以取任意两条直线的宽度,那么公式可以变化

6、为:1 -EFgCG.简单推导：11S»a abc = Sz acg Sa bcg=-CGgEH -CGgFH 221=- EFgCG.S»A ABC =说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时,第三点(C)到交点(G)的距离为铅垂高(CG)例3 (适合九年级) 如下图,直线l: y=3x+3与 x轴交于点A,与y轴交于点B.把4AOB沿y轴翻 折,点A落到点C,抛物线过点B, C和D (3, 0).(1)求直线BD和抛物线的解析式.(2)假设BD与抛物线的对称轴交于点 M ,点N在坐 标轴上,以点N, B, D为顶点的三角形与4MCD相 似,求所有满足条件的点N的坐标.(3)

7、在抛物线上是否存在点 P,使Sapbd=6?假设存 在,求出点P的坐标；假设不存在,说明理由.(4)点Q是抛物线对称轴上一动点,是否存在点 Q使得BQ CQ的值最大,假设存在,请直接写出点Q的坐标；假设不存在,请说明理由解析：此题只解(3),由条件可以得抛物 线解析式为y x2 4x 3 , BD解析式为y x 3,由于问题中并未交待P点在BD的 上方或下方,故要分类讨论：当P在BD下方时,如右上图,水平宽为 OD =3,铅垂高为 PE= x2 4x 3 x 3 x2 3x ; 当P在BD上方时,P可能在左,也可以在右, 但两者本质相同,如右下列图,此时依然取OD=3为水平宽,那么铅垂高 PE =八22-x 3 x 4x 3 x 3x.两种情况合起来就是1 3 x2 3x 6,即 2x 3x 4 .当x2 3x 4时,方程无实数根,即 P在BD 下方时,不可能面积为6;当 X2 3x 4 时,解得 X11,X2 4,即当 P (-1, 8)或 P (4, 3)时,Szxpbd=6.解后：从以上几例可以看到,灵活运用水平宽与铅垂高公式