复变函数与积分变换

1、复变函数复习重点（一）复数的概念1 .复数的概念：z=x+iy,x,y是实数，x=Re（z）,y=Im（zi2=1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2 .复数的表示1）模：z=Jx2+y2；,花中2）幅角：在z#0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg（z）（多值函数）；主值arg（z）是位于（-n的幅角。3 ）arg（z尸arctan且之间的关系如下：x当x0,argz=arctan;xyy_0,argz=arctan二当x<0,Jx;y：0,argz=arctan-一二x4）三角表示：z=|z|（cose+isine）,其中日=argz;注：中间一定是“+”号。5）指

2、数表示：z=|ze旧，其中6=argz。（二）复数的运算1 .加减法:若z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,则z1±z2=（x1±x2）+i（y1±y2）2 .乘除法：1）若z=Xi+iy1,z2=x2+iy2,则32=（XiX2y*）+«2丫1+xy2；4_iy_(x+iyXxx-丫+ynryxz2X2+iy(x电一界My2+2X2y42X2y2)若乙=4ei8,.=Z胪，则的叩忆归阴吗)；岸/)z2Z2|3.乘幕与方根1)若z=z(cosH+isinH)=|zei",贝Uzn=|zn(cosn+isinn8)=|znei北。2)若z=z

3、(cos+isinH)=|zei6,则n/z=z|n.'cos2k+isin2kI(k=0,1,2川n-1)(有n个相异的值)nn（三）复变函数1 .复变函数：w=f（Z在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2 .复初等函数1）指数函数：ez=ex（cosy+isiny）,在z平面处处可导，处处解析；且（ez）=ez。注：ez是以2ni为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：Lnz=ln|Z+i（argz+2k=）（k=0,±1津2|）（多信函数）；主值:lnz=lnz十iargz。（单值函数）Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点

4、及负实轴的z平面内处处解析，且（lnz）=-;z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幕与幕函数：ab=ebLna（a¥0）；zb=ebLnz（z¥0）注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且（zb）'=bzb。, sin z , cos z ,tgz =,ctgz =cosz sin ziz-iziz_iz4）三角函数:e-eeesinz=,cosz二2i2sinz,cosz在z平面内解析，且（sinz）=cosz,（cosz）=-sinz注：有界性sinzW1,coszW1不再成立；（与实函数不同）z-zze-ee-e4）双曲函数shz=,chz=2

5、2shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且（shzj=chz,（chzj=shz。（四）解析函数的概念1 .复变函数的导数.,fzo-z-fz01）点可导：f（4户也-；2）区域可导：f（z）在区域内点点可导。2 .解析函数的概念1）点解析：f（z）在zo及其zo的邻域内可导，称f（z）在zo点解析；2）区域解析：f（z）在区域内每一点解析，称f（z）在区域内解析；3）若f（z）在zo点不解析,称zo为f（z）的奇点；3 .解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；10(五)函数可导与解析的充要条件1 .函

6、数可导的充要条件：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导仁u(x, y心口 v(x,y*(x, y)可微，且在(x, y)处满足C - D条件:；:uvxyj u；:v-y.:x此时，有f，(z)=+i史；:x；:x2 .函数解析的充要条件：f(z)=u(x,y)+iv(x,y*区域内解析u u(x,y)和v(x,y声俨丫)在口内可微，且满足C-D条件：； = ?,ju：:y；x此时fr(z)=+io；:x；:x注意：若u(x,y)v(x,y)在区域D具有一阶连续偏导数，则u(x,y),v(x,y)在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导

7、且满足C-R条件时，函数f(z)=u+iv定是可导或解析的3 .函数可导与解析的判别方法1)利用定义(题目要求用定义，如第二章习题1)2)利用充要条件(函数以f(z)=u(x,y)+iv(x,y)形式给出，如第二章习题2)3)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数f(z)是以z的形式给出，如第二章习题3)(六)复变函数积分的概念与性质ni.复变函数积分的概念：jf(zHz=imif(Azk,c是光滑曲线。-_kd注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 ,复变函数积分的性质1) ff(z)dz=Qf(z)dz(c”与c的方向相反)；cc2) faf(z)+Bg(zdz=aff(z)dz+

8、Pjg(z)dz,«,B是常数；cc-c3) 若曲线c由g与c2连接而成，则f(z)dz=f(z)dz+(f(z)dz。3 .复变函数积分的一般计算法1)化为线积分：ff(z)dz=fudx-vdy+ifvdx+udy;(常用于理论证明)'c'c'c2)参数方法：设曲线c：z=z(t)9MtMP),其中c(对应曲线c的起点，P对应曲线c的终点，则f(z)dz=fz(tz(t)dt。c(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设f(z)在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则1fzdz=0c2 .复合闭路定理：设f(Z)在多连域D内解析，c

9、为D内任意一条简单闭曲线，G,C2,|Cn是c内的简其中c与ck均取正向;单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以G,c2,|cn为边界的区域全含于D内，则炉(z)dz=£f(z)dz,ck3a,f(z)dz=0,其中r由c及c(k=1,2"n)所组成的复合闭路3 .闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f(z)不解析的奇点4 .解析函数沿非闭曲线的积分：设f(z)在单连域B内解析，G(z)为f(z)在B内的一个原函数，则z2fzdz=G4-Gzi(44B)z1说明：解析函数f(z甘什非闭

10、曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f(z)在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D,z0为c内任意一点，则f(z)dz=2冗if(z0)cz-zo6.高阶导数公式：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为frdz?r"加其中c为f (z)的解析区域D内围绕zo的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。7.重要结论:8.1.2二 i,dz =U(z-a) 0,复变函数积分的计算方法n 二 0一， .，一 n#。(c是包含a的任意正向简单闭曲线)1)若f (z)在区域D内处处不解析，用一般积分法 丫(z)dz

11、= ( fz(tjz'(t)dt2)设f (z)在区域D内解析,c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，f(z)dz=0c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有Z2cfZdZ=fZdZ=FZ2-FZ1czi3)设f(z)在区域D内不解析曲线c内仅有一个奇点:£dzZ-Zo f Z二2 二 i f Zo(z-Zo)n1(f(z)在c内解析)2：二 i ndz = r fZon!曲线c内有多于一个奇点:中(z)dz=£ f(z)dz c(Ci内只有一个奇点Zk)ckn或：121f(z)dz=2ni£Resf(z),z<(留数

12、基本定理)1cki若被积函数不能表示成,",则须改用第五章留数定理来计算。(Z-Zo)n1(八)解析函数与调和函数的关系:2二,：2；：1 .调和函数的概念：若二元实函数中(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足J+J=o,二x二y中(x,y)为D内的调和函数。2 .解析函数与调和函数的关系解析函数f(z产u+iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共腕调和函数两个调和函数u与v构成的函数f(z)=u+iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u+iv一定是解析函数。3 .已知解析函数f(z)的实部或虚部，求解析函数f(z户u+iv的方法。1)偏微分法：

13、若已知实部u=u(x,y),利用C-R条件，得更，史;二x二y(*)对三二士两边积分，得v=dy-gxfy：:xfx再对(*)式两边对x求偏导，得=! fdy |+g'(x) (*)-x:x ,二 x由C - R条件,-:u:y£v：x却热ygg可求出g(x)；代入(*)式，可求得虚部 v = -udy g x：x2）线积分法：若已知实部u=u（x,y）,利用C-R条件可得dv=dx+空dy=史dx+空dy,jx；:yjy；:x故虚部为v=1。"）型dx+包dy+c;.x0,y°j,y：:x由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中（x&#

14、176;,y°）与（x,y）是解析区域中的两点. ：:u-i ：:y3）不定积分法：若已知实部u=u（x,y）,根据解析函数的导数公式和C-R条件得知，u.Nfufz=i=；:xy；x将此式右端表示成z的函数U（z）,由于f'（z）仍为解析函数，故f（z）=JU（zdz+c（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数1 .复数列的极限1）复数列4=an+ibn（n=1,2川）收敛于复数口=a+bi的充要条件为liman=a,limbn=b（同时成立）nL：nns：n2）复数列4收敛u实数列an,bn同时收敛。2 .复数项级数OQqQqq1）复数项级

15、数Kj（%=20+ibn）收敛的充要条件是级数与£bn同时收敛；n=°n=°nH02）级数收敛的必要条件是lim£n=°。n注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幕级数的敛散性qQqQ1 .幕级数的概念：表达式£Cn（z-4尸或£Cnzn为幕级数。n=°n=°2 .幕级数的敛散性qQ1）幕级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）:如果幕级数£%才在z°#°处收敛，那么对满足|z<|z°的nz°一切z，该级数绝对收敛；如

16、果在z°处发散，那么对满足|z>z°的一切z,级数必发散,2）幕级数的收敛域一圆域幕级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果limcn±=Z0,则收敛半径R=-;n'Cn|'根值法limM=73第0，则收敛半径R=-；如果九=0,则R=g;说明在整个复平面上处处收敛；如果九=°o,则R=0;说明仅在z=或z=0点收敛；注：若幕级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。(如三CnZ2n)n=03 .幕级数的性质qQqQ1)代数性质：设工anZ

17、n,ZbnZn的收敛半径分别为R与R2,记R=min(RR),n=0n=0则当z<R时，有Z(«an+Pbn)zn=豆£anzn+bnzn(线性运算)n=0nz0n=000cQoO(£anzn)(£bnzn)=2(anb+anb+HI+acbn)zn(乘积运算)nz0nz0n£2)复合性质：设当|斗<r时，f(外=£a/n,当z<R时，g=g(z)解析且g(zj<r,n=0qQ则当z|<R时，fg(z=£ang(zn。n=0qQ3)分析运算性质：设幕级数£%zn的收敛半径为R#0,则n

18、=0qQ其和函数f(z)=£anzn是收敛圆内的解析函数；n=0qQ在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f'(z)=£nanzn，z<Rn=0在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；f(z)dz莅-azn书|z<R0n=0n1(十一)幕函数的泰勒展开1 .泰勒展开：设函数f(z)在圆域z-zj<R内解析，则在此圆域内f(z)可以展开成幕级数f(z)=£,(匕'zn;并且此展开式是唯一的。n=sn!注：若f(Z)在Z0解析，则f(z)在Z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R=|Zo-a;其中R为从zo到f(Z)的距zo最近一个奇点a之

19、间的距离2 .常用函数在z0=0的泰勒展开式,23nrW1czzz1) ez=Zzn=1+z+|+z<8n卫n!2!3!n!12) ='、z=1zz|l|zHIz：11 -znO3)(-1)nn£ (2n 1)!3!5!z(2n 1)!n_2_4n(一1)2nzz(-1)2n4)cosz=z=1-一-I-z,n£2n)!2!4!(2n)!3.解析函数展开成泰勒级数的方法1)直接法：直接求出cn=2f(nXz0),于是f(z)=£cn(z-z0)nn!no2)间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幕级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展

20、开。(十二)幕函数的洛朗展开qQ1 .洛朗级数的概念：fg(z-z0f,含正幕项和负幕项n二二2.洛朗展开定理：设函数f(z)在圆环域R<z-zo<R2内处处解析，c为圆环域内绕zo的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f(z户:ZCn(z-zoF,且展开式唯一。n二二二3.解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4.利用洛朗级数求围线积分：设f(z)ftr<z-z)<内解析，c为r<z-4<R内的任何一条正向简、，、.,一一II、»一1一一、单闭曲线，则ff(zdz=2nic。其中c为f(z)在r<z-z0<R内

21、洛朗展开式中的系数。国z-zo说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z-z。)的系数。(十三)孤立奇点的概念与分类1。孤立奇点的定义：f(z)在zo点不解析，但在zo的o<|z-4<6内解析。2。孤立奇点的类型：1)可去奇点：展开式中不含z-zo的负幕项；f(z)=q+g(z-z)+c2(z-zof+川2)极点：展开式中含有限项zzo的负幕项;Cm(z-Zo)m7z .心心" GQ-与 az-z0)2 川(z-zo)m其中g(z产C5+c,mq(z4)+II"C(z-zo)m,+Co(z4)m+川在z0解析,且g(zk0,m"c_m#0;3)

22、本性奇点：展开式中含无穷多项z-zo的负事项;fz=W-CjmWCjCo-C(z-zo)-HI-Cm(z-zo)mW(z-zo)(z-z0)(十四)孤立奇点的判别方法1 .可去奇点：limf(z)=c0常数；zz02 .极点：limfz二zzo3 .本性奇点：limf(z)不存在且不为电。zZ04 .零点与极点的关系1)零点的概念：不包为零的解析函数f(z),如果能表示成f(z)=(z-z0)W(z),其中中(z)在zo解析，中(4)¥0,m为正整数，称zo为f(z)的m级零点；(n =1,2,|m -1)2)零点级数判别的充要条件zo是f(z)的m级零点uf，°，fmzo

23、=013)专点与极点的关系：zo是f(z)的m级布点uzo是的m级极点;fz4)重要结论若z=a分别是中(z)与中(z)的m级与n级零点,则z=a是中(z)”甲(z用向m+n级零点;当mn时，z=a是Jz)的m-n级零点;z当m<n时，z=2是，的nm级极点;zz当m=n时，z=a是;的可去奇点;"z当m*n时，z=a是中(z)十中(z)的l级零点，l=min(m,n)当m=n时，z=a是邛(z)+中(z)的l级零点，其中12m(n)(十五)留数的概念1 .留数的定义：设zo为f(z)的孤立奇点，f(z)在zo的去心邻域0<|zz0<6内解析，c为该域内包含zo的任

24、一正向简单闭曲线，则称积分f(z)dz为f(z)在zo的留数(或残留)，记作2n心、'1r-Resf(zzo=cf(z)dz2nil-c2 .留数的计算方法若zo是f(z)的孤立奇点，则Resf(z)z°=c，其中c为f(z)在zo的去心邻域内洛朗展开式中(z-z0)的系数。1)可去奇点处的留数：若zo是f(z)的可去奇点,则Resf(z),zo=o3 )m级极点处的留数法则I若zo是f(z)的m级极点，则Resf z ,z0jmV(m -1)!z 劭 dz(z-zo)m特别地，若zo是f(z)的一级极点，则Resf(z),zo=绥z-zo)f(z)注：如果极点的实际级数比m

25、低，上述规则仍然有效。Pz法则II设f(z)=,P(z)Q(z)在zo解析，P(zo)/。，QzQ(z0 )=o,Q'(zo 产o,则 Res,z0P zoQ zo(十六)留数基本定理设f(z六区域D内除有限个孤立奇点z1,z2川，zn外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单QO闭曲线，则1f(z)dz=2ni£Resf(z),znc、-r-n3说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f(z)在c内各孤立奇点处留数的局积分变换复习提纲部问题。一、傅里叶变换的概念Ff=.1f(t)eTwtdt=F(w)F,F()=一下()ej&宠=f(t)2二-二、几个常用函数的傅里叶变换1Fe(t).-1卜，1Fu(t)=二、()j'F(t)=1F1=2二()、傅里叶变换的性质位移性(时域)：Ff(t-to)=e,wt0Ff(t)位移性(频域)：Fejw0tf=F(w)wT30=F(w-w°)1包移性推论：Fsinw0tf(t)=F(w-