各种矩阵三角矩阵正定矩阵正交矩阵伴随矩阵

1、三对角矩阵在中，一个三对角矩阵是的一种，它“几乎”是一个。准确来说：一个三对角矩阵的在上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵：/I400I3410I0234|00137性质三对角矩阵是。尽管一般的三对角矩阵不一定是或，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵A满足ak,k+iak+i,k0,所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样都是实数。后一个推论如果我们将条件a,k+iak+i,k0换为ak,k+ia+i,k0,结论仍然成立。所有nxn三对角矩阵的组成一个3n-2维。许多线性代数应用于对角矩

2、阵时所需特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如，一个n阶三对角矩阵A的能用（）的公式计算：ddj4=det4i,你-1一%,循一1一1伊dt43即一叫,这里是第k个主，即闻口一同是由a最开始的k行k列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n,然而对于一般的矩阵复杂度是n的3次方。I计算程序一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。一个三对角矩阵利用特定的比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如，包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个1-维数列，其中一个长n包含对角元素，其它两个长为n-1

3、包含下对角线和上对角线元素。三对角矩阵方程A1=3b三联，能用一种需要O（n）次操作的解出来（GolubandVanLoan）。9正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的，因此总是。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系，考虑在n维实数中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是vTVo如果矩阵形式为Q/的线性变换保持了向量长度，则VTV=(Qv)t(Qv)=vtQtQv0所以有限维线性，比如、和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，包括了在既不是有限维的也

4、不是同样维度的空间之间的，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。nxn正交矩阵形成了一个，即指示为O(n)的，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的是O(3)的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字中很多算法比如的关键，通过适当的规范化，(用于压缩)可用正交矩阵表示。例子下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。1。”何等变换。0.96-0.280.280,96伤尔L耻钱16.26oL10- ，一1.针对x轴反射。- 0-0.80-0.600.80-0.360.48,64旋转反演rrotoinversion):轴(0,-3/5,4/5),角度

5、90。- 000f001010001口0置换坐标轴。基本构造低维度最简单的正交矩阵是1X1矩阵1和-1,它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。如下形式的2X2矩阵它的正交性要求满足三个方程在考虑第一个方程时，不丢失一般性而设p=cos8,q=sin8;因此要么t-q,u=p要么t=q,u=-p。我们可以解释第一种情况为8（8=0是单位矩阵）,第二个解释为针对在角9 /2-casfl sin 0 sin cqs8旋转的直线的。cos 9sin 0反射在45的反射对换x和y；它是，在每列和每行带有一个单一的1（其他都是0）:0110单位矩阵也是置换矩阵。反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是的

6、（等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。更高维度不管维度，总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于3X3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如，-1000-1000-100-1表示通过原点的和关于z轴的（逆时针旋转900后车+对x-y平面反射，或逆时针旋转270后对原点反演）。旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述3X3旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。但是，我们有了一般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。基本变换最基本的置换是换位（tr

7、ansposition）,通过交换单位矩阵的两行得到。任何nxn置换矩阵都可以构造为最多n-1次换位的积。构造自非零向量v的为（3=1一2丫VJVo这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射（取负平行于v任何向量分量）。如果v是单位向量，则Q=I-2vvT就足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分 射的积。任彳n x n正交矩阵都可以构造为最多n次这种反作用于由两个坐标轴所生成的二维(平面)子空间上，按选定角度旋转。它典型的用来置零一个单一的次对角线元素(subdiagonalentry)。任何nxn的旋转矩阵都可以构造为最多n(

8、n-1)/2次这种旋转的积。在3x3矩阵的情况下，三个这种旋转就足够了；并且通过固定这个序列，我们可以用经常叫做的三个角来(尽管不唯一)描述所有3X3旋转矩阵。有同Givens旋转一样的形式，但是被用做，选择来置零2X2子矩阵的两个远离对角元素(off-diagonalentry)。性质矩阵性质实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得的R的，它为真当且仅当它的行形成Rn的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MTM=D,D是。任何正交矩阵的是+1或-1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：1 =det

9、(I)=det(QTQ)=det(QH)det(Q)=(det(Q)2o反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。2 0对于置换矩阵，行列式是+1还是-1匹配置换是偶还是奇的，行列式是行的交替函数。比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在上来展示的完全的集合，它们全都必须有(复数)1。群性质正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有nxn正交矩阵的集合满足的所有公理。它是n(n-1)/2维的，叫做并指示为O(n)。行列式为+1的正交矩阵形成了的为2的。(n),叫做的SO(n)。O(n)/SO(n)同构于。(1),带有依据行列式选择+1或-1的投

10、影映射。带有行列式-1的正交矩阵不包括单位矩阵，所以不形成子群而只是；它也是(分离的)连通的。所以每个正交群被分为两个部分；因为投影映射，O(n)是SO(n)与O(1)的。用实用术语说，一个相当的陈述是任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的一列来生成，如我们在2X2矩阵中看到的。如果n是奇数，则半直积实际上是，任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。现在考虑(n+1)x(n+1)右底元素等于1的正交矩阵。最后一列(和最后一行)的余下元素必须是零，而任何两个这种矩阵的积有同样的形式。余下的矩阵是nxn正交矩阵；因此O(n)是qn+1)(和所有更高维群)的子群。

11、-0-O(n):0001因为Householder正交矩阵形式的基本反射可把任何正交矩阵简约成这种约束形式，-系列的这种反射可以把任何正交矩阵变回单位矩阵；因此正交群是。最后一列可以被固定为任何单位向量，并且每种选择给出不同的O(n)在qn+1)中的复本；以这种方式qn+1)是在单位球Sn与纤维O(n)上的。类似的，SO(n)是Sqn+1)的子群；任何特定正交矩阵可以使用类似过程通过Givens平面旋转来生成。丛结构持续：SO(n)?SOn+1)-Sn0一个单一旋转可以在最后一列的第一行生成一个零，而n-1次旋转序列将置零nxn旋转矩阵的除了最后一列的最后一行的所有元素。因为平面是固定的，每次

12、旋转只有一个自由度，就是它的角度。通过归纳，SO(n)因此有(n-1)+2)+1=n(n1)/2自由度，O(n)也是。置换矩阵简单一些；它们不形成李群，只是一个有限群，n!次S。通过同类的讨论，Sn是Sn+i的子群。偶置换生成行列式+1的置换矩阵的子群，n!/2次。规范形式更广泛的说，任何正交矩阵的效果分离到在正交二维空间上的独立动作。就是说，如果ptqp(n奇数)Q是狭义正交的，则你可以找到(旋转)改变基的一个正交矩阵P,把Q带回到分块对角形式PTQP(n偶数),这里的矩阵Ri,.,R是2X2旋转矩阵，而余下的元素是零。作为例外，一个旋转块可以是对角的，I。因此如果需要的话取负一列，并注意2

13、X2反射可对角化为+1和-1,任何正交矩阵可变为如下形式pTQP=矩阵Ri,，R给出位于中单位圆上的特征值的共腕对；所以这个分解复合确定所有带有1的。如果n是奇数，至少有一个实数特征值+1或-1；对于3X3旋转，关联着+1的特征向量是旋转轴。数值线性代数优点自然的利用了正交矩阵的很多数值的性质。例如，经常需要计算空间的正交基，或基的正交变更；二者都采用了正交矩阵的形式。有行列式土1和所有模为1的特征值是对非常有利的。一个蕴涵是为1(这是极小的)，所以在乘以正交矩阵的时候错误不放大。很多算法为此使用正交矩阵如和。有帮助的不只是正交矩阵是可逆的，还有它的逆矩阵本质上是免花费的，只需要对换索引(下标

14、)。置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的(这里的置换用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。同样的，使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens旋转只影响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n3次的为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换。口分解一些重要的(Golub&VanLoan,1996)涉及到了正交矩阵，包括：M=QRQ正交，R上三角。M=U2VT,U和V正交，2非负

15、对角。S=QAQT,S对称，Q正交，A对角。M=QSQ正交，S对称非负确定。正定矩阵在里，正定矩阵（即“正数-确定-矩阵”）是的一种，有时会简称为正定阵。在中，正定矩阵的性质类似中的。与正定矩阵相对应的是（复域中则对应）。定义一个nxn的实M是正定的对于所有的非零实系数z,都有zTMz0。其中zT表示z的。对于的情况，定义则为：一个nxn的M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z,都有z*Mz00其中z*表示z的。由于M是，经计算可知，对于任意的复向量z,z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。正定阵的判别对nxn的M,下列性质与“M为正定矩阵”等价：矩阵M的所有的特征

16、值入都是正的。根据谱定理,M必然与一个实对角矩阵D（也就.是说M=P-1DP,其中P是幺正矩阵,或者说M在某个正交基可以表示为一个实）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正数。.x.vX.1定义了一个cn上的。实际上，所有cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得至限M是n个线性无关的n维向量Xib7XC”的，其中的k为某个正整数。更精.确地说，M定义为：Mij=（XKj）=父乂六换句话说，M具有A*A的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。M的所有顺序主子式、也就是的都是正的（准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行.列式： M左上角1X酌矩阵 M左上角2X2巨阵. M

17、自身。对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：存在唯一的下三角矩阵L,其主对角线上的元素全是正的，使得：.M=LL*.其中L*是L的。T这一分解被称为。对于实，只需将上述性质中的改为股将“共腕转置”改为“转置”就可以了。二次型由以上的第二个等价条件，可以得到形式下正定矩阵的等价条件：用K代表C或R,设V是K上的一个。一个：BW乂TK是一个，使得B(x,y)总是B(y,x)的。这样的一个映射b是正定的当且仅当对V中所有的非零向量X,都有B(x,x)00负定、半定及不定矩阵与正定矩阵相对应的，一个nxn的埃尔米特矩阵M是负定矩阵当

18、且仅当对所有不为零的t(或tEC),都有：0M是半负比矩阵当且仅当对所有不为零的刀WR”(或正wC),都有：xMx0。如果M是正定阵，可以写作M0。这个记法来自，其中的正定阵定义了。对于一般的埃尔米特矩阵，MN,MN当且仅当M-N0o这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的。类似地，可以定义MNo每个正定阵都是，它的逆也是正定阵。如果那么L之时T0如果M是正定阵，r0为正实数，那么rM也是正定阵。.如果MN是正定阵，那么和M+N、乘积MNMfNMNB是正定白如果MN=NM那么MN仍是正定阵。如果M=(mj)0那么主对角线上的系数m1为正实数。于是有tr(M)0。此外还有.j,gw+ni；.，:.

19、/，、口工二矩阵M是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B0使得B2=M。根据其唯一性可以记.作B=M1/2,称B为M的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果MN0那么M1/2N1/20.如果M,N0那么材N。，其中区表示克罗内克乘积对矩阵m=(mj),N=(n。，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为M。N,即.浦地J=啊严巴称为M与N的阿达马乘积。如果M,N0,那么MoN0。如果M,N为实系数矩阵,则有如下不等式成立：detfMgA)(detN)JJgf.设M0,N为埃尔米特矩阵。如果MN+NMN0(MN+NM0),那么N1I.(N0)o如果M,N之0%实系数矩阵，则tr(MN)0o.如果

20、M0为实系数矩阵，那么存在60#得之万1,其中I为单位矩阵。.非埃尔米特矩阵的情况一个实矩阵M可能满足对所有的非零实向量x,xTMx0而并不是对称矩阵。举例来说，矩阵r111一1ij就满足这个条件。对X=(Xi,X2)T并且声“，P*=-L卜1闻:=磋+磅0.1一般来说，一个实系数矩阵M满足对所有非零实向量x,有xTMx0,当且仅当对称矩阵(M+M)/2是正定矩阵。对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎扩展z*Mz0这一性质。要使z*Mz总为实数，矩阵M必须是埃尔米特矩阵。因此，若z*Mz总是正实数，M必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将z*Mz0扩展为Re(z*M)0,则等价于(M+M)

21、/2为正定阵。伴随矩阵在中，一个的伴随矩阵是一个类似于的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到。定义参见：子式和余子式、及设R是一个，A是一个以R中元素为系数的nxn的。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：定义：A关于第i行第j列的余子式(记作Mj)是去掉A的第i行第j列之后得到的(n-1)X(n-1)矩阵的行列式。定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：%=(-1产M叽定义：A的余子矩阵是一个nxn的矩阵C,使得其第i行第j列的元素是A关于第i行第j列的代数余子式。引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子

22、矩阵的转置矩阵：adj(A)=CT也就是说，A的伴随矩阵是一个nxn的矩阵(记作adj(A),使得其第i行第j列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式：哂(A)&=C九例子口 2x2矩阵一个2 X赛巨阵b”,的伴随矩阵是ii坤=(;力.口3x3矩阵对于；-的矩阵，情况稍微复杂一点:其伴随矩阵是:要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，第3行第2列的系数应该是A关于第2行第3列的代数余子式。具体情况对于数值矩阵，例如求矩阵尸2一5M=(-10-2)-41)的伴随矩阵Mdj(Rf),只需将数值代入上节得到的表达式中。例如第2行第3列的代数(1det/二)=T(一3卜(-4)22时，利(哂(A)=etA)”

23、TAadj(A-1)=adj(A)-1=7 .如果a可逆，那么detA8 .如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵.那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。9 .如果A是(半)正定矩阵，那么其伴随矩阵也是(半)正定矩阵。10 .如果矩阵A和B,那么次面(4)和adj(B)也相似。11 .如果n2,那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当adj(A)=土工,伴随矩阵的秩当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1,当A的秩小于n-1时，其伴随矩

24、阵为00伴随矩阵的特征值设矩阵A在复域中的为入1,电*儿(即为的n个根)，则A的伴随矩阵的特征值为入2加一人叫入1%Art/一，入儿_。显示证明伴随矩阵和特征多项式则=P设p(t)=det(A-11)为A的，定义士，那么：adj(A)=g(A)=_(pj+p：2A+P3A?-|FpnAn-1)其中r是p(t)的各项系数：p()=即+pd+物产+p71fl.伴随矩阵也出现在的形式中。15置换矩阵在中的里，置换矩阵是一种系数只由0和1组成的。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1,其余的系数都是00在中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空问的）的。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。严格定义每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设冗为一个n元置换：7T：1厂TI1.7n给出其映射图：/1