线性分组码-习题

1、信息论与编码理论71.已知一个(5, 3)线性码C的生成矩阵为:110 0 1G = 0110 100111-(1)求系统生成矩阵；(2)列出C的信息位与系统码字的映射关系；(3)求其最小Hamming距离，并说明其检错、纠错能力；(4)求校验矩阵H;(5)列出译码表，求收到 r=11101时的译码步骤与译码结果。解：(1)线性码C的生成矩阵经如下行变换：1 1 0 0 11 0 0 1 1.将第2、3加到第1行c / C /0 110 1S 0 110 100111-00111100 1 1100 1 1.将第3加至IJ第2行c / C / C0 110 13 0 10 10P 0 1 1

2、1_0 0 111-得到线性码C的系统生成矩阵为10 0 11GS = 0 1 0 1 0-001110 1 010 0 1111(2)码字c =(c0 , C1 ,，cn G的编码函数为c = f (m) = m0 1 0 0 1 11ml 0 1(4)由6=3/丛卜知国,H =8的上),%上,得校验矩阵1111 H =(5)消息序列 m=000,001,010,011,100,101,110,111 ,由 c=mGs 得码字序列 C0=00000, C1=00111,C2=01010, C3=01101, C4=10011, C5=10100,C6=11001, C7=11110(0110

3、1),所以将它则译码表如下：00000001110101001101100111010011001111101000010111 11101011101000110010001001011100100001111 10001000101110111110010001101100000100110 010110110010010101011100011111当接收到r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为译为 c=01101。2.设(7, 3)线性码的生成矩阵如下0 10 10 10G = 0 0 1 0 1 1 110 0 1 1 0 1(1)求系统生成矩阵；(2)求校验矩阵；

4、(3)求最小汉明距离；(4)列出伴随式表。解：(1)生成矩阵G经如下行变换一00一10：01 00 10 00 00 11 01 0 10 1 11 1 01 1 00 1 11 0 101一1.交换第1、3行八1001 J A11交换第2、3行、一10：00 0 1100 10 1110 10 10 0 11010 10 10 10 111110101得到系统生成矩阵：10 0 110 1GS = 0 1 0 1 0 1 0-0 0 1 0 1 1 1J 由GHlnAkXnjHFAkMnln*,得校验矩阵为110 10 0 010 10 10 0H =0 110 0 10J 010001-(

5、3)由于校验矩阵H的任意两列线性无关,3列则线性相关，所以最小汉明距离 d=3。(4) (7, 3)线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111 ,由 c=mGs 得码字序列：C0=0000000, C1=0010111, 02=0101010, C3=0111101 , C4=1001101, C5=1011010,C6=1100111, 07=1110000。又因伴随式有24=16种组合，差错图样为1的有(7=7种，1丁丁差错图样为 2的有 =21种，而由HrT =HeT,则计算陪集首的伴随式，构造伴随表如下：伴随式陪集首伴随式陪集首000000000

6、000101100100011011000000100110001001010010000011110011000011100100001100000110010000001000111001001000100000010010110100001001000000100011001010000010000001011000001103.已知一个(6, 3)线性码C的生成矩阵为：10 0 10 1G = 0 1 0 0 11.001110-(1)写出它所对应的监督矩阵H;(2) 求消息 M=(101)的码字;(3)若收到码字为101010,计算伴随式，并求最有可能的发送码字。解：(1)线性码C的

7、生成矩阵G就是其系统生成矩阵 Gs,所以其监督矩阵 H直接得出:10 110 0H = 011010：1100011(2)消息 M=(mo,mi,m2)=(101),则码字 c 为:C = f (m) = 1 0 0 1 0 1 I - 0(3)收到码字r二(101010),则伴随式rHT011一101101111010001001-10011 0 .1 - 1 0 1 0 111又(6, 3)线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111,由 c=mGs 得码字序列:C0=000000 , C1=001110, C2=010011 , C3=011101,

8、 C4 = 100101 , C5=101011,C6=110110,伴随式最有可能发送的码字 c为：c= (101011)。4,设(6, 3)线性码的信息元序列为X1X2X3,它满足如下监督方程组|X1 X2 X4 =0X2 X3 X5 = 0X1 X3 X6 = 0(1)求校验矩阵，并校验 10110是否为一个码字；(2)求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。解：(1)由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为：110 10 0H = 0 1 1 0 1 010 10 0 1因为收到的序列 10110为5位，而由(6, 3)线性码生成的码字为 6位，所以10110 不是码字。(2)由6=1门上,庆知国