《第七节正弦定理和余弦定理》学案

1、正弦定理和余弦定理适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长60分钟知识点使用正弦定理要注意的问题 解的个数问题已知两边和其中一边的对角问题 已知两角一边问题三角形的面积公式使用余弦定理要注意的问题 已知两边与夹角问题已知三边问题 正、余弦定理的综合运用学习目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.学习重点1、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用；2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法学习难点正、余弦定理的灵活应用21 / 20学习过程复习预习回忆在三角函数中学过的公式A.三角函数诱导公式:B.三角函

2、数的两角和或差公式:C.三角函数的二倍角公式:D.三角函数的辅助角公式:知识讲解考点1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容abc=2R sin A sin B sin C2 . 2 2_, . . 2 2 2 a = b + c 2bccos A ;b = a + c 2accos B ;c2 = a2+ b2 2abcos C变形形式 a = 2Rsin A, b = 2Rsin_B, c = 2Rsin_Cabc sin A = 2R, sin B = 2R, sin C = 2R（其中 R是ABC外接圆半径） a : b : c = sin_A : sin_B : sin_C as

3、in B = bsin A, bsin C = csin B, asin C = csin Ab2 + c2 a2cos A= 2bca2 + c2 b2cos B = 2aca2 + b2 c2cos C 二 2ab解决三角形的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边. 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他 两角. 已知三边，求各角； 已知两边和它们的夹角，求第三边 和其他两个角考点2 在 ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形41/scc仝 A-* W关系式a= bs in Absin Av av ba为a> ba<b解的个数一解两解一解一解无解

4、例题精析【例题1】cos 2cos 2cacos B【题干】 在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知二:石.文档来自于网络搜索求黠的值;1若cos B = 4， ABC的周长为5,求b的长.a b c【解析】由正弦定理，设snC=k,文档来自于网络搜索ksin B则晋二2ksinkCiBsin2sinCBsin A,文档来自于网络搜索bksin Bsin Bcos A2cos C 2sin C sin Acos B所以二7；=,文档来自于网络搜索sin B即(cos A2cos C)s in B = (2s in C sin A)cos B,化简可得 sin(A+ B)

5、 = 2sin(B+ C).又因为A+B+ C = n所以sin C = 2sin A.因此2.文档来自于网络搜索sin A由snA2得c= 2a.由余弦定理及cos B =寸得文档来自于网络搜索b2= a2+ c2-2accos Ba2 + 4a2 4a2X4 = 4/所以b = 2a.又a+b+ c= 5,从而a= 1.因此b= 2.【例题2】【题干】 在 ABC中，a, b, c分别为内角 A, B, C的对边，且2asin A= (2b c)sin B+ (2c b)sin C.文档来自于网络搜索求角A的大小；若sin B + sin C = Q3,试判断 ABC的形状.【解析】 2a

6、si n A= (2b c)s in B+ (2c b)si n C,得 2a2 = (2b ©b+ (2c b)c,即卩 bc= b2+ c2 a2,.2,2 2 ,b + c a 1。cos A=-,A A= 60 .文档来自于网络搜索2bc 2 A+B+ C= 180° B+ C= 180° 60°= 120°.由sin B+sin C = 3,得sin B+ sin(120 B) = d3,文档来自于网络搜索sin B + sin 120 Cos B cos 120 Sin B = V3.二|sin B +当cos B =心，即卩sin

7、(B+ 30°) = 1.文档来自于网络搜索又 0°vBv 120°, 30°vB + 30°v 150°, B+ 30°= 90°,即 B= 60°. A= B= C = 60°, ABC 为正三角形.【例题3】【题干】 已知a, b, c分别为 ABC三个内角A, B, C的对边，acos C + 73asin C b c= 0.文档来自于网络搜索求A;若a = 2, ABC的面积为/3,求b, c.【解析】（1 ）由acos C+ f3asin C b c= 0及正弦定理得sin Acos

8、 C+ Q3si n Asin C sin B sin C = 0.因为n A C,所以西sin Asin C cos Asin C sin C = 0.由于sin Cm0,所以si门卜一2*文档来自于网络搜索n又 0< Av n 故 A= 3.1 ABC的面积S= 2bcsin，故bc= 4.文档来自于网络搜索而 a2= b2+ C 2bccos A,故 b2 + c2= 8.解得b = c= 2.【例题4】【题干】（2012江西高考）（本小题满分12分）在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c已知A=寸,bsi门（+ Cjn 1csin（4+ B尸a.文档来自于网络搜索

9、n(1)求证：B- C = 2；若a=y（2，求 ABC的面积.【解析】（1）证明：由 bsin（4+ CJ-csin£+ B= a，应用正弦定理，得 sin Bsin£+ Cj sin Csinf b= sin A，sinB （爲 C + ¥cos CJ-sin Csin B + cos B = ¥，?（3 分）文档来自于网络搜索整理得 sin Bcos C cos Bsin C= 1,即 sin（B C）= 1, ?（5 分）3n由于 0<B, C<4 n 从而 B c = 2.?（6 分）3 n5 n n 八（2）B + C= n A=

10、才，因此B= g，C = 8.?（8分）文档来自于网络搜索由a =迈，A= n，得b=asnBM2sin 彊 文档来自于网络搜索asin C . n八c= sin A = 2sin 8，?（10 刀）所以 ABC的面积S= 2bcsin A=U2sini舟.？ 分）文档来自于网络搜索课堂运用基础】1. （2012上海高考）在ABC中，若sin2A+ sin2Bv sin2C，则 ABC的形状是（）文档来自于网络搜索A .钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D 不能确定B. 2D.4 文档来自于网络搜索2. 在 ABC中，AC =曲，BC = 2, B = 60°贝U BC边上的高等

11、于（）A豎c. 23. 在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,已知8b= 5c, C = 2B,则cos C =()文档来自于网络搜索a.2524d.25B- 25C ±25【巩固】文档来自于网络搜索4. （2012福建高考）已知 ABC的三边长成公比为V2的等比数列，贝U其最大角的余弦值为文档来自于网络搜索5. 在 ABC中，D为边BC的中点，AB= 2, AC= 1, / BAD= 30°贝U AD的长度为【拔高】a、6. 已知A、B、C为ABC的三个内角，其所对的边分别为 a、b、c,且+ cos A= 0.文档来自于网络搜索求角A的值;若a = 23, b+ c= 4,求ABC的面积.7. （2012 江 苏高考）在 ABC