等比数列详细教案

1、名师精编优秀教案1W 等比数列 学习内容与过程复习引入：aa=d , (n>2, n6N)1.等差数列的定义：nin2.等差数列的两个通项公式：a da 1)a a (ndm)(n a =pn+q (p、q (是常数) 或 nmnina aaa mninaa=3.几种计算公差 d 的方法：d= =n1nm n1 na b a,A b,成等差数列 4.等差中项：2n(a a)n(n 1)dn1SS na S5.数列的前 n 项和，：nn1n22 知识点63；5, 2516,，2, 125, 625,；，1 , 2, 48, 111,；1, - 248aan1n nnaa52=5 (n>

2、;2)=；=2 ( n> 2对于数列，二)对于数列，nnaan打田11行na) 1(； n>2对于数列，)二 nn a221n共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数1 .等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(qw。)，即：aann1 an N,q成等比数列(w 0 =qq=q Q 0) naan 11 "从第二项起”与“前一项”之比为常数(q, qw0)a0且q 0 隐含：任一项 2 n3 q= 1时，a为常数naa 32a=2,=2

3、；(中，3)常数列a,a,a,；11下面四个数列：例1 ( 1) , 1,2,4,8,16,32,64 ; 2)在数列naRQna=q;其中是等比数列的有)在数列(4中， 答案：(4) n31等比数列的通项公式 2.名师精编优秀教案由等比数列的定义，有：223qaa q qaqaq)a aq ( aaq (aq)q a；; 1143312112n i(a q aq a q0)a mnnn 1a a q(a q 0)已知等比数列的首项和公比就可以得出任何一项；)(111nnmB a q一一通项公式的推广式，则已知等比数列的任意两项就可以求出其他的任意一(2) mn项a史nnn ;qq求公比q推广

4、：的方法 m naamm(3)既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.aaaaaa a a 3n42n234=.= ( 4)等比定理：q= aaaaaa a异口 n2113a和q5)等比数列基本量的求 法：是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可(aaamnnnqq ；n 1求出。 q=；mn aaammna1 nxn1qa a q yq a类似，可借助指数，(6)等比数列与指数函数：，即与指数函数1nnq函数的 图像和性质来研究例2求下列各等比数列的通项公式：aa= 8=2,(1) 312n由1n a ( 2( )a 或(2)( 2)2qa aq 4 q 2)2 2 ,解：nn3

5、1aaa3=) =5,且 2(2n1n1a33n11n) 5 ( 又：aq 5 a 解：m2a2na a 18a a 9a 1,求 n (3)(答案；n=6,), 52n36 变式1：求下面等比数列的第4项与第5项：(1)5, 15, 45,；(2) 1.2, 2.4, 4.8,；2132,.,;(4)2,1, ) (3?,3282 15n 1n 1aaaq=5 - (- =5 -=) =(解：1q=3, .,.3)n115.名师精编优秀教案34aa=405.3) =5 (3=5 ( 一) =135,542.4nin I34aaaaaq=i.2 X 2=19.2 (2)q=1.2X 2=9.6

6、, =2, .=1.2= =1.2X2.=5n4ii2.1322231 ininaaq a , =X (3)q=). = nii433342332292743aa ) =,=/. X (=X ()54432432128ll2nin iaaac22 2-() . . =,=i (4)q+ n1122n 2(2)ii2i,aa . .=454232)22)(i4 变式2: 一个等比数列的第，求它的第1项.9项是，公比是一3941 aq=解：由题意得一=9934i88aaaa=2916.( ) , =,q9iii933.等比数列的性质aaaaa00Vq<1, <0,是递增数列；当或0&l

7、t;q<i, q>i, <0时，或q>i, (1)单调性：当>0 n1111aaO是摆动数列； 当q<0时当q = 1时，, 是常数列；时，是递减数列；nnnaabb成等比数列，那么 G应满足：由，)等比中项： 如果在G与，中间插入一个数G,使(2GbGbG abG ab 。定义得，则，即：；反之，若aGaGG ab a,G,b,0成等比数列ab)由此可得：(注意：由上述公式也可看出异号的两个数没有等比中项，只有同号的才有aa aa,特别地，若 6N )，贝U m+n=2p ,贝U(3)在等比数列中，若 m+n=p+q (m, n, p, q qmpn2a

8、aapmnaaa aa aa a 推广：13mn 21nm 2nn1n13 naaa 8aaa7 a aa22 或，为等比数列，若(答案：)二 例 3已知，求 nnn312312a a a42 3a,a 168的前三项的和为，i变式：等比数列，求的等比中项(答案：n5275a 0aa 2aaa aa 36a a的值(答案： 变式2,且6)已知：为等比数列，若，求n55n243436名师精编优秀教案aa为常数）也为等比数列，其公比是（其中为等比数列，则数列（4）若数列nnbbaaq t也是等比数列，其公比为为等比数列，为公比是t的等比数列，若数列则nnnn 11a也是等比数列，其公比为为等比数列

9、，若数列naq na,a,a（k,m N） a为等比数列，则下标成等差数列且公差为）若数列m的项组 （5kk mk2m，.nmq成了公比为的等比数列a,a,a （都为正整数）成等差数列，则成等比数列n,p 推广：m, pnm ?kka）或qq（的等比数列，例如项的和（或积）构成公比为为等比数列，连续相邻k （ 6）若数列na a . aa a . aa aa aaa a . aa ,.,.；,634 2m32m m 11mm 252m2m2121algalgq的等差数列 是公差为为各项都是正数的等比数列，数列（7）若数列nn4.判断一个数列为等比数列的方法a n a为等比数列）N常数，n>

10、;21（）定义法：，n =q （nan12 a 0aaa a为等比数列 （2）等比中项法，也称递推法： N,） > （ n2, n nnnmm1n aaqa为等比数歹1J（3）通项法：为n的指数型函数，即nn1注意：证明一个数列为等比数列只能通过定义法与等比中项法01n1,.,1010,.,10,555求证：（1）这个数列是等比数列；4例：已知无穷数列（2）这个数列中的任一1项是其后第5项的10n 2S nSaS（n a1,a1,2,3,.）;证明： 变式1 ： 1的前n项和记为，已知数列（）nnnn11nn a4 s是等比数列；）（2nn1aS2a （S a2 n）2a项和记为n的前：

11、2变式 数列，；求数列，且的通项公式nnnmm名师精编优秀教案5 .等比数列的设项方法n i aNaq (n)通项法：设数列的通项公式，即设=13(2)对称设：主要针对有限项。若所给等比数歹U为 2n 项，贝ij可设为：aaaa32n i2aq,“,aq,aqq；，此数歹U的公比为 32n2n i aqqqqaa iaq,aq,a,此数列的公差为 q；若所给等比数列为 2n+1项，则可设为：21 nnqqq(3)等差、等比数列综合运算问题。例5:有四个数，前二个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21,中7545279)间两个数的和为18,求这四个数(答案：3,6,12,

12、18或,4444变式：有四个正数，前二个数成等差数列，和为48,后三个数成等比数列，积为 8000,求这四个数6 .等比数列应用题aL(a 1),从中取出1L,再用水加满，然后再取出例6:有纯酒精1L,再用水加满，如此反复进行，问第九次和第十次共取出多少L纯酒精？7 .等比数列与等差数列的比较bk等差数列等比数列定义差商项项没有限制项必须非零联系aalg )正项等比数列为等差数列(1nna ab为等比数列为等差2 () nnba满列7例：已知足，数的等比数列数为是各项都正nn1bka aIglgalg lga成等差数列？若存在求出 k,使得，问是否存在正数nnn112nn；不存在说明理由名师精

13、编优秀教案zxylog b 010g ac a b clog； （1）若1：已知a, b, c依次成等差数列且公差变式mmm不为0,求证x, y, z成等比数列；（2）若x, y, z依次成等比数列，求证 a, b, c成等差数列SaS 4a 2（n 1,2,.）,a 1；已知项和，且 中， 是其前n2变式：nnmm baa 2b的通项公式1）设,求数列 （nn1nnanc c的通项公式）的条件下，设，求数列（2）在（1nnn2Sa ）的条件下，求数列的通项公式及（3）在（2nn课堂检测a a aa17135aq,则等于（1.已知等比数列）的公比naa aa382461 1B.-3 a.c.

14、D.3 33a a a913aa,aa0 d等于（成等比数列，则是等差数列，公差，且2.已知）n913a a &042791 1 13B. A. C. D.16161616 3.一个各项均为正数的等比数列,其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（）51-55-12 B.A.C. D. 2225 b abb abaa 4a=4.等比数列（ 中，数列是等差数列，且），则n97n773511A.2B.4C.8D.16aaaa3,aaa 24,则 aaa 的值为A.48)5.等比数列 中，n1157810697D,192C.144B.72名师精编优秀教案b baa,则有（6.等比数列 满足 的各项都是正数，等差数列 ）n6n7a a b ba a b ba a b ba a与 b b 的大小不确定 A. D. C.b. 10339109944310910434 aa 9aloga loga . loga 的值为 中，若 ，则 7.各项均为正数的等比数列n651012333 aa 5aaaaa=8.n119128107aa 3,a 9,则此数列的公比为中，为正数的等比数列10. 中，公比q满足，则一季度的产量逐月增加相同饿件数，但实际生产中， 产了 25件，这样三个月的产