中值定理及导数的应用

1、二、二、 导数应用导数应用习题课一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理及导数的应用 第三三章 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(ffafbfafbfabafbff)()()()()()(bfafxxf10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxf)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n

2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用柯西中值定理柯西中值定理 .必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多

3、考虑用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设函数在)(xf),(ba内可导, 且,)(mxf证明在)(xf),(ba内有界. 证证: 取点, ),(0bax 再取异于0 x的点, ),(bax对xxxf,)(0在以为端点的区间上用拉氏中值定理, 得)()()(00 xxfxfxf)(0之间与界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abmxfk(定数)可见对任意, ),(bax,)(kxf即得所证 .机动 目录 上页 下

4、页 返回 结束 例例2. 设在)(xf 1 ,0内可导, 且,0) 1 (f证明至少存在一点)(f, ) 1 ,0(使上连续, 在) 1 ,0()(2 f证证: 问题转化为证.0)(2)(ff设辅助函数)()(2xfxx 显然)(x在 0 , 1 上满足罗尔定理条件, 故至, ) 1 ,0(使0)()(2)(2ff即有)(f)(2 f少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.,)(,)(内可导，在，上连续在设babaxf且,0ba 试证存在).(2)(fbaf使, ),(,ba证证: 欲证,2)()(fbaf因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有),(,

5、)()()(baabfafbf,)(2上满足柯西定理条件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf将代入 , 化简得故有),(2)(fbaf),(,ba即要证.2)()(22fababf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设实数满足下述等式naaa,1001210naaan证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一个实根 .010nnxaxaa证证: 令,)(10nnxaxaaxf则可设121012)(nnxnaxaxaxf, 1,0)(,上连续在显然xf且)0(f由罗尔定理知存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即.10010内至少有一个实根），（在nnxaxaa

6、机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,) 1,0(内可导在,0) 1 (f例例5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在0, 3 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f分析: 所给条件可写为1)3(, 13)2() 1 ()0(ffff(03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使3)2() 1 ()0()(fffcf证证: 因 f (x) 在0, 3上连续, 所以在0, 2上连续, 且在0, 2上有最大值 m 与最小值 m, 故mfffm)2(),1 (),0(mmfff3)2() 1 ()

7、0(由介值定理, 至少存在一点 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(内可导在上连续在且ccxf由罗尔定理知, 必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使,2)( xf例例6. 设函数在)(xf 1 ,0上二阶可导, ) 1 ()0(ff且证明. 1)( xf证证:, 1,0 x由泰勒公式得)0(f) 1 (f两式相减得221221)()1)()(0 xfxfxf 221221)()1)()(xfxfxf 221221)()1 ()(xfxf 22)1 (xx)1 (21xx 1,0,1x)(xfxxf)( 221)(xf )

8、 10() 10()1)()1)()(221 xfxxfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数应用导数应用1. 研究函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等.4. 补充定理 (见下页)机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数)(, )(xgxf在上具有n 阶导数,),(a且) 1,2, 1 ,0()()() 1 ()()(nkagafkk)()()()2()()(axxgxfnn则当ax 时. )()(xgxf

9、证证: 令, )()()(xgxfx则; ) 1, 1 ,0(0)()(nkak)(0)()(axxn利用)(x在ax 处的 n 1 阶泰勒公式得)(x)(xa因此ax 时. )()(xgxf0nnaxn)(!)()(定理定理.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性及导函数例例7. 填空题填空题(1) 设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;o

10、2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx .在区间 上是凸弧 ;拐点为 ),0(),(21xx)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可导性及根据的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数上可导，在),()(xf的图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1xln)1ln()()(1xxxfxf例例8. 证明在xxxf)1 ()(1),0(上单调增加.证证:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1l

11、n()11()(xxxxxfx令,ln)(ttf在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束 111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故当 x 0 时,0)( xf从而)(xf在),0(上单调增.得例例9. 设在)(xf),(上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证证: 设)()(xfexx则 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因,0 xe因此)(xf也至多只有一个零点 .思考思考: 若题中0)()(xfxf改为,0)()(xfxf其它不变时, 如何设辅助函数

12、?)()(xfexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求数列nn的最大项 .证证: 设),1()(1xxxfx用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1因为)(xf在),1只有唯一的极大点,ex 因此在ex 处)(xf也取最大值 .又因,32 e442 且,33nn为数列故33中的最大项 .极大值机动 目录 上页 下页 返回 结束 列表判别:例例11. 证明. )0(1arctan)1ln(xxxx证证: 设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故

13、0 x时, )(x单调增加 , 从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 证明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx时, 如何设辅助函数更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:例例12. 设,0)0(f且在),0上)(xf 存在 , 且单调递减 , 证明对一切0,0ba有)()()(bfafbaf证证: 设, )()()()(xfafxafx则0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以当时，0 x)(x0)0(令,bx 得0)()()()(bfafbafb即所证不等式成立 .机动 目录 上页

14、 下页 返回 结束 例例13. ,10:时当证明 x.112xxex证证: 只要证) 10(01)1 (2xxexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1)1 ()(2xexxfx设0)0(f则, 1)21 ()(2xexxf0)0( f) 10(04)(2 xexxfx利用一阶泰勒公式, 得2!2)()0()0()(xfxffxf ) 10(0222xxe故原不等式成立.例例14. 证明当 x 0 时,.) 1(ln) 1(22xxx证证: 令,) 1(ln) 1()(22xxxxf则0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(

15、2)(xxxf xx1, ) 1(2x法法1 由)(xf在1x处的二阶泰勒公式 , 得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所证不等式成立 .与 1 之间)机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2 列表判别:,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx时故当即.) 1(ln) 1(22xxx机动 目录 上页

16、 下页 返回 结束 法法3 利用极值第二判别法极值第二判别法.,0)(1的唯一根是易知xfx的唯一为)(1xfx 故0) 1 (f也是最小值 ,因此当0 x时,0)(xf即22) 1(ln) 1(xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f，极小点,0) 1 ( f且1yox22) 1(ln) 1(xxxy例例15. 求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221) 1(limannnna机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用泰勒公式令,arctan)(xxf则,11)(2xxf22)1 (2)(xxxf )()0()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox原式2lim nn)0()1arcta