反函数_典型例题精析

1、2. 4反函数例题解析【例1】求下列函数的反函数：3x 5 _1(1)y = (xw) .2x 12(2)y = x22x+3, x(8, 0.1 (3)y=h(x00). x IVx+1 (-1<x<0) y= He Jx (0<x01)3x 513斛(1)y=(xw)， yw ,2x 122, 3x 5由丫:)2x 1y 5一 x= c c3 2y得(2y 3)x = y5, y 53所求反函数为尸一（公于解 (2)y = (x 1)2+2, xC( oo, 0其值域为 yC2, +0o ), 由 y= (x 1)2 + 2(x0 0),得x 1 =一y 2,即 x=1

2、一、,y 二反函数为 f 1(x) = 1Jx2, (x > 2) .-1解(3)：y=、(xW0),它的值域为 0<y01, x 1.,反函数为 f 1(x) = 一，qx(0<x01).解(4)由丫= Jx"(一1&x& 0), 得值域 0&y&1,反函数 f 1(x) = x2-1(0<x<1).由 y= x(0<x< 1),得值域一10y<0,反函数 f 1(x)=x2(-1<x<0),故所求反函数为y=2x2 1 (0<x< 1)x2(-1<x<0)【例2】求

3、出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像.(1)y = x)ri- 1(2)y = - 3xy 3x 3-2(x<0)解(1)二已知函数的定义域是x>1, .值域为y>- 1,由y=Yx 11,得反函数y = (x+1)2+1(x) 1).函数y= Jx 1 1与它的反函数y=(x + 1)2+1的图像如图2. 41所示.解 (2)由 y = 3x2 2(xW0)得值域 y<- 2,x 2 反函数 f 1(x) = J (x < - 2).3它们的图像如图2. 4 2所示.H2-4-1图.13x 1(2)右f(x) =f 1(x),即=x a令 x= 0,

4、a= - 3.Sx对定义域内一切x的值恒成立, x 33x 11【例3】 已知函数f(x) = (xw a, aw -).x a3求它的反函数；(2)求使广 ay11ax x=,即反函数 f (x)= (x) = f(x)的实数a的值.一 3x 1解(1)设y= 3x,. xw a, x a. y(x+a)= 3x+1, (y 3)x = 1 ay,这里 yW3,一 一 1、. 一， 1 一一右y=3,则a=这与已知aw -矛盾，33或解 由f(x) = f-1 (x),那么函数f(x)与f-1 (x)的定义域和值域相同，定义域是x|x 丰 a, xC R,值域 y £ y|y w

5、3, y R, a= 3 即 a= 3.ax b .【例4】 已知函数y = f(x)=中，a、b、c、d均不为夺,cx d试求a、b、c、d满足什么条件时，它的反函数仍是自身.解f(x) = a + bc ad，二.常数函数没有反函数，c c(cx d)idx bbc- ad w 0 .又 f (x)=,cx a要使 dx b =,对定义域内一切x值恒成立，cx a cx d令 x=0,得一a=d,即 a+d=0.事实上，当a+d = 0时，必有f-1(x) = f(x), 因此所求的条件是 bcadw0,且a+d = 0.【例5】设点M(1 , 2)既在函数f(x) =ax于是f(，2)=

6、 y- = 53T2.+b(x>0)的图像上，又在它的反 函数图像上，(1)求f-1(x), (2)证明f-1(x)在其定义域内是减函数.1由2 = a+b1 = 4a+ ba -/)/曰3,12,7、传 7， f(x) =- -x + - (x>0)33b3t1 077(2)由 y= -x2+ 3 (x > 0)得反函数 f 1 2 2(x) = v'7 3x(x< -).二 7-3x1>7-3x2>0,，7 3x1>%；x 3x2,即f 1(x1)>f 1(x2),故f1(x)在(一°°, 7上是减函数.3x 1【

7、例6】若函数f(x)=12,求f «2)的化x 11 2x解法(一)先求函数f(x) = x2的反函数f1(x) = 丁x-解法(二)由函数y = f(x)与其反函数y= f-1(x)之间的一一对应关x 1系，求f 1(物的值，就是求f(x)=v,2时对应的x的值，：令 = 72,x 2得x= - 53J2 即 f 1(72) = 5372.x 1【例7】 已知a R,且aw 0, aw 1.设函数f(x)=ax 1一 一 1依且*金一)，证明y = f(x)的图像关于直线y=x对称. ax 1证由丫=, a* 0, a* 1,得(ay 1)x=y 1,ax 11如果ay1=0,则丫= 一，a1x 1 一 =44a= 1,这与已知a* 1矛盾，aax 1y 1. . 1 x 1 ay 1 w 0