一组摆杆滑块机构的相关问题探讨

1、参赛队伍编号：0400017一组摆杆滑块机构的相关问题探讨华东师范大学王萌 赵亚男 王慧论文标题：一组摆杆滑块机构的相关问题探讨参赛队伍编号：0400017摘要本文通过对一组摆杆滑块机构的相关问题进行分析，探讨在不同假设情况下摆动机构中各个构件的运动学特性，通过建立数学模型，主要解决以下几个问题:1、滑块P的位移x与曲柄摇杆OQ勺摆角P的函数关系；2、曲柄摇杆OQ的摆角P的变化范围；3、滑块P的行程（即滑动的最大距离）；4、讨论滑块P的运动学特性。在前三个问题中，我们推导出了三种假设情况下对应的不同的结果， 在模型 的求解过程中，我们运用C+邮言进行编程调试（见附录一）；在第四个问题中，在前三

2、个问题的基础之上，我们探讨了影响滑块P的运动 速度的关键因素，并推导出具体的数学公式。在模型的求解过程中，通过数学软 件MATLA萼计算工具，编写相应的程序（见附录二），并用几何画板描绘图 像，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。论文的最后引申推广到现实生活中存在的物理机械模型一一“牛头刨床”，因为本文中的模型实际上是通过曲柄摇杆的转动， 带动滑块的滑动的过程，这在 实际生活中，很类似于牛头刨床的工作原理。关键词曲柄摇杆滑块机构位移极值点摆角变化范围运动学特性论文标题：一组摆杆滑块机构的相关问题探讨21正文部分一、问题的重述及简要分析问题的重述：某种平面连杆摆动机构的结构和某时刻的位置

3、如图 1所示，摆杆OQ绕。点 摆动，通过连杆PQt动?t块P水平往复运动，设摆杆长。r,连杆长PO l , 摆角中心O到滑轨O' P的距离为h,且r<h<l+r .根据这个摆动机构使用的一般要求，作出适当的假设，解决以下问题：1 ） P的位移x与摆角P的函数关系；2 ）摆角P的变化范围；3）滑块P的行程（即滑动的最大距离）；4）讨论滑块P运动速度的均匀性。简要分析：上述模型是典型的曲柄摇杆摆动机构的模型，主要是通过两杆（曲柄摇杆） 的转动带动滑块的水平移动，而我们就是要在一定的假设条件下， 研究该机构中 各个构件的运动学特性。我们下面对此模型作出必要的假设， 从而对此进行分

4、析 求解。二、问题的假设与模型的建立求解提出假设在建立模型求解之前，为了方便问题的讨论，我们做出下述假设：1：滑块在运动过程中不受摩擦力作用；2:系统在转轴点和曲柄连接处无摩擦；3:不考虑OCff口 QP两杆的重力；4:两杆OQ与QP在运动过程中不会阻碍彼此相互运动（如：当l-r杆运动到同一直线上时不会发生摩擦。）建立模型并求解（1） P的位移x与摆角P的函数关系;图（1）0, O'P = x如图（1）所示，规定滑块P的位移x向左为正，并设O'点处的位移X 机构的约束方程为：r sin l sin 口 - hr cos ： x = l cos" .消去参数e可得x关于

5、P的函数关系为：x（口）= Jl2 - （h - r sin ° ）2 - r cos口 .（2）摆角P的变化范围；（3）滑块P的行程（即滑动的最大距离）（为了求解的需要，上述两题放在一起求解）如图（2）所示，当PQ垂直于x轴时,滑块P运动至最右端，此时的摆角应为最小信加一由几何关系可得:Fn.h-l二 arcsinr而滑块P的最小位移出现在PQ与OQ在一条直线上时:Xmin W r)2 - h2由摆杆的摆动关于法线OO'对称，如图（3）,则由对称性，最大摆角应为:h r P = nmax-二-arcsinminr而滑块P的最大位移出现在PQ与OQ在一条直线上时:xmax (

6、l r)2 - h2arcs4r所以摆角的变化范围为:, h ln-arcsinr 一滑块P的行程区间为:X - <(l r)2-h2,'(l r)2所以yt块P的行程为：X 二 Xmax - Xmin = 2/(l)2 - h2对模型的近一步探讨1、当 l r =h 时：杆OQf OP会运动至最低点，此时两杆重合，滑块在惯性的作用下会向右运 动，从而OQ会转动360度。这时摆角P可以取任意值，P的行程区间为x - '(l r)2 - h2,<(l r)2 - h2备注：如转动至最低点后又沿原路返回，或者在最低点静止不动了，则滑块P只会 在坐标轴OO的左平面内运动。

7、但这两种情况在理想化模型应该不会出现，因为我们假设在没有摩擦力的情 况下，惯性会使滑块向右运动。2、当 l r Ah 时：此时滑块只能在负半轴或正半轴部分做往复运动。下面我们以负半轴为例讨 论(正半轴情况同理)杆OQt QP在向右转动的过程中，当转动到图示位置(见下图)时，滑块在A处达到最小位移为(h r)2然后在杆的作用下，滑块会反向运动，从而到达B点，即杆OQf QP成一条 直线处，此处对应于滑块的最大位移/(1r)2 - h2x(4)讨论滑块P运动速度的均匀性在前面第(1)问中，我们已经讨论得出x( - ) = l2 - (h - r sin - )2 - r cos -因此，我们对x(

8、B)关于P求导，可得dxr cos (r sin - h)- - x ( ) - r sin ,=d：'''l2 - (h - r sin )2(这里，为了便于后面的讨论，我们设此结果为 k,显然k不是常数)，从而dx dx d , dv 二二二 kdt d dt dt一、首先，我们从最简单的情况考虑：d 一： 假设杆。的速转动，则有 =c (即角速度6=c),其中c为常数，此 dt时，P与t是线性函数关系，我们假设v = kc从上述解析式可以看出，v的变化完全依赖于P的变化而变化，我们利用几何画 板软件，可以模拟出以下图像h-lir二假设杆O3E匀速转动时，即转动的角

9、速度 与为变量。 我们给出下面几种P关于t的特殊函数关系：如果 taid：，a则二atdt1d ：dtdx 这样v -dxd : dt上.kaJh-lr如果P =at,则通过求导得到v = k平In a利用上述函数关系式，我们可以模拟出下面的图像:h-lk如果P = lOga t，则通过求导得到V = §a ln a那么利用上述函数关系式，我们可以模拟出下面的图像:当h .1 -r时,:arcsin"1r一 - arcsin”r（假设 h=4,1=3,r=2,a=2）上述函数图像我们利用几何画图版工具模拟而得，也可以运用数学软件 MATLA膜拟，我们在附录二中给出了源程序。

10、三、模型的评价与改进我们在讨论过程中，假设了滑块P没有重力，与滑轨之间没有摩擦，且不计 两杆的重力。但有时这些假设不会成立，这时我们得到的结果就会完全不同。 这 里我们考虑滑块P与滑轨之间没有摩擦，此时也分为几种情况：若此滑轨十分粗 糙，两杆重力可以小到忽略不计，那么滑块P很可能就会静止不动；若滑轨表面 的粗糙程度是均匀的，则可以设摩擦系数是小，通过受力分析来求解；若滑轨表 面的粗糙程度是不均匀的，那么就很难把握其受力大小以及加速度大小等。但是一般在实际情况下，连杆摆动机构中。处的质量很大，而滑块P重力、 两杆重力以及摩擦力均可以忽略不计，即可得到我们前面的分析结果。止匕外，在第四问的讨论中，

11、由于不能确定B与t的确切关系，所以我们只假 设了几种情况，还有许多种情况例如正弦函数关系、余弦函数关系等等。这里只要给出P与t的一种关系，均可用上述讨论的方法得到相应的 x与t 的关系。即：=ft = f 一1(：)ddtf (t)dxdx d= dtddtk f (t)= k f (f "(：)若要使p匀速运动，即dxv 二 一dtdx d :dtr sinr cos ： (r sin : - h)Jl2 - (h - r sin 0)2 /d二 cdtdtr sinr cos (rsin - h)f(t)二'l2 - (h - r sin )2c：dt.: rcos (r

12、sin - h) rsin -l2 - (h - rsin )2四、模型在实际生活中的运用该模型实际上是通过曲柄摇杆的转动， 带动滑块的滑动的过程，这在实际的 模型中，很类似于牛头刨床的工作原理。牛头刨床牛头刨床，刨床的一种，利用住复运动的刀具切割已固定在机床工作平台上 的工件一般用来加工较小工件）。机床的刀架似牛头，故名。滑枕带着刨刀，作直线住复运动的刨床，因滑枕前端的刀架形似牛头而得名。 牛头刨床主要用于单件小批生产中刨削中小型工件上的平面、成形面和沟槽。中小型牛头刨床的主运动（见机床）大多采用曲柄摇杆机构（见曲柄滑块机构） 传动，故滑枕的移动速度是不均匀的。大型牛头刨床多采用液压传动，滑

13、枕基本上是匀速运动。滑枕的返回行程速 度大于工作行程速度。由于采用单刃刨刀加工，且在滑枕回程时不切削，牛头刨 床的生产率较低。机床的主参数是最大刨削长度。牛头刨床主要有普通牛头刨床、 仿形牛头刨床和移动式牛头刨床等。普通牛头刨床（见图）由滑枕带着刨刀头刨床 和移动式牛头刨床等。普通牛头刨床 （见图）由滑枕带着刨刀作水平直线住复运 动，刀架可在垂直面内回转一个角度， 并可手动进给，工作台带着工件作间歇的 横向或垂直进给运动，常用于加工平面、沟槽和燕尾面等。仿形牛头刨床是在普 通牛头刨床上增加一仿形机构，用于加工成形表面，如透平叶片。移动式牛头刨 床的滑枕与滑座还能在床身（卧式）或立柱（立式）上移

14、动，适用于刨削特大型工件 的局部平面。牛头刨床主要由床身、滑枕、刀架、工作台、横梁、底座等组成。主要组成 部分的名称和作用如下：1 .床身它用来支承刨床各部件。具顶面燕尾形导轨供滑枕作往复运动用，垂直 面导轨供工作台升降用，床身内内部安装有传动机构。2 .滑枕主要用来带动刨刀作直线往复运动。前端安装刀架。3 .刀架用于夹持刨刀。摇动上端刀架手柄，可使刨刀上下移动；松开转盘上的 螺母，将转盘扳转一定角度，可实现斜向进给。滑板上还安装有可偏转的刀座。抬刀板可以绕刀座横轴向上抬起， 刨刀在返回行程时，抬刀板抬起，减少刨刀与 工件的摩擦。4 .工作台用来安装工件。它可以随横梁作上下调整运动，也可沿横梁

15、作水平方 向的移动和进给运动。牛头刨床的传动机构摇臂机构摇臂机构安装在刨床内部，其作用是把电机传来的旋转运动变成滑 枕的往复直线运动。摇臂机构是由摇臂齿轮和摇臂等组成， 如图。摇臂的下端与 支架相连；上端与滑枕的螺母相连。摇臂的滑槽与摇臂齿轮上的偏心滑块相连。 当摇臂齿轮由小齿轮带动旋转时，偏心滑块带动摇臂绕支架中心左右摆动， 使滑 枕作往复直线运动。图上39播臂机构一刨削前，要调整滑枕的行程大小，使之略大于工件刨削表面长度。调整滑枕 行程长度的方法是改变摇臂齿轮上滑块的偏心位置，转动方头便可使滑块在摇臂 齿轮的导向槽内移动，从而改变其偏心距。偏心距越大，滑枕的行程越长。刨削前，还要根据工件的

16、左右位置来调节滑枕的行程位置。 方法是先使摇臂停留 在极右位置，松开锁紧手柄，用扳手转动滑枕内的圆锥齿轮使丝杆旋转， 从而使 滑枕右移至合适位置，然后拧紧手柄。棘轮机构，棘爪架空套在丝杆轴上，棘轮由键和丝杆相联。摇臂轴旋转时，通过齿轮转 动，带动偏心销，使连杆拉动棘爪架往复摆动。摇臂齿轮轴每转动一周，刨刀往 返一次，棘爪架即往复摆动一次。棘爪架上装有棘爪，借弹簧压力使棘爪与棘轮保持接触。摇杆向前摆动时， 棘爪的垂直面推动棘轮；摇杆向后摆动时，棘爪的斜面从棘轮上滑过，而棘轮不 动。因此棘爪架每往复摆动一次，即推动棘轮向前转动若干齿，从而使工作台沿 水平方向移动一定距离，实现自动进给。改变棘爪的前

17、后方向，即可改变工作台 的进给方向。若将棘爪提起，则棘爪与棘轮分离，自动进给停止，此时，可用手 动进给。工作台进给量的大小，可通过调整棘轮罩的位置，即使棘轮罩遮住棘爪摆动范围内的部分棘齿，改变棘爪每次拨动的有效齿数进行改变。 调节进给量的另 一种方法是改变偏心销的偏心距离，偏心距小，则每次棘爪每次拨动的齿数少， 进给量就小；反之进给量就大。刨削加工的主运动为刨刀的直线运动，刨削为单向加工，向前为加工行程， 返回为空程。刨刀每次返回后，工件作横向的间歇移动是进给运动。五、参考文献：1 .李海涛，邓樱，MATLA程序设计教程，北京：高等教育出版社，20022 .赵静，但琦，数学建模与数学实验，北京

18、：高等教育出版社，2004。3 .朱龙根主编，机械设计，北京：机械工业出版社，2006。附录：程序清单一前三题我们所运用的C+程序如下：/Prol.cpp#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;void main()double r,l,h;cout<<"请输入摆杆OQ的长度r： "<<endl;cin>>r;cout<<"请输入连杆 PQ的长度l: "<<endl;cin>>l;cout<<"请输入摆角中心 O到滑轨O'P的距离h： "<<endl;cin>>h;double P(double r,double l,double h);double Betamin(double