中考数学二轮一元二次方程组专项培优含详细答案

1、中考数学二轮一元二次方程组专项培优含详细答案一、一元二次方程21.在等腰二角形 ABC中，二边分别为 a、b、c,其中a= 4,若b、c是关于x的万程x -(2k+1) x+4 (k- 1) =0的两个实数根，求 4ABC的周长.2【答案】 ABC的周长为10.【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出 k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出4ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式 =0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出 b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在.综上即可得出结论.【详解】当a

2、=4为腰长时，将 x= 4代入原方程，得：42 4(2k+1 )+4%11=0,2- 5解得：k=52当k=5时，原方程为x2 - 6x+8= 0, 2解得：xi = 2, x2=4,- 此时4ABC的周长为 4+4+2=10;当 a=4 为底长时， = (2k+1) 2-4X1x< k 1) = (2k3) 2=0,2- 3解得：k=-, 2.-b+c= 2k+1 =4. b+c= 4 = a).此时，边长为 a, b, c的三条线段不能围成三角形.ABC的周长为10.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三 角形的三边关系，分 a为腰长及

3、底边长两种情况考虑是解题的关键.2.阅读下列材料1 1 1 1111 1111 1 1 1 1 1 1 计算：(1一打,)*(21 + 4 + 5) - (1"2"3-4-5) ”芍+ H)，令2行十 厂3则：111141原式=(1 t) (t+号)(1t号)t = t+ t2百一+t2 = 方法叫做 换元法”，请用 1 1(1)计算：(1-3-在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想换元法”解决下列问题：11 1 1 1 11 1+1 1201M4 3 + 4+2019;'232019;1 1 1(2既+前近)(2)因式分解：

4、(a2-5a+3) (a2-5a+7) +4(3)解方程：(x2+4x+1) (x2+4x+3) = 31【答案】(1);(2)(a25a+5) 2; (3)x1 = 0,x2=4,x3 = x4=- 2q IJ J- 7【解析】【分析】1 1 1(1)仿照材料内容，令 亍餐+而由=t代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元，令a2-5a=t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a.(3)观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x=t代入原方程，即得到关于 t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解.【详解】1 1 1令2既+1515 = 3则：1 1 1 11原式=(1

5、- V) (t+2019)- 1 1 t - 2019 t= t+ _ t2_ 2019 _ t+t2019 = 2019(2)令 a2 5a = t,贝U：原式=(t+3) (t+7) +4=t2+7t+3t+21+4= t2+10t+25= ( t+5) 2= ( a2 5a+5) 2(3)令x2+4x=t,则原方程转化为：(t+1) (t+3) = 32t +4t+3=3t (t+4) = 0 - 11 = 0, t2= 4当 x2+4x= 0 时，x (x+4) = 0解得：x1 = 0, &=- 4当 x2+4x= - 4 时，2x +4x+4= 0(x+2) 2=0解得：x

6、3 = x4 = - 2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算.3.某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%,再下调15%,这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】(1)平均每次下调的百分率为10%. (2)房产销售经理的方案对购房者更优惠.【解析】【分析】(1)根据利用一元二次方程解决增长率问题

7、的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；(2)分别求出两种方式的增长率，然后比较即可【详解】(1)设平均每次下调 x%,则7000 (1 -x) 2=5670,解彳导:X1=10%, X2=190% (不合题意，舍去)；答：平均每次下调的百分率为10%.(2) (1-5%) X (1-15%) =95%< 85%=80.75%, (1-x) 2= (1-10%) 2=81%. 80.75% V 81%房产销售经理的方案对购房者更优惠.4 .由图看出，用水量在 m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过 m吨，需要加收.5 .解下列方程：(1)2x24x1=0(配方法);(2)(x+ 1)2

8、= 6x+ 6.【答案】(1)x1= 1 +, x2= 1 (2) x1 = 1 , x2= 5.【解析】试题分析：(1)根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；(2)根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可试题解析：(1)由题可得，x2 2x= ,x2 2x+ 1 =.22(x- 1)2= 3.“1=1+1，2=1书.(2)由题可得，(x+1)26(x+1)=0,(x+1)(x+1 6)=0.，x+1 = 0 或 x+1 6=0. xi = - 1 , x2= 5.6.有一个人患了流感，经

9、过两轮传染后共有36人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】(1) 5; (2) 180【解析】【分析】(1)设平均一人传染了 x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；(2)根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可.【详解】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+ (x+1) x= 36,解得：x=5或x= - 7 (舍去).答：每轮传染中平土一个人传染了5个人；(2)根据题意得：5X36= 180 (个)，答：第三轮将又有180人被

10、传染.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程2一 m 一7,已知关于x的一兀一次万程 mx 一(m+2)x+ = 0.(1)当m取什么值时，方程有两个不相等的实数根；(2)当m =4时，求方程的解.【答案】(1)当mA-1且m#0时，方程有两个不相等的实数根；(2) x3 - .5(1)方程有两个不相等的实数根，A>0,代入求m取值范围即可，注意二次项系数(2)将m =4代入原方程，求解即可【详解】2. m 一(1)由题息得：A=b 4ac =(m + 2)4gm% >0,解得 m>-1.因为m#0,即当m>-1且m#0时，方程有

11、两个不相等的实数根(2)把 m=4带入得 4x2-6x+1=0,解得 X =3，5 , x2 =35.44【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是 加大本题的关键.8 .解方程：(x+1)(x 1)=2J2x.【答案】xi = J2 + J3, x2= J2 33.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可试题解析：(x+1)(x1) = 2 J2xx2-2、2 x-1=0a=1, b=-2，y2, c=-1=b2-4ac=8+4=12>0，x=也也三c =收土点2ax1=拒+ 33 , x2=拒-7

12、3.9 .已知关于x的方程mx2+(3-m)x-3=0(m为实数，廿0)(1)试说明：此方程总有两个实数根.(2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 m的值. 22【答案】(1)b 4ac=(m+3)>& (2)m=-1,-3.【解析】分析：(1)先计算判别式得到 = (m-3) 2-4m? (-3) = (m+3) 2,利用非负数的性质得到 >0,然后根据判别式的意义即可得到结论；3(2)利用公式法可求出 x1= , x2=-1,然后利用整除性即可得到m的值.m详解：(1)证明：: m wq方程mx2+ (m-3) x-3=0 (mw。是关于x的一元二次方程，2 .

13、 = (m-3) -4mx (-3)2=(m+3),2 一. ( m+3) 2>q 即 >Q，方程总有两个实数根；3 - m r-1 m 3(2) 解：x=-1- ',2m-3-, , x1， x2=1 ,m- m为正整数，且方程的两个根均为整数，m=-1 或-3.点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw°的根的判别式 =b2-4ac：当。，方程有两个不相等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当<0,方程没有实数根.也考查了解一元二次方程.10.关于x的一元二次方程 ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根

14、的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a, b的值，并求此时方程的根.【答案】(1)方程有两个不相等的实数根；(2) b=-2, a=1时，x1=x2= - 1.【解析】【详解】分析：(1)求出根的判别式:=b2-4ac,判断其范围，即可判断方程根的情况 .(2)方程有两个相等的实数根，则 =b2 - 4ac =0 ,写出一组满足条件的 a, b的值即可.详解：(1)解：由题意：a#0.2_ 22_- =b 4ac = (a+2) -4a=a +4a0,原方程有两个不相等的实数根.(2)答案不唯一，满足 b24ac = 0 (a=0)即可，例如：解：令a=1, b=-2,则

15、原方程为x2-2x+1 = 0,解得：为=x2 =1.2点睛：考查一兀二次万程 ax +bx+c =0(a =0)根的判别式b = b2 -4ac ,当 = b2 -4ac a 0时，方程有两个不相等的实数根 .当 =b2 -4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 .当 =b2 4ac <0时，方程没有实数根.11.已知关于x的方程(a-1) x2+2x+a -1 = 0.(1)若该方程有一根为 2,求a的值及方程的另一根；(2)当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根.1、，1【答案】(1) a=-,方程的另一根为(2)答案见解析.(1)把x=2代入方程，求出a的

16、值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；(2)分两种情况探讨： 当a=1时，为一元一次方程；当awl时，利用b24ac= 0求出a的值，再代入解方程即可.【详解】(1)将 x= 2 代入方程(a _l)x2 +2x +a-1=0,得 4(a 1) + 4 +a 1 = 0 ,解得：a=15公 14 2 _4 _ _一1八将a =代入原方程得 x +2x-=0,解得：x1= , x2=2.55521_ ,1.a= 1 ,方程的另一根为 ；52(2)当a= 1时，方程为2x=0,解得：x= 0. 当 awl时，由 b2-4ac= 0 得 4-4(a- 1)2=0,解得：a=2 或 0.当a= 2时

17、，原方程为：x + 2x+ 1=0,解得：x1 = x2= 1;当 a=0 时，原方程为：一x2+2x1=0,解得：x=x2=1.综上所述，当a=1, 0, 2时，方程仅有一个根，分别为 0, 1, -1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.12.已知关于x的一元二次方程 x2 - mx-2= 0(1)若x= - 1是方程的一个根，求 m的值和方程 的另一根；(2)对于任意实数 m,判断方程 的根的情况，并说明理由.【答案】(1)方程的另一根为 x=2; (2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：(1)直接把x=-1代入方程即可求得 m

18、的值，然后解方程即可求得方程的另一 个根；(2)利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式与0的关系进行判断.(1)把x=-1代入得1+m-2=0,解得m=12- -2=0.- .另一"根是2；(2)/一4比=/-4乂(-：)=/+8a0,方程有两个不相等的实数根.考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：当。，方程有两个不相等的实数根；当 =0,方程有两个相等的实数根；当 V0,方程没有实数根13.关于x的一元二次方程 x2- ( m-3) x- m2=0.(1)证明：方程总有两个不相等的实数

19、根；(2)设这个方程的两个实数根为Xi, X2,且|Xi|=|x 2| - 2,求m的值及方程的根.【答案】(1)证明见解析；(2) X1= - 1+J2 , X2= - 1 - J2或【解析】试题分析：(1)根据一元二次方程的判别式 加2-4ac的结果判断即可，当 4>0时，有两个不相等的实数根，当 =0时，有两个相等的实数根，当 0时，方程没有实数根；(2)根据一元二次方程根与系数的关系X1+X2=-b, X1?X2=-,表示出两根的关系，得到a aX1, X2异号，然后根据绝对值的性质和两本!的关系分类讨论即可求解试题解析：(1) 一元二次方程 X2- (m-3) X-m2=0,2

20、 a=1, b= - ( m 3) =3 - m, c= - m , =b2 4ac= ( 3 m) 2 - 4X 1 x( - m2) =5m2 6m+9=5 ( m - - ) 2+,550,则方程有两个不相等的实数根；(2)X1?X2= = - m2<Q X1+X2=m - 3,aX1, X2 异号，又|x 1|=|x 2| 2,即 |X1| |x2|= 一2,若 X1>0, X2<0,上式化简得：X+X2=- 2, - m - 3=- 2,即 m=1,方程化为x2+2x- 1=0,解得：X1 = - 1+ 亚,X2= - 1 - 22，若 X1<0, X2>

21、;0,上式化简得：-(X1+X2)=- 2,. x+x2=m 3=2,即 m=5,方程化为x2 - 2x - 25=0,解得：X1=1 J26 , X2=1+ 26 .14.若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对X牵手函数”，这个交点为X牵手点(1) 一次函数y=x-1与x轴的交点坐标为 ; 一次函数y=ax+2与一次函数y=x- 1为一对X牵手函数"，则a=；(2)已知一对 X牵手函数"：y= ax+1y= bx- 1,其中a, b为一元二次方程 x2- kx+k -4 = 0的两根，求它们的 X牵手点”.【答案】(1) (1,0), a= - 2；

22、(2) X牵手点”为(, 0)或(1 , 0).22【解析】【分析】(1)根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“阵手函数”的定义得到a+b=0,根据根与系数的关系求得k=0,可得方程x2-4=0,解得xi=2, X2=-2,再分两种情况： 若a=2, b=-2, 若a=-2, b=2,进行讨论可求它们的“建手点【详解】解：（1）当 y= 0 时，即 x 1=0,所以x=1,即一次函数y = x-1与x轴的交点坐标为（1, 0）, 由于一次函数y=ax+2与一次函数y=x- 1为一对"滓手函数"， 所以0= a+2,解得a= - 2;（2） -/ y= ax+1与y= bx- 1为一对“片手函数”1 1一一=一，a ba+b= 0.a, b 为 x2 kx+k 4=0 的两根 . a+b=k=0,+1