椭圆的几何性质知识点归纳与典型例题与练习(付答案)

1、(一)椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离| F1F2|叫做椭圆的焦 距。对椭圆定义的几点说明：(1) “在平面内”是前提，否则得不到平面图形(去掉这个条件，我们将得到一个椭球 面)；(2) “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；(3)作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F1F2I这个条件。若不然, 当这个“常数”等于| F1F2I时，我们得到的是线段 F1F2；当这个“常数”小于| F1F2I时，无 轨迹。这两种特殊情

2、况，同学们必须注意。(4)下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A, A2, Bi, B2,于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数”,且|B2F2|+|B 2Fi|、|BiF2|+|B iFi|也等于那个“常数”。同学们想一想 其中的道理。.下载可编辑.(5)中心在原点、焦点分别在x轴上，y轴上的椭圆标准方程分别为:22222 1 (a b 0),y -y 1 (a b 0),a ba b相同点是：形状相同、大小相同；都有a > b > 0, a2c2 b2。不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不

3、同，它们的焦点坐标也不同 (第一个椭圆的焦点坐标为(一c, 0)和(c, 0),第二个椭圆的焦点坐标为(0, c)和(0, c)。椭圆的 焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大。(二)椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只22x y要 彳 1 (a b 0)的有关性质中横坐标 x和纵坐标y互换，就可以得出 a b22y2 xr 1 (a b 0)的有关性质。总结如下: a b时称性 羌丁，轴,万鼬坐标原点好关于r轴

4、.丁相，爱标用点时称iAj (-u j-0) t u ,0)-A (0口 ct ),.% E0* 理Tf片*2in-扪鸟 H)仙i；丹iCEG. 他3(n感心率几点说明:(1)长轴：线段 AlA，长为2a；短轴：线段B1B2，长为2b ；焦点在长轴上。(2)对于离心率e,因为a>c>0,所以0<e<1,离心率反映了椭圆的扁平程度。ca2 b2b b2由于e Ji 2 ,所以e越趋近于1, b越趋近于0,椭圆越扁平；ea a 1a越趋近于0, b越趋近于a,椭圆越圆。(3)观察下图，|OB2| b,|OF2| c,所以|B2F2| a,所以椭圆的离心率e = cos/OF

5、2及Bl(三)直线与椭圆：直线l ： Ax By C 0 ( A、B不同日寸为0)22椭圆 C ： yy 1 (a b 0) a b那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组, 个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：通过方程组的解的Ax By C 022人上12. 2a b消去y得到关于x的一元二次方程，化简后形式如下22,mx nx p 0(m 0) , n 4mp(1)当 0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；(2)当0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点(相切)；(3)当0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为A(

6、x1,y1),B(x2,y2),那么线段AB的长度(即弦长)为|AB| Ja x2)2 (% y2)2 ,设直线的斜率为k,可得：| AB |J(x1x2)2k(xx2)2也k2|xix? |,然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。典型例题一例1椭圆的一个顶点为 A 2,0 ,其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：(1)当A 2,0为长轴端点时，a 2, b 1,22椭圆的标准方程为：L L 1 ；41(2)当A 2,0为短轴端点时，b 2, a 4,22椭圆的标准方程为：L L 1 ；416说明：椭圆的标准方程有两个， 给出一个顶

7、点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.初a2122解： 2c 2 一 . 3c a ,c 3.1. 3e .33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 a,求c,再求比.二是列 含a和c的齐次方程，再化含 e的方程，解方程即可.典型例题三例3已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线 x y 1 0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.解：由题意，设椭圆方程为y2 1，x由X2a2a2X0, XmXi2X22 a-2 a1XMkOMyM

8、XM2，.二 a4,说明:y2 1为所求.（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四例4椭圆259. . .1上不同二点 A x1, y1 , B 4,一 , C x2, y2与焦点F 4,0的距离5成等差数列.(1)求证X1X28;(2)证明：（1）由椭圆方程知3, c 4.由圆锥曲线的统一定义知:AF2 a Xi c同理AFa ex1 5CFAFCF2BF即Xi4一 X154一 X2518一,5(2)因为线段 AC的中点为4,y1一y2 ,所以它的垂直平分线方程为2yiy22XiX2yiy2又.点

9、T在x轴上，设其坐标为 x0,0，代入上式，得Xo 422yiy22 xi x2又,一点A Xi, yi , B X2, y 都在椭圆上,2yi925252Xi2y2925252X22yi2y29Xi X2 Xi25X2将此式代入，并利用xi x2 8的结论得Xo 4362554 Xo典型例题五22例5已知椭圆 y i , Fi、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ,使M到左准43线l的距离MN|是MFi与|MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.解：假设M存在，设M玉，yi ,由已知条件得Lia 2, b <3 , . c i , e .2左准线l的方程是x

10、 4,MN 4 x .又由焦半径公式知：MF1a ex12 -x1 ,21 MF2a ex2 - x1.2 MN MF1MF2 ,2 八1 八1, , x42 x12 Xi22整理得 5x12 32x1 48 0 .“ 、m.12解之得x14或x1.5另一方面 2 x12.则与矛盾，所以满足条件的点 M不存在.说明：(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.(2)本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条 件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果，再作判断.(3)本例也可设M 2 cos ,v,3sin 存在，推出矛盾结论(读者自己完成)典型例题六2 x例6已知椭圆2

11、2, , , _ 1 1y2 1 ,求过点P 1,1且被2 2P平分的弦所在的直线方程.分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为1，、一k x 一 .代入椭圆方程，并21解法设所求直线的斜率为k,则直线方程为y 12整理得_22_2_1 23_1 2k2 x22k22kx-k2k -0.22由韦达定理得x1x22k2 2k 1 2k2P是弦中点，x1 x2 1.故得k所以所求直线方程为 2x 4y 3 0.分析二：设弦两端坐标为 x1, y1x2, y2 ,列关于 x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：yy2XiX21 1 ,解法一：设过P的直线与椭圆父于 Ax1, y1、Bx2

12、, y2 ,则由题意得2 22 y21,X2y21,x1x21,yy21.22得 K-x2 y12 y2 0 .2将、代入得 y-y2x1 x2所求直线方程为2x 4y 3 0 .说明：(1)有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点 轨迹；过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的 2倍，且过点 2, 6 ；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且

13、焦距为6.分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如1 求出 a2 148,22xb 37 ,在得方程1482L 1后，不能依此写出另一方程37148 37解：(1)设椭圆的标准方程为由已知a 2b.b2b2又过点2, 6 ,因此有226 26 222/ 才 h b22例8椭圆16为最小值时，求点M的坐标.由、，得a2 148, b2 37或a2 52, b2 13 .故所求的方程为 2222xy/ f yxd1或 1.148 3752 1322(2)设方程为 3 与 1.由已知，c 3, b c 3,所以a2 18.故所求方程 a b22为二匕1.189说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“

14、选标准，定参数”.关键在于焦点的位置2222是否确定，若不能确定，应设方程与 之 1或多当 1.a b a b典型例题八2y- 1的右焦点为F ,过点A1"3，点M在椭圆上，当AM 2MF1分析：本题的关键是求出离心率 e万，把2MF|转化为M到右准线的距离，从而得1 最小值.一般地，求 AM -|MF|均可用此法. e1.解：由已知：a 4, c 2 .所以e 一 ,右准线2l: x 8 .过A作AQ 1,垂足为Q,交椭圆于M,故MQ 2MF .显然AM 2MF的最小值为|AQ,即M为所求点，因此yM 、与，且M在椭圆上.故xM 2，3 .所 1说明：本题关键在于未知式 AM 2M

15、F中的“2”的处理.事实上，如图， e 1 , 即|MF|是M到右准线的距离的一半， 即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点 M ,使M 到A的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九2例9求椭圆上 y2 1上的点到直线x y 6 0的距离的最小值.3分析：先写出椭圆的参数方程， 由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最 小值.解：椭圆的参数方程为x " 3 cos '设椭圆上的点的坐标为j3 cos ,sin ,则点到y sin .直线的距离为J3 cossin 6d2sin 一32当sin 1时，d最小值2V2 .3说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线

16、的参数方程.典型例题十例10 .3设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e 已知点P23 10,一到2这个椭圆上的点的最远距离是 J7 ,求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P的距离等于 J7的点的坐标.分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d的最大值时，要注意讨论b的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要 善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结 合的思想，提高逻辑推理能力.2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 三a2yy1,其中a b 0待定.b2由e222a b2aa仃/4 1，即a 2b-设椭圆

17、上的点 x, y到点P的距离是d ,则d22y其中4b23y23y4b2 3b时,d2（从而d ）有最大值.2由题设得.7-1-，与b 矛盾.2、一 .1因此必有b /成立,d）有最大值.一 一,1 一， , 2 一 一于是当y 2时，d （从而2由题设得,74b23,可得 b 1, a 2.2.所求椭圆方程是匕1.11一到点21，、一 ，一 一及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 23P 0,一的距离是77 .2解法二：根据题设条件,可取椭圆的参数方程是acosbsin为参数.由e22 c2 a2.2a b2a1 e22b.设椭圆上的点x,到点P的距离为a cosbsin4b23b2sin23b

18、sin3b2 sin4b2 32b1 1.如果1,即b，则当sin1时,2b222 .3 一由题设得77 b ,由此得b 77 2.2d （从而d）有最大值.31-1 、一 1,与b 矛盾，因此必有2 222b成立.一一 1于当sin时d （从而d）有最大值.2b22由题设知 J74b2 3, b 1, a 2.所求椭圆的参数方程是x 2cos y sin由sin可得椭圆上的是,3,典型例题旺例 11 设 x , y R , 2x2 3y2226x ,求x y 2x的最大值和最小值.2 一 2 一分析：本题的关键是利用形数结合，观祭万程2x 3y6x与椭圆方程的结构一致.设x2 y2 2x m

19、,显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.解：由 2x2 3y2 6x,得3 x - _293可见它表木一个椭圆，其中心在一,0点，焦点在x轴上，且过（0, 0）点和（3, 0）2点.设 x2 y2 2x m,则x 1 2 y2 m 1它表示一个圆，其圆心为（一 1,0）半径为Jm 1 m 1 .0, 0）点时，半径在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示.观察图形可知，当圆过（最小，即J不一1 1,此时m 0；当圆过（3, 0）点时，半径最大，即jm1 4, m 15.22x y 2x的最小值为0,最大值为15.典型例题十二2 x 例12已知椭圆C： a2 y_ b2

20、1 a b 0 , A、B是其长轴的两个端点.（1）过一个焦点F作垂直于长轴的弦 PP，求证：不论a、b如何变化,APB 120 .（2）如果椭圆上存在一个点Q ,使 AQB 120 ,求C的离心率e的取值范围.分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB和 AQB的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第（ 2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 e满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：x a , y b,根据 AQB 120得到2ay-222x y a222 a 2“'3 ,将x a y代入，消去x ,用a、b、c表小y ,以便利用y b b列出不等式.这里要求思路清楚

21、，计算准确，一气呵成.解：（1）设 F c,0 , Aa,0 , B a,0x c,2 22 22, 2b x a y a bb2c,一 a于是kAP，kBPa c ab2a c aAPB是AP至iJ BP的角.tanAPBtanAPB故tanAPBb2b2、,3b42 T a c2a2-2""cAPB(2)设 Q x,由于对称性，不妨设 y 0,AQB是QA到QB的角.ytan AQB ayx a222y x y2a2ayAQB2ay22x y a整理得,32ay 0,32ay0, y2ab2一 3c2b,2ab2, 3c22ab. 3c22 24a a3c24c44a2

22、c2 4a40,c 4,23e 4e3 或 e222（舍），.6- e典型例题十三22例I3已知椭圆-x- -y-k 89i .i的离心率e ,求k的值.2解：当椭圆的焦点在x轴上时，a分析：分两种情况进行讨论.,22i,b 9 ,得 c k i .由 e ，得 k 4 . 2当椭圆的焦点在 y轴上时,9, b2.满足条件的k 4或k说明：本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为 k 8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例142已知椭圆34b2 y b21上一点P到右焦点F2的距离为b (b 1),求P到左准线的距离.分析:利用椭圆的两个

23、定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一：由2x4b23得 a 2b, c V,3b , e 2由椭圆定义,PFi 4bPFiPF2由椭圆第二定义,PF24bPFidi2a 4b,得3b.e,d1为P到左准线的距离,PFi即P到左准线的距离为 2 J3b.解法二:PF2d2e, d2为P到右准线的距离,d2PF2又椭圆两准线的距离为8-b3.P到左准线的距离为 呢3b 2i3b 273b33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征， 解题时要灵活选择，运用自如.一般地， 如遇到动点到两个定点的问题， 用椭圆第

24、一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题， 则用 椭圆的第二定义.典型例题十五x 4 cos ,例15设椭圆_( 为参数)上一点P与x轴正向所成角 POx ,求y 2,3sin .3,P点坐标.分析：利用参数 与 POx之间的关系求解.解：设P(4cos , 2j3sin ),由P与x轴正向所成角为 一，3,2 3 sin- tan -,即 tan 2 .34 cos而sin0,由此得到cos、 5,sin2.55上点到焦点的距离转化分析：本题考查椭圆的两个定义， 为点到相应准线距离.解：P点到椭圆的左准线l： xPF1由椭圆第二定义，一7 e, PQ利用椭圆第二定义，可索2a-的距离，|PQ

25、Xo c，1 ePQ a exo,由椭圆第一定义,r2 2a r1说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式, 题时，有着广泛的应用.请写出椭圆焦点在在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问 y轴上的焦半径公式.典型例题十七标.分析：本题考查椭圆中的最值问题， 通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当,即代数方法.二是数形结合，即几何方法.本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解 决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.解：如上图，2a 6, F2(2,0), AF2四，设P是椭圆上任一点，由PF1 PF2 2a 6,PA PF2 AF2,PAPF1PF1PF2AF22aAF

26、26 22 ,等号仅当 PAPF2AF2时成立，此时P、A、F2共线.由 PA PF2AF2, PAPF1PF1PF2AF22aAF26 行，等号仅当PA PF2 AF2时成立，此时P、A、F2共线. 、一,x y 2 0,建立A、F2的直线方程x y 2 0,解方程组22得两父点5x2 9y2 45Pi(9 15425 ”扬、P2(9 15五,5 ”两.7 147 147 147 14综上所述，P点与P,重合时， PA PF1取最小值6 J2 , P点与P2重合时，PA | PF2取最大值6 Q .(2)如下图，设P是椭圆上任一点,作PQ垂直椭圆右准线,Q为垂足，由a 3, c 2,由椭圆第

27、二定义知PF2PQPQ 3 PF223 一 .一 一PA _|PF2 PA PQ ,要使其和最小需有 A、P、Q共线，即求 A到右准线距离.右准线方程为x -.2A到右准线距离为7 .此时P点纵坐标与A点纵坐标2相同为1，代入椭圆得满足条件的点P坐标(至5,1).5、，、_1说明：求pa -PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段.巧e用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段.典型例题十八例182X(1)写出椭圆92y- 1的参数方程;4分析:的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题.(2)求椭圆内接矩形的最大面积.本题考查椭圆的参数方程及其应

28、用.为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆 x 3cos解：(1)(y 2sinx轴和y轴，设(2)设椭圆内接矩形面积为S,由对称性知，矩形的邻边分别平行于(3cos ,2sin )为矩形在第一象限的顶点，(0-),贝US 4 3cos 2sin 12sin2 12故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便.典型例题十九例19已知F-F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且F1PF2 60 .(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证 PF1F2的面积与椭圆短轴长有关.分析：不失一般性，可以设椭圆方程为

29、2y2T 1 ( a b 0), P(x1 , y1) ( y1 0). b思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即 tan60 -KPF2一K,设1 KpF2 KpF1P(X,yi), Fi( c,0) , F2(c,0),化简可得 M&12 V3y； 2c% V3c2 0.又22x2 冬 1,两方程联立消去x；得J3c2y； 2b2cyi J3b4 0 ,由y1 (0 , b,可以 a b确定离心率的取值范围；解出y1可以求出 PF1F2的面积，但这一过程很繁.思路二：利用焦半径公式 PF1 a ex, PF2 a ex,在PF1F2中运用余弦定理，求xi,再利用xi a,

30、a,可以确定离心率e的取值范围，将x1代入椭圆方程中求 y1，便可求出 PF1F2的面积.思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合PF1PF22a求解.22解：(法1)设椭圆方程为0-yy 1 a ba b 0), P(x,，yj, E( c ,0) , F2 (c, 0),贝U PFiPF2 a ex.在 PF1F2中，由余弦定理得cos60(a ex1)2 (a ex1)22(aexj(a exi)至, 一 2解得x14c2 a23e2(0,a2,故椭圆离心率的取范围是e g，1).代入b23c2 /2 4c a(2)将 x123e2 by1，即y13cc Ill .1 b2S PF1F2 F

31、1F2 y - 2c1 2 2243c3b2.3即PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关.(法 2)设 PF1 m, PF2 n, PF2F1,PF1F2则 120 .(1)在 PF1F2中，由正弦定理得m n 2c . sin sin sin 60m n 2csin sin sin 60m n 2a,2a2c, sin sin sin 60c sin60sin 60 e a sin sin2sincos221 1 -.2cos 22当且仅当时等号成立.1故椭圆离心率的取值范围是e - ,1).2(2)在 PF1F2中，由余弦定理得:/c 、222 c“(2c) m n 2mncos6022m

32、n mn2(m n) 3mnm n 2a,二.4c224, 2 2、 4. 24a 3mn，即 mn (a c ) - b .33PF1F21. “.3,2mnsin 60b .23.下载可编辑.即PFi F2的面积与椭圆短轴长有关.说明：椭圆上的一点P与两个焦点Fi, F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形，使之出现PFi PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a, c的关系式，使问题找到解决思路.典型例题二十22x y例20椭圆-2r 1 (a b 0)与x轴正向交于点 A,若这个椭圆上总存在点 P, a b

33、使OP AP (O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.分析：:。、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP AP,转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式.为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程.-,x acos解：设椭圆的参数方程是(a b 0),y bsin则椭圆上的点 P(acos , bsin ), A(a , 0),. OPAP,bsina cosbsinacos a1,即（a2 b2） cos22. 2a cos b 0 ,解得 cos 1 或 cosb2b21 cos 1 cos1 (舍去)，12b 2 1 ,又

34、b2a2 c2a b2a2c2,.下载可编辑.返e 1.2P使OP AP .如何说明：若已知椭圆离心率范围,2 八.一.(-2- J),求证在椭圆上总存在点证明？例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(一 4, 0), (4, 0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等 于10;(2)两个焦点的坐标分别是(0, 2), (0, 2),并且椭圆经过点(一 3,5)；22(3)焦点在坐标轴上，且经过点 A( J3, 2)和B(2值, 1)分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可。若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。22解析

35、：(1)因为椭圆的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为 二 y = i (a>b>0)22a b,-2a=10, 2c = 8,a=5, c=4b2 = a2 c2 = 52 - 42 = 92所以所求的椭圆的标准方程为y_ 2 = 125 92(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它白标准方程为 L ± = 1 (a>b>0)22a b由椭圆的定义知，2a=3(1)(I2)2J(3)2(5 2)2。产0而2vTc22,2222又c=2,b2= a2c2= 10 4= 622所以所求的椭圆的标准方程为_y_ 2 = 11062(3)解法一：若焦点在x轴上，设所求椭

36、圆方程为 _y_ x_ = 1 (a>b>0)22a b由八(J3， 2)和B (2 J3 , 1)两点在椭圆上可得:(3)2( 2)2121552.21a2a b 解之得a 22,2(2 3)l 1b2. 21a2 5b2 15a b2若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为y_ ±=1 (a>b>0),同上可解得22a b不合题意，舍去。22故所求的椭圆方程为二1- = 155解法二：设所求椭圆方程为 mX+ny2= 1 (m>0, n>0且m5 n)。由八(73， 2)和B (-273 ,1)两点在椭圆上可得m ( .3)2 n ( 2)2 1 22

37、m ( 2 .3) n 111Rn 3m 4n 1 曰m行即，解得 1512m n 11n -522故所求的椭圆方程为x_ y_=1155点评：(1)求椭圆的标准方程时， 首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b。(2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mX+ny2=1(m>0, n> 0),不必考虑焦点位置，直接可求得方程.想一想，为什么？例2已知B、C是两个定点，| BC = 6,且ABC勺周长等于16,求顶点 A的轨迹方程。,二力_分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，刁勺要建立适当的坐标系.为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。

38、如图所示，由ABC勺周长等于16, | Bq = 6可知，点Ai URC两点的距离的和是常数，即 |AB + |AC=166=10,因此，点 A勺轨迹是以R 孰焦点的 椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。解析：如图所示，建立坐标系，使 x轴经过点 B C,原点O与BC的中点重合。由已知 |AB + |AC + |BC=16, |BC=6,有 |AB + |AC=10,即点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，且 2c=6, 2a=10,c= 3, a=5, b?= 5232= 16。由于点 埼直线BCh时，即y=0时，A B、CE点不能构成三角形，所以点 A的轨迹方程22是乙 L = 1 (y

39、 W0)。25 16点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意， 如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件 来注明。例3 一动圆与已知圆 O: (x+3) 2+y2= 1外切，与圆 Q: (x 3) 2+y2= 81内切，试求 动圆圆心的轨迹方程。分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。解析：两定圆的圆心和半径分别为 O (3, 0),1=1; O (3, 0),2=9设动圆圆心为M(x, y),半径为R则由题设条件可得|MO = 1 + R, |MQ = 9 R.|MO+|MO =

40、10由椭圆的定义知：M在以O、O为焦点的椭圆上，且 a=5, c=3o .b = a c =259=1622故动圆圆心的轨迹方程为 二y_ = 1o25 16点评：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。22例4已知P是椭圆 土 L = 1上的一点，Fl、F2是两个焦点，且/ FiPF2=30。，求25 16 PF1F2的面积。分析：如图所示，已知/ P= 30。，要求PFFz的面积，如用1 | FF2| |yP| ,因为求P点坐标较繁，所以用Sa =21| PF| | PE| sin30 °较好，为此必须先求出|

41、 PF| PF| , 2从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积。22解析：由方程土 _y_ = 1,得a=5, b=4,25 16c= 3,| FiF2| =2c=6| PF| +|PE| =2a=10 . / RPF=30在EPF 中，由余弦定理得 |FF2|2 = |PF1|2+|PE|22|PF| |P同 cos30即 62= | PF| 2+ 2| PF| | PF>| +| PE| 22| PF| | PF| 如 | PF| | PF>|一 . 一一一一一一一一 . 2（2+ 五）| PF| | PE| = （ | PF| + | P同）-36=

42、 100-36= 64,. | PF| - | PR| =64广=64 （2内）S 9=1| PF| | PF| sin30F1PF22231 , 64 （2 ；3 ） 1 = 16 （2石）22例5椭圆ax2+ by2= 1与直线x + y= 1相交于P、C两点，若| PQ = 2册，且PQ勺中点C与椭圆中心连线的斜率为区求椭圆方程。2a、b之值即可2解析：由ax x设P （xi , y。,Xi+X2= 2b a b分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出by 1得（a+b） x22bx+b1 = 0y 1Q Q2, y2）,则,XiX2=旦a b|PQ= 1 12）2，（x

43、1 x2）2 4x1x2J21：（2b；a b=2 2a b aba b-a b ab=a+b 又PQ勺中点 C ( b , 1 b ),即 C ( b , a ) a b a bababako= a b a 由得a= 1 , b=。5b b 233a b.所求椭圆方程为xi笃5y2 =133例6中心在原点的椭圆 C勺一个焦点是F (0, 我)，又这个椭圆被直线l ： y=3x 2截得的弦的中点的横坐标是 1,求该椭圆方程。2分析：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”。22解析：据题意，此椭圆为焦点在 y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为y_ ± = 1(a&g

44、t;b22a b>0)设直线l与椭圆C勺交点分别为A (xi, yi), B(X2, y2),则有：2222yiXi = i yX2-2-. 2, -2-. 2 Iab ab两式相减得：(yi y2)(yi 幻 (为 X2)(xi X2)=。 2,2ab.yi ya2(xi X2)Xi X2b2(yi y)2.即 3= a a2= 3b之2-'c= v5Qb ( i)又因为椭圆焦点为f(o, J50)则 a2b2 = 50由解得：a2=75, b2=2522该椭圆方程为匕± = i75 252例7设P是椭圆三 a求证：椭圆的离心率e>2y- i (a>b&g

45、t;Q)上的一点，Fi、F2是椭圆的焦点，且/FiPF=9Q° , b222.证明：:口是椭圆上的点，Fi、F2是焦点，由椭圆的定义,得 |PF|+|PE|=2a在 RtFiPE 中,22_2_2|PFi|PF2| | FiF2 |(2c)4c2由2,得 |PFi|2 2| PFi | PF2 | | PF2 |2 4a2| PF| - | PF>|=2 (a2c2)由和，据韦达定理逆定理，知|PF| . |PE|是方程z2 3az+2 (a2c2) =0 的两根,2则 =4a 8(a2-c2) > 0,c、2_) a1 .如果方程x2 + ky2= 2表布焦点在A.(0

46、, +00)C.(i, +°°)22 .已知椭圆X_25B.D.y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是(0, 2)(0, i)a < it =,则4A. i023 .椭圆人2y = i,9F2CD勺周长为B. i22Fi、F2分别为它的两焦点，过 Fi的焦点弦CD!x轴成a角(0VC. 20D.不能确定i2点M勺纵坐标是A. 土 J3匕=i的一个焦点为Fi,3B.点P在椭圆上，如果线段PF的中点MBy轴上，那么424.设椭圆工45一| PE|等于C. 土 ,'24A. 6 .52 r=i20的两焦点分别是B. 2 .55 .直线y = x与椭圆+ y-=A.

47、2B.26 .点P是椭圆_x_47 .552积为i000Fi和F2,呐椭圆上一点，并且 PFXPR,则| PF|1相交于AD. 2V53B两点,C. 4 i05则| AB等于D. 8d05.y_ =i上一点，Fi、F2是其焦点，且/ FiPF2=60 ,则 FiPE的面647. 4ABC勺两顶点B(8, 0), C (8, 0), A上的中线BMfAEfe上的中线CN勺长度之和为30,则顶点A的轨迹方程为8. Fi、F2为定点，|FiF2| =6,动点M荫足|MF|十|MF| =6,则 训的轨迹是9.以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P ( 35,4)和Q ( 3 , 3),则此椭圆的方程是5o2i

48、0.在椭圆x-i6i)且被这点平分的弦所在的直线方程是ii. ABC勺两个顶点坐标分别是 B (0, 6)和C(0, 6),另两边AB AC勺斜率的乘积是4 ,求顶点A勺轨迹方程。912.在面积为1的4PM即,tan M= 1 , tan N= 2,建立适当的坐标系，求出以 M 曲2 焦点并且过点P的椭圆方程。参考答案22x y1 .解析：将方程x2+ky2= 2化为椭圆的标准方程为 "2一 5 = 1，又焦点在y轴上，k2>2,解之得 0<k<1。k2 .解析：由椭圆方程知 a=5, | CF| +| CE| =2a=10, | DF| + | DE| = 2a= 10,则 F2CD 的周长 | F2q +| F2D| 十 | CD= | CF| + | CE| + | DF| + | D向=10+ 10 = 20。3 .解析：由椭圆的标准方程易知 c=3,不妨设Fi (3, 0)、F2 (3, 0),因为线段PF的中点在y轴上，由中点坐标公式知 xp=3,由椭圆方程x y = 1解得yp=± " 3 ,故M纵1232J-坐标为土虫_。44 .解析：从方程中可得 a=3J5