最新浙江省绍兴市高二下学期期末数学试题(解析版)

1、2018-2019学年浙江省绍兴市高二下学期期末数学试题、单选题1 .复数z 1 i(i为虚数单位)的虚部为()A. 1B. 1C. iD.i【答案】B【解析】由虚数的定义求解.【详解】复数z 1 i的虚部是1.故选：B.【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础.一，、一，I vV 一 一 v v2.已知空间向量a (1,1,0), b (3, 2,1),则a b ()A. ,5B.,6C.5D. 26【答案】Dr r .【解析】先求a b，再求模.【详解】rr2 a (1, 1,0), b (3, 2,1),r r ，.八.、r r/ _2_ 223 a b (4, 3,1),

2、a bJ4( 3)1 底.故选：D.本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础.3.已知函数 f (x) 3x2,则 f (3)()A. 6B. 12C. 18D. 27【答案】C【解析】 先求出导函数f (x),再计算导数值.【详解】 f (x) 3x2,f (x) 6x, f (3) 6 3 18.故选：C.【点睛】 本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础.4 .设 x R ,则 “ 2 x 3” 是 “ X 2 1 ” 的（）A.充分不必要条件B.必要条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 分析两个命题的真假即

3、得，即命题 2x3|x 21和x 2| 12x3.【详解】2x3 x 2 1为真，但x 2 1时1 x 2 11 x 3 .所以命题x 2| 12 x 3为假.故应为充分不必要条件.故选：A.【点睛】 本题考查充分必要条件判断，充分必要条件实质上是判断相应命题的真假: 真，则P是q的充分条件，q是P的必要条件.222x ,则此双曲线的离心率为5 .已知双曲线x-y- 1的一条渐近线方程为ya2b2( )A. 5B. 5 5C. -D.2 一，m cc可求得一 a【答案】B【解析】由渐近线方程得出b的值，结合a2 b2 a双曲线的一条渐近线方程为y 2x,，b 2,a4 ,解得c55 ,即离心率

4、为e J5 .a故选：B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时要注意a2 b2 c2,要与椭圆中的关系区第21页共18页别开来.226 .已知椭圆x- 2 1(a b 0)的左右焦点分别Fl, F2,焦距为4,若以原点为 a2 b2圆心，F1F2为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，则此椭圆的方程为()2A. x-82 y162 x B. 322c. x-4D.x216y24【解析】已知2c,又以原点为圆心，F1F2为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点，这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，从而有b c,于是可得a,从而得椭圆方程。【详解】 以原点为圆心，F1F2为直径的圆恰好与椭圆有两个公共点

5、，这两个公共点只能是椭圆短轴的顶点，b c,又2c 4即c 2,，a Jb2 c2 J22 22 2J2，22椭圆方程为土匕1。8 4故选：Ao【点睛】本题考查椭圆的标准方程，解题关键时确定a,b,c的值，本题中注意椭圆的对称轴，从而确定b,c关系。7.若函数f(x)3mx2x2 3x 1存在单调递增区间，则实数 m的值可以为(【解析】根据题意可知B 3B3D.f '(x) 0有解，再根据二次函数的性质分析即可由题,若函数f(x)mx3 2x2 3x1存在单调递增区间，则f'(x)23mx4x3 0有解.当m0时显然有解.当m 0时,16 43m因为四个选项中仅2:349 9故

6、选：D【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数单调区间的问题，需要判断出导数大于 0有解，利用二次函数的判别式进行求解.属于中档题.28 .若过点P(1,n)可作两条不同直线与曲线 y x 2x 1 x 2相切，则n ()A.既有最大值又有最小值B.有最大值无最小值C.有最小值无最大值D.既无最大值也无最小值【答案】C【解析】 数形结合分析临界条件再判断即可.【详解】,2对y x 2x 1x 2求导有y'2x 21 x 2，当x2时y'6,此时切线方程为y 222 26 x 2y 6x4，此时n 6 42.此时刚好能够作出两条切线 ，为临界条件，画出图像有：又当x 1时y 3为另

7、一临界条件，故n 2,3 .故n有最小值无最大值故选：C【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用，需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中 档题.9 .已知a b 0,则下列不等式正确的是（）A.2 b而 aB.3ab3b aC.lg a b1g b ad.1g a b1g ba【答案】C【解析】 考虑到C,D中不等号方向，先研究 C, D中是否有一个正确。构造函数y lg x x是增函数，可得当 a b0时，有a lg a b Igb,所以1ga b lg b a,作差 W=1gb a令y lgx x ,显然单调递增，所以当a b 0时，有 a lg a b lgb,所以lga b lgb

8、 a,另一方面因为lg b ba,lg b a 0,所以Iga b , 1gb a 0,对 1ga b可分类,lg a b 和 lg a b【详解】b时,W= lgb a lga b a lgb- lga b,当 lgaW=a lg b lg a b a lg a b lg b 0,当 lg a b 时，W =a lg b+ lg a- b a+ lg a- （b lgb） 0 （由 y lg x x递增可得），lgb a lga b , c正确。故选：C【点睛】本题考查判断不等式是否成立，考查对数函数的性质。对于不等式是否成立，有时可用排除法，即用特例，说明不等式不成立，从而排除此选项，一直

9、到只剩下一个正确选项为止。象本题中有两个选项结论几乎相反（或就是相反结论时），可考虑先判断这两个不等式中是否有一个为真。如果这两个都为假，再考虑两个选项。1 n10.对任意的n N ,不等式（1 一）n e（）a （其中e是自然对数的底）恒成立， n n 1则a的最大值为（）A. ln2 1B. 1C. ln3 1D. 1ln2In 3【答案】B【解析】问题首先转化为n+a11 1e恒成立，取自然对数只需n，、，, 1(n a) ln 1 一 n恒成立，分离参数只需11 ln(1 -) n“恒成立，构造m(x)11, xln(1 x) x0,1 ，只要求得m(x)的最小值即可。这可利用导数求得

10、，当然由于函数较复杂，可能要一次次地求导(对函数式中不易确定正负的部分设为新函数)来研究函数(导函数)的单调 性。对任意的n N* ,不等式 1-)a (其中e是自然对数的底)恒成立, 1只需n+a1 -ne恒成立，只需(na)ln 11.,- 一-1恒成立，只需a ln(11-) nn 4恒成立，构造m(x)1ln(1 x)1一，x xm'(x)(1 x) ln2(1 x) x2x2(12x) ln (1 x),x0,1 .下证 ln2(1 x)2x ,x 1+x0,1再构造函数,2x =ln 1+x2 x 一,x 1+x(0,1h' x2(1 x)ln(1 x)2x2 2x

11、,x(0,1x =2(1 x)ln 1 xx2 2x F'2ln 1 x2x, x(0,1 ,令x 2ln(1 x)2x, x(0,1 , G' x2x1 x,X(0,1x (0,1 时,G' x0, G x单调递减,所以递减，F x 0,即h' x0,所以h x递减,并且0 =0 ,所以有ln2 12x,x (0,1 ,所1+x以 m'(x)0,所以m(x)在 x0,1上递减，所以最小值为 m(1)1.1,即a的最大值为1ln 21 a ln2故选：B。本题考查不等式恒成立问题，解题时首先要对不等式进行变形，目的是分离参数，转化 为研究函数的最值。本题

12、中函数的最小值求导还不能确定，需多次求导，这考验学生的 耐心与细心，考查学生的运算求解能力，难度很大。二、填空题ii.已知向量 a x,i,i , bv 4,1,0，却 应，则 x ； v vv 【答案】0 1【解析】由向量模的坐标公式运算可求得x,再由向量数量积的坐标运算计算出数量积。【详解】 rC_2. 一由题意a xx 12 12 J2,解得x 0,r ra b 0 4 11 1 0 1。故答案为：0; 1。【点睛】本题考查空间向量模的坐标运算，考查数量积的坐标运算，属于基础题。12 .复数z 1 2i,则z【答案】,5°2【解析】由复数模的定义计算 z的模，求出f后再求其模。

13、 【详解】复数z 1 2i,则|z 1(2)2面，1 2i (1 2i)(1 i) 1 3iz 而 -,所以。1 i (1 i)(1 i) 2 21 i 2故答案为：.5；工0。2【点睛】本题考查求复数的模， 可根据模的定义计算,人 z 旧J5 厢计算，如；- L T °1 i |1 i| V22旧 11113.用数学归纳法证明：1 - L2 3 4对复杂一点的复数的模还可根据模的性质11112n 12n n 1 n 21一，第2n步应验证的等式是；从“ n k”到“ n k 1 ”左边需增加的等式是【解析】由数学归纳法的要求确定结论。当n 1时，应当验证的第一个式子是k ”到“ n

14、 k 1 ”左边需增加的式子是2V不【点睛】本题考查数学归纳法，属于基础题，一定要注意数学归纳法中，归纳假设后从“ n k到“ n k 1”时所证命题是什么，如两者比较增加了什么，不能弄错。43- 214.已知函数f x x ax 2x b ,其中a , b R,右函数f x仅在x 0处有极值，则实数a的取值范围是；若a 4,则函数f x的所有极值点之和为8 8【答案】一，33 3【解析】求出导函数f (x) 4x3 3ax2 4x x(4x2 3ax 4) , f x仅在x 0处有极值，则4x2 3ax 4 0恒成立，由此可得a的范围；a 4时可求得f(x)的所有极值点，然后求和。【详解】一

15、一3.22f '(x) 4x 3ax 4x x(4x 3ax 4)，如果f x仅在x 0处有极值，那么.22y 4x 3ax 4 的 =(3a)64 0, /. a当 a 4时，f '(x) 4x3 12x2 4x 4x(x2 3x 1),三个极值点为353 .5 一x1 0,x2, x3°?,所以极值点的和为3。故答案为：8,8；3.3 3本题考查函数的导数与极值问题，要注意对导数存在的函数，函数的极值点不仅要导数值为0,还要在此点两侧导数值符号相反，否则不是极值点.215 .已知F为抛物线C： y 64x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A, B两点,设 FA F

16、B ,则-FA.FB【答案】3 2 2【解析】直接写出直线方程，与抛物线方程联立方程组解得交点的横坐标，再由焦半径 公式得出FA , FB ,求比值即得。48-32-16 *3+2我,48 32.2 162- 2联立 y2 X 16,可得 x2 96x 162 0, y 64x解得x 96 64收=48 32亚，所以-FA2FB故答案为：3 2 2°【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查焦半径公式。解题方法是直接法，即解方程组得 交点坐标。16 .函数f(x) Jx 2 ln x 2的零点个数为 【答案】2【解析】根据图像与函数的单调性分析即可.【详解】f (x) Jx 2 ln

17、 x 2的零点个数即 Jx 2 In x 2的根的个数，即y Jx 2与y ln x 2的交点个数又当x 0时yJx 2,此时 y Jx 2 在 y ln x 2当 x 1 时，yJx 2又对yjx2求导有y上方.33, y ln1 2 2,此时 y jx_2 在 y ln x 2 下方.1, c 一，1,对y ln x 2求导有y'-,2、x 2x11故随x的增大必有一 一,即yJy2的斜率大于y ln X 2的斜率.x2.x 2故在x 1时，yJx2与y ln x 2还会有一个交点分别作出图像可知有两个交点故答案为：2【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题，需要根据题

18、意分析函数斜率的变化规律与图像性质.属于中档题.2 22._2 217.已知椭圆C1 ： m x y 1 0 m 1与双曲线C2 ： n x2y 1 n 0的焦点重合,ei与e2分别为Ci、C2的离心率，则 向e2的取值范围是1,由两曲线焦点重合，得出m,n的关系，再求出（ee2）2(1 m2)(1 n2),由n, 口m2 1 m2 1 A刚才求得的关系式消元后得 （ee）2 _m一L_mL,令t1 2m22m2 ,换元后利用函数的单调性可得范围.其中要注意变量的取值范围，否则会出错.因为椭圆Ci : m1与双曲线C2: nn 0的标准方程分别为:2x1-2m2x1n1 ,它们的焦点重合,1/

19、 1,所以 n2,(ee2)2(1 m2)(1n2)1 2m2(0弓)22t2 2t 14ti(t12 -),t (0,1),于是(¥2)Qe21故答案为：1,【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率问题，利用焦点相同建立两曲线离心率e1, 的关系，再由函数的性质求得取值范围.为了研究函数的方便，可用换元法简化函数.三、解答题一 一乙一1318 .已知 f(x) - x ax 4, a R. 3(1)若a 4 ,求函数f (x)的单调递增区间；(2)若a 9,且函数f(x)在区间0,3上单调递减，求a的值.【答案】(1)单调递增区间为(，2),(2,) (2) a 9【解析】(1)求导分

20、析函数单调性即可.(2)由题可知f '(x) 0在区间0,3上恒成立可得ax2,即可得a 9再结合a 9即可.【详解】解：(1)由 a 4, f (x) x2 4 0,得函数f(x)的单调递增区间为(，2),(2,).(2)若函数f(x)在区间0,3上单调递减，则f (x) x2 a 0,则ax2,因为x 0,3,所以a 9,又a 9,所以a 9.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间问题，同时也考查了利用函数的单调区间求解参数范围的问题，需要利用恒成立问题求最值，属于基础题.19 .如图，FA 平面 ABC, ABC 90, EC /FA, FA 3, EC 1, AB 2

21、 , AC 4, BD AC 交 AC 于点 D .B_(1)证明：FD BE;(2)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)近020【解析】(1)证明FD DE与BD FD进而证明FD 平面BDE即可.(2)建立空间直角坐标系，求解BCu以及平面BEF的法向量，再求解线BC与平面BEF所成角【详解】(1)证明 1：在 VABC 中，ABC 90 , AB 2, AC 4, BC 273.因为BD AC交AC于点D ,所以AD 1, CD 3.因为 FA 平面 ABC,EC /FA, EC 1, AC 4,所以 VFAD VDCE ,所以 FD DE .又因为BD A

22、C, FA 平面ABC,所以BD 平面FDE, BD FD所以FD 平面BDE,所以FD BE .证明2：如图，以D为原点，分别以DB,DC为x, y轴，建立空间直角坐标系.在 VABC 中，ABC 90 , AB 2, AC 4,BC 2 J3 .因为 BD AC 交 AC 于点D,所以AD 1, CD 3,所以D(0,0,0), A(0, 1,0),C(0,3,0) , F(0, 1,3), E(0,3,1),B( 5,0,0)uuirDFLUU -所以UULTDFuurBE 0,所以 DF BE(0, 1,3), be ( -3,3,1)(2)LUU_ LUU _UUIT_解：由(1)可

23、知，BC ( .3,3,0), BE ( 、3,3,1), BF (、. 3, 1,3).T 设平面BEF的法向量为n (x, y,z),uuv r所以uuuv r °，即BF n 0,3x 3y z 0,.3x y 3z 0.人mi 36 r,q 3 6、令 x赤，则y ,z ,所以n（J3,一,一）.555 5uuir r设直线BC与平面BEF所成角为，则sin uBC nr |BC| |n|10-20【点睛】本题主要考查了线面垂直线线垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解线面角的问题属于中档题.20 .已知等比数列 an , bn的公比分别为p, q p q .a ,一 一一(1

24、)右& bi 1 , p 2q 4,求数列 的刖n项和Sn ； bn(2)若数列 Cn ,满足Cn Bn b ,求证：数列 g不是等比数列.【答案】(1) Sn 2n 1 ；证明见解析.n项和a n 1【解析】(1)分别求出an，bn,再得1 2,仍然是等比数列，由等比数列前bn公式可得；,n 1 n 12(2)由已知Cn p q ，假设Cn是等比数列，则Cn Cn £n 1 ,代入Cn求得与已知矛盾，假设错误.【详解】n 1n 1 an on 1(1)an 4, bn 2, - 2，bn则 Sn 2n 1 ；证明：（2）假设数列可得an2 bnan 1b 1an 1bn 1

25、2因此有anbnan p bnqanPbnq一 2 即anbn2 2anbn2anbn2anbn一 2cn是等比数列，可得CnCnQn1,设数列Hn,bn的公比为因此有2 E q, p q , q p与已知条件中p,q不相等矛盾, 因此假设不成立，故数列 Cn不是等比数列.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前n项和公式，考查否定性命题的证明.证明否定性命题可用反证法，假设结论的反面成立，结合已知推理出矛盾的结论，说明假设错误.也2可直接证明C2 C1C2 ,即能说明Cn不是等比数列.2与1 a b 0的右焦点，直线 AB：b X21 .如图所不，已知 F是椭圆C :金 ax- 2y+2 =

26、0与椭圆C相切于点A.(1)若 a G,求 b ;unv. uuv uuv uuv(2)若FA FB , FA FB 0,求椭圆C的标准方程.咯案】（1）b手582 4【解析】（1）把直线方程与椭圆方程联立，消去y得x的一元二次方程，直线与椭圆相切，则0，结合a J2可求得b ；(2)利用2(1)中结论a_ b242a1可求得A点坐标(一，b b2 ,因此点A ),作AC x轴于点2C, BDx轴于点D ,由AFBF , AFB 900,则有 ACF FDB ,因此AC FD , CF BD ,这样可由A,F点坐标表示出B点坐标，由B在直线b2 c2可解得ab/H5a23这样结合x-2y+2

27、= 0上可得 5a_ 3_82椭圆标准方程.(1)由直线与椭圆方程联立得b222, 2a a b因直线与椭圆相切,0,因此可得b2(2)b21代入方程式可得 x240,4因此xa作ACx轴于点D, AFBF , AFB900，x轴于点C , BDFDB ,因此则有 ACFAC FD , CF BD ,FD 12x 1 上2 因此a-21(C 1 * 3 ! 1,一 5a2化简得5a-82 2又由 a_ b2 1 5a_ c2,4422cc.则可得，即有c2 c 2 0, c 0,82则a25, b23 5x2因此所求的椭圆方程为58【点睛】 本题考查求椭圆的标准方程.考查直线与椭圆位置关系.直

28、线与椭圆相切，只能由直线方程与椭圆方程联立，消元后得二次方程，则有结论0 .第(2)小题有一定的难度，关键是还要一个 a,b,c的关系式，题中解法是通过几何方法，由 A,F点坐标表示 出B点坐标，B便代入直线方程得到关系式.另一种方法是 FA FB,然后取AB中 点为M ,则有FM AB (不需要再求线段长了)，这样两个垂直也可以建立起a,b, c的关系式.a.22.已知函数 f(x) ln(1 ), f (1) ln 2. x一r1(1)证明：f (一) x ； x(2)若，f(2)f (22)f(2n) m对任意的n N*均成立，求实数 m的最n 1小值.，1 1 ,115【答案】(1)证明见解析(2) 1ln 381【解析】(1)由fln2可得f(x) ln(1 -) , x ( , 1) (0,)再构造函数 xF(x) ln(1 x) x,分析函数单调性求最值证明即可.1T(2)根据题意构造函数 g(n) f(2) f (22) L f(2n) 一-,再根据 n 1n 1,1f(x) ln(1 一), x (,1) (0,).