复变函数与积分变换复习题

1、复变函数与积分变换复习题一、单项选择题1 .解析函数f(z) u(x, y) iv(x, y)的导函数为(B )；(A)f (z)UxiUy；(B)f (z)Ux iUy；(C)f (z)UxiVy ;(D)f (z)UyiVx.2 . C是正向圆周|z 3,如果函数f(z) ( D ),则口cf(z)dz 0 .(A)(B)3(z 1)z 2(C)3(z 1)._ 2 ，(z 2)2(D)一2 .(z 2)23 .如果级数cnzn在z 2点收敛，则级数在(C )n 1(A) z2点条件收敛；(B) z 2i点绝对收敛;(C) z 1 i点绝对收敛;(D)z 1 2i点一定发散.5.下列结论不

2、正确的是().1 ,(A) 为sin 一的可去奇点；(B) z1(C) 为-1的孤立可点； sinz4 .下列结论正确的是(B )(A)如果函数f(z)在4点可导，则f(z)在4点一定解析;(B)如果f(z)在c所围成的区域内解析，则 工f(z)dz 0C(C)如果以f(z)dz 0,则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析；C(D)函数f(z) u(x, y) iv(x, y)在区域内解析的充分必要条件是U(x, y)、v(x,y)在 该区域内均为调和函数.为sin z的本性奇点；,1 ,为二的孤立奇点.sin z1. 一 的幅角是(一2k ,k Q 1, 2)；二.填空题1.3.2 . L

3、n( 1 i)的主值是(-ln2 -i)；24一、 1小3 . f(z) -z2, f (0)( 0);一 z sinz ,4 . z 0是4的(一级)极点;Z15 . f (z) z , Res f (z),()；y2)是解析函数，求a,b,c,d.三.按要求完成下列各题2.2 /2.(1) 设 f(z) x axy by i(cx dxy解：因为f(z)解析，由C-R条件uvuvxyyx2x ay dx 2y ax 2by 2cx dy,a 2,d 2, a2c,2b d, c 1,b1,(2)计算15 zIz 3 (1 z2)2(2z4)3dz解：本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算

4、也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程z因为函数f(z) 上十在复平面内只有两个奇点Zi 0,z2 1 ,分别以Zi，Z2为圆心画 (z 1)2z的小 圆 c1,c2 且位zeC (z 1)2 zdzoCize(z 1)2 .-dzze2 i(一)zzze(z 1)20C2z- dz (z 1)2无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。dz .其中C是正向圆周|z 3；(3) .利用留数计算1C (z 1)(z 2)2解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在:3内，由留数定理Q lzl3 (11 1 f(-)-z z1 12 i Res f(-) z z (1)15z(1

5、4)2(2 (1)4)4、3 Z121 1 f(-)-2z z2 2 _ 4z(1 z ) (2z1)3有唯一的孤立奇点 3z 0,Resf (-) ,0 lim1 1 zf(-) 2z zllm (1 z2)2(2z4 1)3115zdz iz 3(1 z2)2(2 z4)3(4)函数 f(z)z(z2 1)(z2)3(z 3)2(sin z)3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有15=44Tdz2 iResf(z),z2)2(2 z4)3极点，请指出它的级.2一 3 一 2z(z2 1)(z 2)3(z 3)2 ,，(1)誉-的奇点为 z k,k 0, 1, 2, 3,(sin z)3

6、z k,k0, 1,2, 3,为(sin z)3 0的三级零点,(2)0, z1,为f (z)的二级极点，z2是f (z)的可去奇点,(3)3为f(z)的一级极点,(4)2, 3, 4 ,为f(z)的三级极点;(5)为f (z)的非孤立奇点。四.将函数f(z) 一一在以下区域内展开成罗朗级数; z (z 1)解：(1)当01z2(z 1)(z 1)(z 11)而/八(z 1 1)(1)n(z1)nnn 11) n(z 1)f(z)n 1n 2(1) n(z 1)f(z)z2(z 1)J(1 z)1一2 z n(3)当 1f(z)z2(z 1)13/d 1 z (1)zf(z)-13 (1)n z n 0 z五.用Laplace变换求解常微分方程定解问题y (x) 5y(x) 4y(x) e xy(0) y(0) 1解：对y(x)的Laplace变换记做L(s),依据Laplace变换性质有21s L(s) s 1 5(sL(s) 1) 4L(s) 整理得L(s)(s 1)(s 1)(s 4)1110(s 1) 6(s 1)15s 1115(s 4)115(s 4)y(x)1 xe101e154x10(s 1) 6(s 1)六.求f(t) e ,t(0)的傅立叶变换，并由此证明：cosi t t解：F(