111常数项级数的概念及性质

1、第一节常数项级数的概念和性质、问题的提出 二、级数的概念三、级数的性质五、小结练习题、级数的概念1.级数的定义：00Y叭=w1+w2+w3+-（常数项）无穷级数 级数的部分和片=妁+"2 + +"“ =£血 部分和数列1=1$1 =眈1，$2 ="1 +2，归=眈1 +眈2 +眈3，2.级数的收敛与发散:当无限增大时，如果级数號的部分和h=i数列片有极限即lims“=s则称无穷级数"Too£知收敛,这时极限s叫做级数£暫的和并n=l7i=l写成£ =Ui+U2+- + "+ 如果片没有极限，则称无穷级数&

2、#163;知发散.71=1存在（不存在）00=E""+i 1=1即 常数项级数收敛（发散）0如s 余项 rn = S Sn = Un+1 + Un+2 + * 即sn»s 误差为（limp“11_例1讨论等比级数（几何级数）+（a工0）00工 ag" =a+aq+aq2 + + aq"71 = 0 的收敛性.解如果？工1时sn =a+aq+aq2 +当g|vl时八 lim=O 1n->oo当g|>l时， limg" =oo /.'“Too/I>00nlims” =ooJ/>00收敛发散如果|g| = W

3、当 q = 1 时，->oo发散当g=_l时，级数变为a-a+Q-a + lim兀不存在发散H>00综上乞aq"Ai=0e|vl时，收敛 时，发散例2判别无穷级数£22"3_"的收敛性.n=l解叫"旷=4.&,4己知级数为等比级数，公比"亍| q 1， 原级数发散例3判别无穷级数rrrr+（2-1）.（2+1）+的收敛性.解 U,= (2w-l)(2w + l) = 2(2«-1 2« + 1，=F“1-3 3-5(2n-l).(2n + l)显(1一1)+1(口)+ +1( - -)232 3

4、 52 2n-l 2n + llims” =lim-(l-H>QO2=2，级数收敛,和为1三、基本性质性质1如果级数£血收敛，则£畑“亦收敛. 71=1结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.性质2设两收敛级数g =工 <7 =工卩“,71=171=1则级数£（血土卩“）收敛,其和为S ± G.71 = 1结论：收敛级数可以逐项相加与逐项相减.例5求级数猱為的和.Q0解£n=lr 5 kn(n + l)00+Fj5n(n + l)OO迄/=1=z/=15 n(n + l)令g =lim gn =51im(l-W>

5、0078£吉是等比级数，公比“ £ v i,首项是; n=i L22oo故n=ln(n + l)12 i1)= 5 + 1 = 6.性质3若级数为"“收敛，则也收敛71=1n=k+l（k > 1）.且其逆亦真.（即级数的前面加上 （或去掉）有限项，级数的敛散性不变）证明 Uk+1 + Uk+2 + * * * + Uk+n + °= uk+l + uk+2 + + uk+H=Sn+k Sk，贝!|limCT =imsn+k-imsk=s-sk .性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.例如(1-1

6、)+(1-1)+-1 1 + 1 ! + 推论如果加括弧后所成的级数发散，则原来级 数也发散.级数收敛的必要条件:当无限增大时，它的一般项给趋于零，即 级数收敛=> limwn = 0./I>00证明 s=$X 则 Un =sn-sn_n=l limun = limsn 一limsn_x =s-s=0.ToOTo0T8注意1. 如果级数的一般项不趋于零，则级数发散；例如 |_1 + 1 +yr + * 发散234n+12. 必要条件不充分.例如调和级数1 +制+有lim冷=0,但级数是否收敛?“Too讨论+ n + 2 +假设调和级数收敛，其和为S于是lim（為 -片）=s - s

7、 = 0，/I>00便有0注ST00）这是不可能的.级数发散.五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法1. 由定义若片TS,则级数收敛;2. 当则级数发散；W>003. 按基本性质.一、填空题:练习题1、2、3、4、5、6、1 3(2n-l)5，则£际h=1wt5若皱=笳则=nn=l若级数为返+上;+里2+ 则0” =2 2-42 4 62345若级数为 + - +则=3 579若级数为1 + | + 3 + + + ”. 则当“ 时=; 当 =时=;等比级数当时收敛；当时发散/=0三、由定义判别级数1、- + - + - + + + ；369 3nn 1 1A z 1 1 A z 1 1、z 1 1、2、( _) + (r H ) + (r H ) HF (F ) + ；23223223332n 3o 1111113、- + - +210420210/、1、2、5、4、三、收敛.四、1、发散；3、发散、6、|<1,|>1.2、收敛；练