巧设未知数妙解三角形

1、巧设未知数妙解三角形三角形是平面内最简单的直线型封闭图形，是进一步探究学习其他图形的基础，对三角形有关的求解是初中数学教学中的重要内容.对于比较复杂的图形结构，其包含内角和，外角，等腰，直角，全等，平行，旋转，对称等角与角之间的关系，如何找出已知条件和所求 角之间的关系是解题的关键 .如果能巧设未知数，将已知条件转化成未知数的代数形式，并 在图中表示出来，再结合代数方程思想来解决问题，就能起到事半功倍的效果.本文举例说明，在求解三角形有关角的问题时，如何巧设未知数，建立等量关系，再列方程求解的思路和方法.一、巧设一个未知数，化繁为简当题目中给出的角之间的等量关系比较密切时，可设其中一个角为x,

2、其它它角就可以用x的倍数来表示，并在图中标出来，最后结合三角形性质和题中所给条件列一元一次方程 求解.1 - 1例1如图1,已知 A DBC - C - ABC,求 ADB的度数.图1图2分析 题中给出了 4个角的等量关系，因此，为便于计算，可设其中最小的角为X,则其他角都可以用X的倍数表示，如图2,最后以三角形内角和等于 1800的性质为桥梁，建立等量关系，列出一元一次方程，求出 x ,从而求出 ADB的度数.解设 A x.由题意，可知 则所求角 ADB DBC 法一：在 ABC 中， A ABC 即 x 2x 2x 180 , 解得x 36 .法二：在 ABD 中，A ABD 即 x 2x

3、 2x 180 , 解得x 36 .所以 ADB 3x 108 .DBC x, C 2x, ABC 2x, C 3x.C 180 ,ADB 180 ,例2如图3,将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上.若 BOC - AOD ,3求 AOD的度数.分析题中只给出了一个等量关系，并且所求角就在给出的关系式中，因此为便于计算， 可直接设 AOD 3x,则 BOC 2x.接下来，根据三角板的两个直角可以分别将AOB和 COD的度数表示出来，如图 4.最后根据角的性质列一元一次方程求解解设 AOD 3x,由题意，可知BOC 2x.则 AOB AOCCOD BODBOC 90 2xBOC 90 2x因

4、为 AODAOB BOC COD ,6即 3x 90 2x 2x 90 2x.解得x 36法二：因为 AOB AOC又 AOB AODBOC 90 2x,BOD 3x 90 ,所以 90 2x 3x 90解得x 36 ,所以 AOD 3x 108 .二、巧设两个未知数，化隐为显当题目所求的是两个角之间的等量关系，并非求某个角的具体度数时，可以设两个未知数，通过“设而不求”，以它们为中间变量，再根据三角形性质和已知条件，得出所求角之 间的等量关系.例3如图5, BD、CD分别是 ABC的一个内角的角平分线和一个外角的角平分线， 试探究 A与 D之间的等量关系.分析 由角平分线的知识，可知 ABD

5、 CBD , ACD ECD ,分别用未知数x、y来表示，如图6.;再利用三角形一个外角等于与它不相邻两个内角之和的性质，构建A和 D之间的联系.解因为BD是 ABC的角平线，所以 ABD CBD ,可设 ABD CBD x.同理，可设 ACDECDy.ACE ABCA,2 2y2xA,同理可得2(y由，易得例4 如图7,已知 AB/CD ,1八 1 八EAF EAB , ECF ECD .记44ACFm AEC ,求m的值.R3yI)图7图8A题目中给出了两组角的等重大系，因此可引入两个未知数X、y .可设EAFx, ECF y.过E点作AB的平行线li,将 AEC分成 1和 2.同理可作平

6、行线12,将 AFC分成3和4,如图8.再根据两直线平行，内错角相等的性质，构建AEC和 AFC之间的联系.解过E点作AB的平行线li,将 AEC分成1和 2 ;过点F作AB的平行线12,将 AFC分成 3和 4.设 EAFECF y.由题意,可知 EAB 4x,FAB 3x,ECD 4y,FCD 3y,. 11/AB, AB/CD11 /CD ,AEC同理可得,EAB 4x,ECD4y.4(xy).AFC4 3(xy).3由，易得 AFC AEC,43m -.4三、现学现用，化难为易借助前面的介绍来解下面这道题 例 5 如图 9,在 ABC 中，AB AC, AD AE , BAD 60，求

7、 EDC 的度分析1题目中给出了两组边的等量关系，即给出了两组角的等量关系，可分别用次方程求y来表示，如图10.通过三角形一个外角等于不相邻两个内角和的性质列出 解.兀图10解法1 由题意，可知AED.可设C x,ADE则 ADCADEx.ADCADEEDC60x,即 y x 30 .分析解，如图EDC 30 .2因为题中已知11.BAD60 ,也可以充分利用这一条件，只设一个未知数x求解法可设2 由题意，可知C,ADE AED.在ABC中,C x.BBAC180即 x x 60 DAE 180 ，可得 DAE 120 2x.在等腰 ADE 中，已知顶角DAE ，易得两底角ADE AED x 30 .因为 AED EDC C ，即 x 30 EDC x.所以 EDC 30 .三角形中有关角的求解问题是初中平面几何中的重点，