函数模型的应用举例教案12第1课时必修1

1、研卷知古今；藏书教子孙。3.2.2函数模型的应用举例整体设计教学分析函数基本模型的应用是本章的重点内容之一.教科书用4个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习.在4个例题中，分别介绍了分段函数、数函数、二次函数的应用.教科书中还渗透了函数拟合的基本思想.通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力.三维目标1 .培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.2 .会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题 .3 .通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理

2、论与实践的辩 证关系.重点难点根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题.课时安排2课时教学过程第1课时 函数模型的应用实例导入新课思路1.（情景导入）在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了 脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天 敌，兔子数量不断增加，不到 100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于 75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大 降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采

3、用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.与之相应的图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态（如没有天敌、食物充足等）下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型.上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应 用.思路2.（直接导入）上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们进一步讨论不同函数模型的应 用.推进新课新知探究提出问题我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一

4、个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于 15小时，也不超过 40小时.设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15WxW40庵乙家租一张球台开展活动x小时的收费为 g(x)元(15 < x< 4帆求f(x)和g(x).A、B两城相距100 km,在两地之间距 A城x km处D地建一核电站给 A、B两城供电, 为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数入=0.2昭A城供电量为20亿度/月，B城为

5、10亿度/月.把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域.分析以上实例属于那种函数模型.讨论结果： f(x)=5x(15 <x<40).90,15 E x 工 30,g(x)=，?x+90,30cxM40y=5x2+ 5(100 x)2(10 < x< 90) 2分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型应用示例思路1例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示(1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时间t h的函

6、数解析式，并作出相应的图象.is/(km * h ')0 1 2 3 4 5i/hTJ TJ -n nJ TJ -fc- 1J 9(Rn7(65(4fl3(2nH图 3-2-2-1活动：学生先思考或讨论，再回答 .教师根据实际，可以提示引导：图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数s km与时间t h的函数为分段函数.解：(1)阴影部分的面积为 50X1+80X1+90X1+75X1+65X 1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.50t + 2004,0 <t <1,80(t -1) + 205

7、4,1 <t<2,(2)根据图，有 s=90(t 2)+2134.2Et <3,75(t -3)+2224,3 Wt <4,65(t - 4) 2299,4 < t 三 5.这个函数的图象如图 3-2-2-2所示.2】叫2(xM)tr图 3-2-2-2变式训练2007深圳高三模拟，理19电信局为了满足客户不同需要，设有 A、B两种优惠方案，这两 种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN /CD).(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x);(2)假如你是一位电信局推销人员，

8、你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.门电话话费,40100500通话时间1分钟图 3-2-2-3解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：20,0 三 x 三 100,f(x)=3x -10,x 100, 1050,0 三 x < 500,g(x)=3x -100,x 500.10(2)当 f(x)=g(x)时，x-10=50, 10x=200.，当客户通话时间为 200分钟时，两种方案均可； 当客户通话时间为 0WxV 200分钟，g(x)>f(x)，故选择方案A; 当客户通话时间为 x>200分钟时，g(x)<f(x)，故选方案B.点评：在解决

9、实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y0ert,其中t表示经过的时间，yO表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.卜表是19501959年我国的人口数据资料:年份1950195119521953195419551956195719581959人数/万 人551965630

10、05748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：设19511959年的人口增长率分别为rm,%,r.由 55196(1+r 1)=56300 ,可得1951年的人口增长率为 1 0.020 0.同理，可得2=0.02103= 0.02294用.0250,5=0.01976= 0.0223 "= 0.027

11、68= 0.02229=0.0184.于是，19501959年期间，我国人口的年平均增长率为r=（r+r2+9） + 9= 0.0221.令y0=55 196,则我国在19511959年期间的人口增长模型为y=55 196e0.0221t,te N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数 y=55 196e0.0221t（te N）的图象（图3-2-2-4）.一系列I图 3-2-2-4由图可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合.（2）将 y=130000 代入 y=55 196e°.0221t, 由计算器可得t =38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1

12、950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难 以承受的人口压力.变式训练一种放射性元素，最初的质量为500 g,按每年10%衰减.（1）求t年后，这种放射性元素质量3的表达式；（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）.（精确至U 0.1.已知 lg2=0.301 0,lg3=0.477 1）解：（1）最初的质量为500 g.经过 1 年后，=500（卜 10%）=500X 0.91；经过 2 年后,a =500X 0.9（110%）=500X 0.92；由

13、此推知,t年后,3 =500X 0t9（2）解方程 500X0.9t=250，贝U 0.9t=0.5,lg 0.5-lg2 -所以t=上=-=6.胡）,lg 0.9 21g 3-1即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练某电器公司生产 A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为 5 000元，并以纯利润20%确 定出厂价.从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理 ，使生产成本逐年降低.到1997年，尽 管A型电脑出厂价仅是 1993年出厂价的80%,但却实现了 50%纯利润的高效益.求1997年每台A型电脑的生产成本；（2）以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生

14、产成本平均每年降低的百分数.（精确到0.01,以下数据可供参考：J5 =2.236, J6 =2.449）活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.解：设1997年每台电脑的生产成本为x元，依题意，得x（1+50%）=5000/+20%）漏0%,解得 x=3200（元）.（2）设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y）4=3200,y,则依题意，得5000（1 解得y1=1生.族=1+包5（舍去）.55所以 y=1 2-5- = 0.11=11%,5即1997年每台电脑的生产成本为3 200元,1993年至1997年生产

15、成本平均每年降低11%.点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关系 拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产家电名称空调彩电冰箱每台所需工时11234每台产值（千兀）432?（以千元为空调、彩电、冰箱共 360台，且冰箱至少生产 60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和 每台产值如下表：问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少 单位）解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为则 f=4x+3y+2z ,f千兀,x + y+ z = 360,111其中 ( x+_y 十一z = 120,234x>0, y >0,z>60, 由可得y=360-3x,z=2x,(3)X -0,代入得<360 3x之0,则有2x -60,30WXW120.故 f=4x+3（360-3x）+2 2x=1080-x,当 x=30 时，fmax=1 080-30=1050.此时 y=360-3x=270,z=2x=60.答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高, 千元.点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体 上面的实例细心体会.最高产值为1 050,请同学们借助课堂小结本节重点学习了函数