利用数学实验提高竞赛数学的趣味性

1、利用数学实验提高竞赛数学的趣味性1 .问题的提出竞赛数学，俗称奥数，是我国数学教育的传统强项，无论是普及程度还是竞赛水平都位居世界前列，我国选在历届参赛的国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中，都有优异的表现。但是，近年来受功利主义的驱动， “奥数”出现了泛化的趋势，连小学数学竞赛都被冠以“奥数”的头衔，出现了“全民奥数”的不正常现象， 引起许多人对奥数的批判和反思。批评者认为：奥数并不教给学生科学研究的方法，而只是一味追求偏、难、怪的解题技巧，舍弃了数学最核心，也是最有用的数学思想方法；还有人对我国获得IMO 奖牌的选手进行了追踪调查，发现 “这些公认的数学尖子基本上没有在数学研究上做出突出成就的

2、， 甚至鲜有喜欢数学的”，由此认为奥数一无是处，更有甚者宣称“奥数已成公害，对学生危害堪比黄、赌、毒”。与我国相比，国外的奥数则显得非常冷清。比如日本，虽然奥数教育也很成功， 但日本只有6%作用的中小学生有过奥数学习的经历，或者正在学习奥数。美国也类似，中小学生对数学感兴趣的不多，但对数学感兴趣的人，则会非常投入。这些学生由于兴趣支撑，发展后劲很大。对于这一点，我国奥数教育家熊斌老师在谈对国内外IMO 选手的对比时也感慨的说： “相对国内的 IMO 选手而言，国外选手尽管也有相当强的竞争意识，但在日常积累的过程中操练的成分更少一些。而且，相对而言，他们将数学抽象思维与生活场景结合的能力更强。”

3、其实奥数的教育价值早已经被世界各国教育界肯定，所谓 IMO 奖牌获得者后来的成就普遍不大，在世界范围内根本就不成立。之所以出现前面所述的种种弊端， 主要是因为我们大多用一种急功近利的心态去对待奥数，教师都大多采用“超前学习知识， 枯燥题海训练”的应试教育模式进行教学，使学生对奥数甚至数学产生了恐惧和厌烦，即使少数同学能坚持学下去，也多数是为了获得升学加分或保送的奖励。这也正是国内的IMO 获奖选手一旦升入大学就很少选择数学专业的主要原因。丘成桐先生一针见血的指出： “国外奥数考得好的学生，往往能够成才，而我们的学生不一定能成才，因为国内是机械性的学数学，不是出于兴趣。 ”基于以上分析，我们非常

4、有必要探讨如何提高奥数学习的趣味性，使其真正成为“较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的业余教育、现代数学的普及教育”。 同时，为了与已被泛化的“奥数”一词相区别，下文将在相应的地方使用 “竞赛数学”， 同时将其限定在中学，尤其是高中范围内进行讨论。2 竞赛数学的基本特点数学竞赛的是以解题为核心的比赛，因此竞赛数学的教学主要是围绕着解题而展开的。就内容而言，它在广度和深度上都对中学数学进行了大幅度加深，涉及代数、几何、初等数论、和组合等领域，数学的抽象、严谨等特点在竞赛数学中表现的尤为突出。同时， 由于竞赛的需要，竞赛数学的问题往往具有深厚的高等数学背景，并呈现非模式化的特点，灵活

5、性很强。学习者除了要有扎实的数学基本功，还要有更强的抽象思维能力和数学直觉。由于竞赛数学内容表现出很强的抽象性，且大多远离实际生活背景(与大学基础数学专业的研究有很多相似之处)， 同时， 竞赛数学教学主要占用课余时间，教学时间紧、任务重， 因此多数教师都是采用讲授法进行教学，几乎没有人使用数学实验、数学史等教学方法。笔者认为，竞赛数学虽然有其特殊性，但仍然应当遵循数学教育的一般规律。如前所述，竞赛数学同高等数学具有许多的相似之处，高等院校数学教学改革(如开展数学建模、数学实验等活动)表明，我们应该，也完全可以改变以往那种一味“题海战术”的教学方式。3提高竞赛数学趣味性的基本途径3.1 数学史融

6、入竞赛数学教学数学竞赛，尤其是IMO 的试题大多具有深厚的数学史背景，甚至直接来自某些著名的定理或历史名题。例如第一届数学奥林匹克国家集训队就提供了这样一道训练题：试题1设f(x)为实多项式，且对任何a R, f(a) 0 (即f(x)是正定的)求证：存在多项式 g(x),h(x),使 f(x) g2(x) h2(x)说明：本题其实有着深厚的历史背景。在1900 年，德国数学家希尔伯特(Hilbert)在巴黎国际数学家大会上提出了23个数学问题，即著名的Hilbert问题， 引导着整个20 世纪世界数学研究的潮流。此题就来源于其中的第17 个问题：关于xi,K xn的实系数正定有理函数是否一定

7、可表成有限个关于xi,K xn的实系数有理函数的平方和在教学中，将往届试题的这种背景展示给学生， 可以很好的激发学生的学习 热情，使他们以研究的角度看待竞赛数学学习，而不是单纯的为了应试而学。3.2 实际应用融入竞赛数学教学从表面上看，竞赛数学研究的对象大多远离实际应用，以至于许多把数学竞 赛看作是纯粹的智力挑战。其实，与实际应用没有任何关联的数学是不存在的。 即使以往被视为“最纯洁”的数论，今天也已经广泛运用在了密码等多个领域。 再者，人毕竟不能“不食人间烟火”，还是希望能学到“有用”的数学，因此如 果将竞赛数学与实际应用联系起来，能够极大的激发学生的学习兴趣。例如，1978 年北京市数学竞

8、赛就以著名的 Butchart-Moster定理的一个推论(定理1)为基础， 设计了一个与实际应用密切相关的竞赛题， 不过遗憾的是这类竞赛试题出现的还 较少。定理 1 设 a La。，1,L n Q，则函数 f(x) i|x a1 | L在唯一的极小值.试题2:图一是一个化工厂的地图，一条公路(粗线)通过这个地区，七个工厂 Ai,4,L A7分布在公路两侧，由一些小路(细线)与公路相连。现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到个工厂(沿公路、小路走)的距离总和越小越好，问：(1)这个车站设在什么地方最好？(2)证明你所做的结论；(3)如果在P的地方又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路

9、, 那么这时车站设在什么地方好？分析：A。i 7)与P到距离之和是定值，记为S d(AB) d(A2C) d(A3D) d(A4D) d(A5E) d(A6F) d(A7F)可将公路拉直，则 R G D E、F的位置关系不变，且它们的距离之和 不变，即这个拉直变换既保序又保距，可以将该直线视为数轴.设长途汽车站设在 x处，则问题变为求f (x)S | xa1| | xa2| 2 | x831| x a4| 2 | x851, 其中ai,a2,a3,a4,a5分别表示B、C、D E、F到原点的距离（第三问与之类似）这样就转化成了定理1 的形式，可以求得f （x） 的最小值点。2.3 数学实验融入

10、竞赛数学教学奥数学习与其它的学习一样，是一个由直观到抽象，由简单到复杂的过程。数学实验可以给学生提供丰富的数学学习体验，成为其学习抽象程度更高的数学知识的必要基础。相对常规数学，竞赛数学复杂且抽象，要进行数学实验一般要借助计算机才能完成。一般来说，我们可以将竞赛数学中的数学实验分为两大类：基于算法思想的验证归纳模式和基于图形变化的模拟演示模式，下面进行简单介绍。2.3.1 验证归纳模式在数学问题解决中，一般要首先从特殊情况入手进行归纳，然后提出猜想，并检验猜想，最后才是严格的推理与证明，这在竞赛数学中表现的尤为突出。这主要是因为，应试教育中借助“题海战术”使学生在解题时“一帆风顺”的策略在数学

11、竞赛中是不可能成功的，竞赛数学的问题解决者更像一个研究者，要完整的经历数学发现的各个阶段。由于竞赛数学的问题一般涉及“无限”或大数字（如数论） ，手工计算进行验证、 归纳往往难度较大，使用计算机可以将学生从繁琐的机械计算中解放出来，将精力集中在算法的设计和寻找证明的等更富创造性的活动上。本类型的数学的关键是设计相应的算法，并使用高级程序设计语言实现之。试题3： 确定是否存在满足下列条件的正整数n ， 使得 n 恰好能被2000 个互补相同的质数整除，且2n 1能够被n整除.（2000年第41届IMO）2.3.2 模拟演示模式平面几何是竞赛数学的一个基本模块，此外许多代数问题也需要借助数形结合思

12、想从 “形” 的角度进行研究。本类型的数学实验主要是借助几何画板、Matlab等专业软件，直观演示相关量的运动变化过程，揭示其规律，进而解决问题。试题4:给定凸四边形ABCD , BC=AD ,且BC不平行于AD.设点E和F分别在 边BC和AD内部，满足BE=DF。直线AC和BD相交于P,直线BD和EF相 交于Q,直线EF和AC相交于Ro求证：当E、F变动时，PQR的外接圆除经过P外还过另一个定点.分析：在几何画中根据题设构建相应模型，如图三所示，线段a为标记量，改变其长度，则E、F也会相应的在 BC和AD上移动。在此过程中，观察PQR的外接圆，可以发现它除一定过P外，还总过 PDC内一点，由此大胆猜想： 该定点为完全四边形 APBGDC的Moqueil点。在几 何画板中构造该点，并重复前述变化过程，可发现 猜想成立，证明略.3.结束语笔者坚信，作为基础数学教育的一个分支，竞赛数学必须要遵循数学教学 的一般规律。在目前数学改革的背景下，竞赛数学教学也应当与时俱进的进行教 学方法的改革，决不能再使用那种“超前学习，题海训练”的填鸭式教学方法。 同时，竞赛数学的教材也应当进行相应的改革， 尽量增加教材的趣味性，便于教 和学。当然，凡事过犹不及。首先，竞赛数学的一个目标是培养学生更强的（相 对非奥数学习者）抽象思维能力和空间想象能力，过度强调增加数学史、数学实