初三数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题附答案

1、初三数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题附答案一、圆的综合1 .已知？ABCD的周长为26, /ABC=120°, BD为一条对角线， 。内切于ABD, E, F, G 为切点，已知。的半径为 J3.求？ABCD的面积.【答案】20 3【解析】【分析】首先利用三边及。的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13,然后利用切线的性质求出 BD的长即可解答.【详解】设。分别切4ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F;平行四边形ABCD的面积为S;贝U S=2Sabd=2 J (AB OE+BDOF+ADOG)=V3 ( AB+AD+BD);2 平行四边形 ABCD的周长

2、为26,.AB+AD=13,，S= , 3(13+BD)；连接 OA；由题意得：/ OAE=30 , .AG=AE=3;同理可证 DF=DG BF=BE . DF+BF=DG+BE=13 3-3=7,即 BD=7, .S=73 (13+7) =20 技即平行四边形 ABCD的面积为20 J3.2.如图，在直角坐标系中，已知点 A(-8, 0), B(0, 6),点M在线段AB上。(1)如图1,如果点M是线段AB的中点，且OM的半径等于4,试判断直线 OB与。M的位置关系，并说明理由;(2)如图2, OM与x轴，y轴都相切，切点分别为 E, F,试求出点 M的坐标;(3)如图3, OM与x轴，y

3、轴，线段AB都相切，切点分别为 E, F, G,试求出点M的 坐标(直接写出答案)【答案】(1) OB 与。M 相切；(2) M (今，24)； ( 3) M ( 2, 2)【解析】分析：(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出 MD,根据直线和 圆的位置关系得出即可；(2)求出过点A、B的一次函数关系式是 y= x+6,设M (a, - a),把x=a, y=-a代4入y=3x+6得出关于a的方程，求出即可.4(3)连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,设 ME=MF=MG=r,根据S；aabC=1 AO?ME+1BO?MF + 1AB?MG=1 AO?BO求得 r=

4、2,据此可得答案.2222详解：(1)直线OB与。M相切.理由如下：设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,点M是线段AB的中点，所以 MD / AO, MD=4,，/AOB=/ MDB=90 ；，MD，OB,点 D 在。M 上.又.点D在直线 OB上，直线 OB与。M相切；(2)如图2,连接ME, MF,8kb 0.A (8, 0) , B (0, 6),，设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,，解b 6得：k= , b=6,即直线AB的函数关系式是 y= x+644OM与x轴、y轴都相切，点M到x轴、y轴的距离都相等，即 ME=MF,设M(a, a) ( 8vav0),把 x=a, y=

5、a 代入 y=- x+6,得：a=- a+6,得：a=-4424 24、7724，点M的坐标为(-7(3)如图3,连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,OM 与 x 轴，y 轴，线段 AB 都相切，ME，A。MF±BO> MG LAB,设ME=MF=MG=r,贝U S；aabc=-AO?ME+- BO?MF+-AB?MG=-AO?BO. 2222. A (-8, 0) , B (0, 6) ,，AO=8、BO=6, AB= 7AQBO2 =10，-r?8+-r?6+工r?10=°X6内8解彳导:r=2,即 ME=MF=2, 点 M 的坐标为(2,2222点睛：本题考

6、查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的 解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有 三种位置关系：已知 。的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时，直线l和。O 相切.3.如图，OM与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点 M的坐标为（3, - 1）,点A的坐 标为（-2, J3）,点B的坐标为（-3, 0）,点C在x轴上，且点D在点A的左侧.（1）求菱形ABCD的周长；（2）若。M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形 ABCD沿x轴向右以每 秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为 t （秒），当。M与BC相

7、切，且切点为 BC的中点时，连接 BD,求：t的值；ZMBD的度数；BD所在的直线的距离为 1时，求t的值.【答案】(1)8; ( 2)7 ;105° ; ( 3)t=6 -航或6+叵 3【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为（2）如图2,先根据坐标求 EF的长, 的值； 先求 / EBA=60 °,则 / FBA=120 °,再得 / MBD = Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ；（3）分两种情况讨论：作出距离MN和2,由所以可得周长为 8;EE - FE=EF=7,歹U式得：3t -2t=7,可得 tZMBF=45°,相加可

8、得:ME,第一种情况：如图 5由距离为1可知：BD为。M的切线，由BC是。M的切线，得/MBE=30°,列式为3t+J3=2t+6,解出即可;第二种情况：如图 6,同理可得t的值.详解：（1）如图1,过A作AE± BC于E.点 A 的坐标为(-2, J3),点 B 的坐标为(-3, 0) , .AE=J3, BE=3-2=1, AB= QE-BE2 = J( 73)2 12 =2.四边形 ABCD是菱形，.-.AB=BC=CD=AD=2,菱形 ABCD的周长=2 X 4=8(2) 如图2, OM与x轴的切点为F, BC的中点为E. , M (3, T) , F (3, 0)

9、. . BC=2,且 E 为 BC的中点，E ( -4, 0), . EF=7,即 EE FE=EF, .-.3t-2t=7, t=7;由(1)可知：BE=1 , AE=V3,AE 3-tanZ EBA=73 ,，/ EBA=60 ,如图 4, . / FBA=120 .BE 11 ,1 ,.四边形 ABCD是菱形， . / FBD=/ FBA= 120 =60 .2 2BC是 O M 的切线，MF ± BC.F是BC的中点，.-.BF=MF=1,4BFM是等腰直角三角形，/ MBF=45 ；/ MBD=Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ；°(3)连接BM,

10、过M作MN± BD,垂足为N,作MEXBCT E,分两种情况： 第一种情况：如图5./CBD=60 ：Z NBE=60 °.MN=1,，BD 为。M 的切线./DBC=60； ./NBE=120。.MN=1,，BD 为。M 的切线.四边形ABCD是菱形，ZABC=120 °,点M与BD所在的直线白距离为 1,BC是 O M 的切线，/ MBE=30 °.ME=1,EB=73 ,3t+T3 =2t+6,第二种情况：如图 6.四边形ABCD是菱形，ZABC=120 °,点M与BD所在的直线白距离为 1, BC是 O M 的切线，/ MBE=60 &

11、#176;. ME=MN=1, .RtBEM 中,MEtan60 =,BEEB=-1 =3 ,tan 603.-3t=2t+6+,3t=6+;3M与BD所在的直线的距离为1 时，t=6 - V3 或 6+3综上所述：当点0点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的 三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动 方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值.4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab .1用直尺和圆规作出 Ab所在圆的圆心o；（要求保留作图痕迹，不写作法 ）2若AB的中点C到弦AB的距

12、离为20m, AB 80m ,求AB所在圆的半径.【答案】（1）见解析；（2） 50m【解析】分析：1连结AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由 C为AB的中点得1 一到 OC AB , AD BD 2AB 40 ,则 CD 20,设 e O 的半径为 r,在 RtVOAD 中利用勾股定理得到r2 （r 20）2 402,然后解方程即可.详解：1如图1,点O为所求；2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,QC为AB的中点，OC AB ,1AD BD -AB 40,2设e O的半径

13、为r,则OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2, 2_ _ 2_ 2r (r 20)40 ,解得 r 50,即Ab所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.5.如图所示，以 RtABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点 D, E为BC边上的中 点，连接DE.(1)求证：DE是。的切线；(2) -连接OE, AE,当/CAB为何值时，四边形 AOED是平行四边形？并在此条件下求 sin/CAE 的值.【答案】 见解析；

14、（2） _10.10【解析】分析：（1）要证 DE是。的切线，必须证 ED± OD,即/EDB+/ ODB=90（2）要证AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点，又BD± AC,所以 ABC为等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概念求解即可.详解：（1）证明：连接O、D与B、D两点，.BDC是RtA ,且E为BC中点，/ EDB=Z EBD. （ 2 分）又 OD=OB且/ EBD+Z DBO=90 , / EDB+Z ODB=90 : .DE是。O的切线.（2）解： / EDO=Z B=90°,若要四边形AOED是平行四边形，则 D

15、E/ AB, D为AC中点，又 ; BD± AC, .ABC为等腰直角三角形./ CAB=45 :过E作EHI±AC于H,设 BC=2k,则 EH=（k, AE=/5k,EH 10 sin / CAE .AE 10点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心 和这点（即为半径），再证垂直即可.6.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截 面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【答案】10cm【解析】分析：先过圆心 O作半径COL A

16、B,交AB于点D设半彳仝为r,得出AD、OD的长，在 RtA AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.详解：解：过点 。作OC，AB于D,交。于C,连接OB,.OCX AB .BD=-AB=- X 16=8cm22由题意可知，CD=4cm二设半径为 xcm,则 OD= (x-4) cm在 RtA BOD 中,由勾股定理得：OD2+BD2=OB2(x4) 2+82=x2解得：x=10.答：这个圆形截面的半径为 10cm.C点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行 求解.7 .问题发现.(1)如图,RtABC中，ZC=90°, AC= 3, B

17、C= 4,点D是AB边上任意一点，则 CD的 最小值为.(2)如图，矩形 ABCD中，AB=3, BC= 4,点 M、点N分别在BD、BC上，求 CM+MN的 最小值.(3)如图，矩形ABCD中，AB=3, BC= 4,点E是AB边上一点，且 AE= 2,点F是BC边 上的任意一点，把 4BEF沿EF翻折，点B的对应点为 G,连接AG、CG,四边形AGCD的 面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度.若不存在，请说明理由.B盟312【答案】(1) CD 一;(2) CM 5MN的最小值为.(3) 一252【解析】试题分析：(1)根据两种不同方法求面积公式求解；(2)作C关于BD

18、的对称点C ,过C作BC的垂线，垂足为 N ,求C N的长即可；(3)连接AC ,则Szgagcd Svadc Svacg, GB EB AB AE 3 2 1,则点 G 的轨迹为以 E 为圆心，1为半径的一段弧.过 E作AC的垂线，与O E交于点G ,垂足为M ,由VAEM sVACB求得GM的值，再由S四边形AGCDSVACDSVACG求解即可.试题解析：(1)从C到AB距离最小即为过 C作AB的垂线，垂足为 D ,cCD AB AC BCSVABC ，4 12,55DN NAC BC 3CD AB(2)作C关于BD的对称点C，过C作BC的垂线，垂足为 N ,且与BD交于M ,则CM MN

19、的最小值为C N的长，设CC与BD交于H ,则CH BD ,12 VBMCsVBCD，且 CH , 5一24CCB BDC , CC5VC NCsVBCD ,CNCC BCBD2P96 ,25一一. 96即CM MN的最小值为25(3)连接 AC ,则 %AGCDSVADCSVACG ,GB EB AB AE 3 2 1 , 点G的轨迹为以E为圆心，1为半径的一段弧.过E作AC的垂线，与。E交于点G ,垂足为M , VAEM sVACB ,EM AE 一，BC ACAE BC 248 EM 一,AC55-83GMEM EG-1一，55S四边形 AGCD SVACD SVACG ,1 133 4

20、-5一,2 2515一.2【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知 识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题.8.已知：BD为。的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点 B作。的切线交DA的延 长线于点F,点C为。上一点，且 AB= AC,连接BC交AD于点E,连接AC.(1)如图 1,求证：/ABF=/ABC；(2)如图2,点H为。内部一点，连接 OH, CH若/ OHC=/HCA= 90°时，求证：CH=1DA;2在(2)的条件下，若 OH=6,。的半径为10,求CE的长.21见解析；（2）见解析；（3）5【解析】

21、【分析】1由BD为e O的直径，得到 DABD 90o，根据切线的性质得到C ABC ,等量代换即可得到ACOCOH ,根据等腰三角形ACBOCB ,根据相似三角形FBA ABD 90°,根据等腰三角形的性质得到 结论；2如图2,连接OC,根据平行线的判定和性质得到 的性质得到OBC OCB , ABC CBO的性质即可得到结论；3根据相似三角形的性质得到胆胆2,根据勾股定理得到OH OCAD JBD2 AB2 16，根据全等三角形的性质得到 BF BE，AF AE，根据射影122 -定理得到AF 9 ,根据相交弦定理即可得到结论.161 Q BD为e O的直径，BAD 900，D

22、ABD 90°，Q FB是e O的切线，FBD 900,FBA ABD 90°，FBA D ,Q AB AC ,C ABC ,Q C D ,ABF ABC；2如图2,连接OC,丈Q OHC HCA 900,AC/OH ,ACO COH ,QOB OC ,OBC OCB,ABC CBO ACB OCB, 即 ABD ACO,ABC COH , Q H BAD 900,VABD sVHOC ,AD BD 八 2,CH OC-1CH - DA ；23 由 2 知，VABCs VHOC ,AB BD c 2, OH OCQOH 6, e O的半径为10,AB 2OH 12, BD

23、20,AD .BD2 AB2 16, 在VABF与VABE中，ABF ABEAB AB , BAF BAE 90oVABF VABE ,BF BE, AF AE,Q FBD BAD 900, AB2 AF AD )AFAEDE12216AF9 ,9,7, be Jab2 ae215,Q AD ， BC交于 E,AE DE BE CE ,“ AE DE 9 7 21CE BE 155本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键.9.如图，AB是。的直径，弦BC= OB,点D是ACi一动

24、点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC, OE于点F, G.(1)求/ DGE的度数；/C、什CF 1+BF钻/古(2)右=，求的值；OF 2 GFCFS1(3)记CFB, 4DGO的面积分别为S2,若 一=k，求二 的值.(用含k的式子表OFS2示)_7 S k2 k 1【答案】(1)/DGE= 60 ; (2)一; (3)=-_k-1 . 2S2k 1【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得 /DGE的度数；(2)过点F作FHI±AB于点H设CF= 1,则OF=2, OC= OB= 3,根据勾股定理求出 BF的 BF.长度，再证得 F

25、G8 4FCB进而求得 的值；GF(3)根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表不出的值.S2解：(1)BC= OB=OC,/ COB= 60 ；，1 / CDB= ZCOB= 30 ,2. OC= OD,点E为CD中点, OEXCD),/ GED= 90 ；/ DGE= 60 ；(2)过点F作FHAB于点H 设 CF= 1 ,贝U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 ° OH= 1OF=1,2 .HF=OH=百，HB= OB- OH=2, 在 RtA BHF 中，BF JhB2HF2 百， 由 OC= OB, /COB= 60&#

26、176;得：/OCB= 60°, 又 ZOGB= / DGE= 60°,/ OGB= / OCB, / OFG= / CFB, .,.FGOAFCB,.OF GFBF CF '2GF=yy，BF 7, -一GF 2过点F作FHAB于点H,设 OF= 1,则 CF= k, OB= OC= k+1, / COB= 60 ;-11 OH = OF=一,22 .HF= ，30H3 , HB=OB-OH=k+1 ,在 RtBHF 中，BF= VHb"_HF7 Jk2 k 1， 由(2)得：AFGOAFCB.GO OF_GO 1一，即 2/ 2)CB BF k 1 k

27、 k 1.GO过点C作CP，BD于点P / CDB= 30 °一1 PC= CD, 2 点E是CD中点，一 1 一 "DE= - CD2PC= DE, .DEXOE,_SL _ BFk2 k 1【点睛】S2 - GO圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和 勾股定理、数形结合的思想解答.10.如图，4ABC内接于OO, /BAC的平分线交。于点D,交BC于点E ( BE> EQ , 且BD=28.过点D作DF/ BC,交AB的延长线于点F.(1)求证：DF为。的切线；(2)若/BAC= 60。，DE=",求图中阴影部分的

28、面积.【答案】(1)详见解析；(2) 96-2兀.【解析】【分析】(1)连结OD,根据垂径定理得到 OD，BC,根据平行线的性质得到 ODLDF,根据切线的 判定定理证明；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BHLDF于H,证明OBD为等边三角形，得到 /ODB=60 ； OB=BD=2J3,根据勾股定理求出 PE,证明AABEAAFD,根据相似三角形 的性质求出AE,根据阴影部分的面积 =4BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明：(1)连结OD, AD 平分 / BAC交。于 D,Z BAD=Z CAD,bd = Cd ,ODXBC,1. BC/ DF, ODXDF, .DF为。O

29、的切线；(2)连结 OB,连结 OD交BC于P,作BHXDFT H, / BAC=60 ,° AD 平分 / BAC/ BAD=30 ；/ BOD=2/ BAD=60 ,° .OBD为等边三角形，/ ODB=60 ； OB=BD=2a/3 ,/ BDF=30 ；1. BC/ DF,/ DBP=30 ；1在 RtDBP中，PD=- BD=73 , PB=V3PD=3,在 RtDEP 中，PD=y3 , DE=77, .PE=(/7)2 ( ；3)2 =2, .OPXBC,BP=CP=3.CE=3- 2=1 , / DBE=Z CAE, / BED=Z AEC, .BD&

30、;MCE.AE: BE=CE DE,即 AE: 5=1 :4，.-.AE=5Z7. BE/ DF,5DF5.7 不12 5，7.ABEAAFD),BE AE，即DF AD解得DF=12,在 RtBDH 中，BH=1BD=V3,，阴影部分的面积二 BDF的面积-弓形 BD的面积=4BDF的面积-(扇形 BOD的面积- BOD的面积) =1 12&60(2扃 昱(2场2 =9百-2兀23604【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键.11.如图1,是用量角器一个角的操作示意图，量

31、角器的读数从M点开始(即M点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块 30° (/CAB= 30°)角的三角板拼在一起，三角板的 斜边AB与量角器所在圆的直径 MN重合，现有射线 C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每 秒2°的速度旋转到与 CB,在旋转过程中，射线 CP与量角器的半圆弧交于 E.连接BE.(1)当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是 ,此时4BCE的形状是； (2)设旋转x秒后，点E处的读数为V,求y与x的函数关系式；(3)当CP旋转多少秒时，4BCE是等腰三角形？【答案】(1) 60°,直角三角形；(2) y=4x (0<x&l

32、t;45 ； ( 3) 7.5秒或30秒【解析】【分析】(1)根据圆周角定理即可解决问题；ZAOE= 2 / ACE(2)如图2-2中，由题意ZACE2x, Z AOE y,根据圆周角定理可知 可得 y= 2x (0»w 45 ;(3)分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：(1)如图2- 1中，. /ACB= 90 °, OA= OB, ,-.OA=OB= OC,/ OCA= / OAC= 30 °,/ AOE= 60 ；，点E处的读数是60 : / E= / BAC= 30 °, OE= OB, / OBE= ZE= 30 ；/ EBC= / OBE

33、+ZABC= 90 °,.EBC是直角三角形；故答案为60。，直角三角形；(2)如图2 2中， . /ACE= 2x, /AOE= y, / AOE= 2/ACE, . y= 4x (0虫w 45 .(3)如图2-3中，当EB= EC时，EO垂直平分线段 BC,- . AC± BC,. EO/ AC,/ AOE= ZBAC= 30 ;1 。- ./ ECA= /AOE= 15 :2.x=7.5.若2 4中，当BE= BC时,易知 / BEC= / BAC= / BCE= 30°,/ OBE= / OBC= 60 ；- .OE= OB,- .OBE是等边三角形，/

34、BOE= 60 °,/ AOB= 120 ；-1 / ACE= - ZACB= 60 ,.x=30,综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，4BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.12.如图，四边形 ABCD内接于。O, /BAD=90°, AD、BC的延长线交于点 F,点E在CF 上，且/ DEG=Z BAC.(1)求证：DE是。的切线；【解析】 【分析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出 BD± DE,即可得出结论；(2)

35、根据余角的性质和等腰三角形的性质得到ZF=Z EDF,根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根据勾股定理得到 CD JDE Z BAF=Z BDE=90°,Z F+Z ABC=Z FDEZ ADB=90°.AB=AC,，/ABC=/ACB / ADB=Z ACB,/ F=Z FDE, ，DE=EF=3.,. CE=2, /BCD=90； Z DCE=90 ； . . CD JdE2CE2 R / BDE=90 ； CD± BE,/ DCE=Z BDE=90 CE2 后证明CD上DBE,根据相似三 角形的性质即可得到结论.【详解】(1)如图，连接BD. ./BAD

36、=90；，点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，. / BCD=90 ；/ DEG/CDE=90 ： / DEC=Z BAC, / BAG / CDE=90 : / BAO/ BDC,/ BDG / CDE=90.乙 BDE=90 :即：BD± DE.点D在。O上，DE是。的切线； CD BD5 3 3 5，一 / DEG/BED, .CD&DBE . ,/. BD N. .OO 的半CE DE22径3_54本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理， 求出DE=EF是解答本题的关键.13.如图，在RtABC中,/ ACB=60°

37、;,。是4ABC的外接圆，BC是。O的直径，过点B作。O 的切线BD,与CA的延长线交于点 D,与半径AO的延长线交于点 E过点A作。O的切线AF, 与直径BC的延长线交于点 F.连接EF,求证:EF是。O的切线；(2)在圆上是否存在一点 P,使点P与点A,B,F构成一个菱形 有存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析【解析】【分析】(1)过。作OMLEF于M,根据SAS证明OAFOBE,从而得到 OE=OF再证明EO平分 /BEF,从而得到结论；(2)存在，先证明 OAC为等边三角形，从而得出 /OAC=/AOC=60°再得到AB=AF,再证 明AB=AF=F

38、P=BP从而得至IJ结论.【详解】证明:如图，过。作OMLEF于M,. OA=OB,Z OAF=Z OBE=90，/ BOE=Z AOF, .,.OAFAOB.OE=OF,EOF=Z AOB=120 ;:/ OEM=/ OFM=30 :/ OEB=Z OEM=30 :即 EO平分 / BEF又/ OBE=Z OME=90°,：OM=OB,：EF为。O的切线.(2)存在.BC为。O的直径，:/ BAC=90 ;/ ACB=60 :/ ABC=30 :又 / ACB=60°,OA=OC: OAC为等边三角形，即/ OAC=Z AOC=60 ;.AF为。O的切线，:/ OAF=9

39、0 :/ CAF=Z AFC=30 ；：/ ABC=Z AFC：AB=AF.当点P在(1)中的点M位置时，此时/OPF=90°,:/ OAF=Z OPF=90 ,又OA=OPQF为公共边,.-.OAFAOPF,：AF=PF/ BFE=Z AFC=30 :1又歹/ FOP=Z OBP=Z OPB=30°,：BP=FP：AB=AF=FP=BP:四边形AFPB是菱形.【点睛】考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线, 直即可.已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径)，再证垂14.如图，已知ABC,为圆心，AD为半径

40、画圆,AB=y2，bc 3,与边 AC交于点E,/B=45,点D在边BC上，联结 AD,以点A点F在圆A上，且AF± AD.(1)设BD为x,点D、F之间的距离为V,求y关于x的函数解析式，并写出定义域;(2)如果E是DF的中点，求BD:CD的值；联结CF,如果四边形 ADCF是梯形，求BD的长.8/、_二_ "(3)45BD的长是1或1+-5 .2(1)过点 A作AHBC,垂足为点 H.【答案】(1) y= J4- 4x+ 2x2 (0 wxW3);【解析】 【分析】(1)过点A作AHLBC,垂足为点H.构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度.联结 DF

41、,点D、F之间的距离y即为DF的长度，在RtADF中，利用锐角 三角形函数的定义求得 DF的长度，易得函数关系式.(2)由勾股定理求得： AC=JA甲市三.设DF与AE相交于点Q,通过解RDCQ和DQ 1RtA AHC推知-.故设DQ=k, CQ=2k, AQ=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DCCQ 2的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案.(3)如果四边形 ADCF是梯形，则需要分类讨论：当AF/ DC 当AD/ FC.根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答.【详解】/ B=45 ； AB=V2, . BH AH AB cosB 1. BD 为 x, ，DH在RtAADH 中，AHD 90，ad Jah2dh2 J2 2x x2 - 联结DF,点D> F之间的距离y即为DF的长度.点 F在圆 A上，且 AF±AD,AD AF , ADF在 Rt ADF