归类解析排列组合分组分配问题

1、归类解析分组、分配问题四川省仪陇中学新政校区 魏登昆高中数学排列组合中元素的分组、分配问题在高考中常出现，有一定的难度。学生在学习中对这类问题的处理主要错误表现在审题不清、归类不明，现笔者就这类问题归类解析： 、 不同元素分组问题1、非平均分组无归属问题，即将相异的P（P=）个物件分成任意件无记号的m堆且这m堆的个数互不等，其分法数为N=2、平均分组无归属问题, 即将相异的P(P= 个物件分成无记号的m堆，其分法数为N= 3、部分平均分组无归属问题，即将相异的P（P=）个物件分成任意件无记号的m堆，且这m个数中分别有a,b,c个相等，其分法数为N=例1:现有12件不同礼品平均分成三堆;分成件数

2、为2,4,6三堆;分成件数为2,2,2,3,3五堆，其方法数分别为多少?(答: ; ; 、 不同元素分配问题1、无限定分配有归属问题即将相异的P（P=）个物件分配给m个人,物件分完,分别得件求其分法数.它的处理方法是:第一步将这p件物件按类中相应类别分成m堆,第二步将这m堆对应m个人进行全排列.例2: :现有12件不同礼品平均分给三个人;分给三个人其中一人得2件, 一人得4件, 一人得6件;分给五个人其中三人各得2件,其中二人各得3件,其方法数分别为多少?(答: : ; 其中为例1的结果 例3:(09重庆 将4名大学生分配到3个乡镇当村官,每个乡镇至少一人,有不同的分配方法有多少种?分析:先把

3、4人按1,1,2分三组再对应三个岗位进行全排列即有: =36种方法.例4: 集合且B中每一个元素都有原像,这样的映射有多少个?分析:先把A中元素分成个数为1,1,3和1,2,2的三堆有=25种,再用这三堆和B中三个进行全排列,所以最后为25*=150个这样的映射.2 、限定分配有归属问题即将相异的P（P=）个物件分配给甲,乙，丙.等m个人,物件分完,其中甲得件,乙得件, 丙得 件求其分法数是多少?. 它的处理方法是：无论中的m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有N=例5: :现有12件不同礼品分给甲,乙,丙三个人每人4件;分给三个人其中甲得2件, 乙得4件, 丙得6件;分给五个人其中甲,乙

4、,丙三人各得2件,其余二人各得3件,其方法数分别为多少?(答: 、相同元素分组问题这类问题的模型即把n个相同的小球装入m个相同的盒子，不允许空盒（允许空盒），有多少装法,只须将n分解成m个正整数（自然数）的和且不考察顺序的分解个数一一枚举出来即可.如：6个相同的小球装入3个相同的盒子,每盒子不空,有多少装法?因为6只有1+1+4,1+2+3,2+2+2这三种求和分解式,所以只有三种装法. 、相同元素分配问题(隔板法即把n个相同的元素(如名额、指标分配给m个不同的单位.这种类型可建立如下模型，即把n个相同的小球装入m个不相同的盒子有多少装法?不允许出现空盒,现假设这n个小球排成一条线用隔板把它们

5、隔成m段,每一种隔法就对应一种装法,只须在中间n-1个空隙插入m-1个隔板即种隔法;允许出现空盒, 它的处理方法是(借马分马,即借m个这样的小球先每个盒子装一个,这样就转化成了m+n个相同的小球装入m个不相同的盒子(每盒不空有多少装法?所以应有种装法.例6:将12个学生干部的培训指标分配给9个不同的班级,每个班级至少分得1个名额,共有多少分配方法?(答:共有=165种分配方法例7:不定方程的正整数解有个不定方程的自然数解有个不定方程满足条件的正整数解有总之,这类问题一定要认真审题分清是相同元素还是不同元素, 是分组还是分配,然后就可以归入以上类别,迎刃而解了.巩固提高训练1、7个相同的小球任意

6、放入4个相同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？7个相同的小球任意放入4个不同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？ 7个不同的小球任意放入4个相同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？ 7个不同的小球任意放入4个不同的盒子里，每个盒子至少有1个球的不同放法有多少种？7个相同的小球任意放入4个不同的盒子里，允许出现空盒子的不同放法有多少种？7个不同的小球任意放入4个不同的盒子里，允许出现空盒子的不同放法有多少种？2、（09湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法数为：（ ）A、18 B、24 C、30 D、363、10个相同的小球放入4个不同的盒子，要求一个盒子有1个球，一个盒子有2个球，一个盒子有3个球，一个盒子有4个球，不同的放法数有（ ）A24 B10 C30 D126004、（06天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的盒子里