第八讲 图论中的匹配与逻辑推理问题

1、第八讲 图论中的匹配与逻辑推理问题先看一个例题.中、日、韩三个足球队进行比赛，已知A不是第一名，B不是韩国队，也不是第二名，第一名不是日本队，中国队第二.问A、B、C各代表哪国队？各是第几名？一般解这类题都归于逻辑推理类问题.我们先来降低难度.先只要求你判断出中、日、韩各是第几名（不必判断A、B、C）.可以把中、日、韩各用一个点代表，列于上一行.第一、二、三名各用一个点代表，列于下一行，记为：V1=中，日，韩，V2=第1名，第2名，第3名.V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，如和.否定关系的两点之间画一条虚线，如不是；不是.把已知条件不加任何推理地表现于图上.虚线2条，实线1

2、条，共3条线.现在，有两个明显的事实；第一，V1中每点有且只有一条实线与V2中相应点配对，V2中每点有且只有一条实线与V1中相应点配对.V1内部点之间不会有线相联结，V2内部点之间也不会有线相联结.第二，从V1（或V2）中某一个点，例如说a点如发出了一条实线向着V2（或V1）中某一个点，例如说x点，那么a点与V2（或V1）中其他点之间必然只能用虚线联结.（这是逻辑推理中的排它性）由此，我们很容易将中、日、韩的名次判出.这样的问题，抽象起来可归属于图论中称之为“二分图的匹配”问题.图论的名词术语太多，这里不作详细定义，只是描述性介绍一下，大家以前在“一笔画”等讲中已初步接触.所谓二分图，就是顶点

3、集合可以划分成两个部分，V=V1V2，如V1有p个点，记为V1=v1，v2，vp，V2有q个点，记为V2=vp+1，vp+2，vp+q，而V1中任意一点，不会与V1中其他点联结，而只能与V2中某些点联结；V2也如此.大家看几个例.“跨越”于V1中某个点和V2中另一个点.二分图的匹配问题，就是找一个边的集合，这些边之间都没有公共的端点.关于二分图的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一个边最多的匹配.就本讲开始引入的问题看，我们还没有解完，因为还有A、B、C三个代号到底如何归于中、日、韩三队的问题.一种解题办法，是把已判出的国籍和名次捆绑在一个顶点内，如（中2）、（韩1）、（日3），再和A、B、C

4、构造一个新的二分图：显然，推知B是（日3），因为B有2条虚线，而必然有1条实线，只能推出B与（日3）之间为实线.同理，（韩1）只能为C；剩下的唯一的情况留给了A为（中2）.全部问题解决了.再看最初的题目，如果你选择先判断中、日、韩和A、B、C三个代号之间的匹配关系，将会怎样呢？画一个图看，利用已知条件画出实、虚线.只能利用B不是韩国队及中国队第二，B不是第二（因此B不是中国队）这样一些条件，题目中另二句话：A不是第一名，第一名不是日本队，这种否定关系之间，没有传递性，你不能判定A是不是日本队.因此根据已知条件所画的图中只有两条虚线，之后最多只能确定日、B之间为实线.所以对这样的二分图，无法找出

5、合理的最大匹配.这方法使问题求解走进了死胡同.那么你选择先判A、B、C和第一、第二、第三名之间的匹配关系，又会怎样呢？画一个图看.现在也只有二条虚线，仍然无法找出最大匹配，或说解不唯一，对求解问题无助.现在回过头来看，先找国别与名次之间的匹配，似乎有些“碰运气”，因为完全可以把题目改动，使先找国别与名次的匹配无法解决，例如叙述改为：中、日、韩三足球队比赛，已知结果为：第1名不是A，第2名不是韩国队也不是B，A不是日本队，中国队为B，问A、B、C，和1、2、3名与各国队如何匹配？细心读者发现，这只是把原题中A、B、C的地位与1、2、3名的地位互换而已.所以现在改动后的题目，再先抓“国别”和“名次

6、”的匹配，就无法求解.但是数学要求找出一种解一般问题的方法而不是“碰运气”，而且完全可以找一个例子，使得无论取国别与名次；或国别与代号（A，B，C）；或代号与名次这三类二分图的匹配都无法求解，而必须找更广泛意义下的匹配才能解决，为此先介绍一般的三个因素一起考虑的“匹配”方法.先结合前例，将国别用三个不同点表示于上方，三个名次点表示于左下方，三个代号点表示于右下方.用实线的肯定关系和虚线的否定关系把已知条件“翻译”于图上.我们现在的目的是要寻找一个捆绑三条实线边的一条广义边，使每个国别与一个名次及一个代号捆绑在一起，使问题一次性解决，遵循的原则有以下4条：肯定关系具有排它性（如中=第2名，则中第

7、1名，中第3名，第2名日，第2名韩）.肯定关系具有传递性（如已知中=第2名，一旦推知肯定关系第2名=A，那么中=A）.任意两个类别的点之间要建立一种合理的完全匹配.（如国别和名次之间；名次与代号之间；国别与代号之间）.如果某一点与另一类点中除一点以外都是否定关系，那么与这一点只能是肯定关系.现在把这些原则具体操作于这个图上，就能把问题求解，请读者看图，不赘述.这类问题的思想方法上升到图论中，已经可以用一种更抽象的术语“超图”来描述，也就是顶点集合，仍用V来表示，而超图的边是一种抽象的“广义边”，把原来简单边捆绑在一起形成的一种“捆绑的边”.在这个具体例题中，就是要找出一套捆绑边，每一捆绑边，捆

8、着一个国别，一个名次，一个代号.找出三套捆绑边，每套与别的套之间没有公共的点，也就是超图的匹配用了这种思想方法，去解决某些逻辑推理问题，变的非常快捷而准确了.再看例子，有A、B、C三位大学生，一位北京人，一位上海人，一位广州人，每人的业余爱好只是足球、围棋和歌舞三种中的一种.已知：A不喜欢足球，B不喜欢歌舞；喜欢足球的不是上海人；喜欢歌舞的是北京人；B不是广州人.请判断三市人的代号（指A、B、C）及爱好.现在把此逻辑推理问题，转化为图论中的“捆绑边”匹配问题，大家不难把此题的图和我们最初的例比较，它们完全“同构”.答为：B上海人，喜欢围棋；A喜欢歌舞，北京人；C喜欢足球，广州人.关于匹配问题本

9、身，有很多问题和方法已经充分研究和圆满解决，并找到了可以利用电脑解决的很好的算法.例如从二分图的求最大匹配算法发展出称之为“交错路”的方法，直到网络上带权的最大（或最小）匹配. 习题八1.小明、小强、小华三人参赛迎春杯，分别来自金城、沙市、水乡，并分获一、二、三等奖.现知：小明不是金城选手；小强不是沙市选手；金城选手不是一等奖；沙市选手得二等奖；小强不是三等奖；问小华是何处选手，得几等奖？2.下面是一个一般的图，有9个点，V=v1，v2，v9，有16条边，Ee1，e2，e16.请找一个边数最多的匹配（即找一个最大匹配）.3.有一个残缺棋盘（下图中的白格部分）.问是否可用1×

10、2的骨牌将它完全覆盖？4.一张8×8的黑白相间国际象棋盘，任意挖去一个黑格和另一处的一个白格，剩下的62格残盘，可否用31张1×2骨牌完全覆盖？ 习题八解答1.作图，求捆绑的边匹配.再把剩下的六个点，找捆绑边.由于小明金城，所以小明=沙市，因而小明=沙市=三等.最后得：小华=金城=二等.这样的逻辑推理又直观又快捷，比文字叙述省力又准确.2.解：要找匹配，就是要把顶点集V分成两部分，并从边的集合E中选取一些连结这两部分的边，使得这些边无公共端点.要找最大匹配，即要使选取的边的数目最多.由于V中有9个点，因此最大匹配最多只能由4条边构成（否则必存在有公共端点的边）.而

11、四条边e1，e3，e5，e7确实构成匹配边的集合.本题的最大匹配边的集合不是唯一的.还要注意，最大匹配边的集合中不能包含题图中e9，e11，e14，e16之任一.例如，设包含了e9.为了要使选出的边成为匹配，必须把以e9的顶点v2，v4为顶点之一的边都去掉，即要在下图中选取一个三条边的匹配.这显然是不可能的.3.答：可以覆盖，如下图.黑、白间隔染色，黑格用bi表示，白格用wi表示，每格对应成一个点，此问题转化成一个二分图寻找完全匹配问题，（具体分析略），覆盖方法为：把下标相同的bi和wi用一块骨牌覆盖（b1和w1；b2和w2等），共有九块.当然，覆盖方法也不止一种.今设某黑格为A，白格为B，A、B挖去.小格的色仍黑白交替