1993考研数一真题及解析汇报

1、实用标准文案文档1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上.)(1)函数F(x) = (2 ；)dt(xAO)的单调减少区间为_3x2+2v2=12l l由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,、.3,、,2)处的指向外侧z = 0的单位法向量为 _设函数f (x)-二X X2(-二：:X：:二)的傅里叶级数展开式为a+瓦(ancosnx +bnsin nx),则其中系数b3的值为_.2n吕设数量场u = I n x2 y2 z2,则div (grad u) =_ .设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的

2、秩为n -1,则线性方程组Ax = 0的通解 为.二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.)sin X234(1)设f (x) = sin(t2)dt,g(x)=x3+x4则当XT0时,f(x)是g(x)的 ()(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小双纽线(x2 y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为()(A)2o4cos(B)44cos2vd)-0JI1二-4(cos2r)2d =2 0(C)24icos2rdr(D)x 1设有直线L1:

3、-口=z 8与L_Lx _ y = 6，：，则匚与L2的夹角为()2y z=31-21 “(A)-(B)64JIJI(C)-(D)32设曲线积分f (x)-exsinydx - f (x)cos ydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续实用标准文案文档导数,且f (0) =0,则f(x)等于三、(本题共 3 小题,每小题 5 分，满分 15 分.)求微分方程x2y xy = y2,满足初始条件y=1的特解四、(本题满分 6 分)计算 ii2xzdydz yzdzdx-z2dxdy, 其中匸是由曲面Z二x2y2与yZ2 -X2- y2所围立体的表面外侧五、(本题满分 7 分)旳(1)n(n2n

4、 +1)求级数( 1八nnn 1的和.n2六、(本题共 2 小题，每小题 5 分,满分 10 分.)(1)设在0,：)上函数f (x)有连续导数,且f(x)_k 0, f(0) : 0,证明f (x)在(0,+：)内有且仅有一个零点设b a e,证明abba七、(本题满分 8 分)(A)-Xxe e(B)Xe -e(C)(D)x_X e e1 -2广1(5)已知Q = 2、32 34 t,P为三阶非零矩阵，且满足PQ = 0,则6 9(A)t =6时，P的秩必为 1(B)(C)t = 6时，P的秩必为 1(D)t = 6时,P的秩必为 2t = 6时，P的秩必为 2(1)求lim(sin -x

5、xxx实用标准文案文档2 2 2已知二次型f(X1, X2,X3)= 2x13X23X32ax2X3(a 0),通过正交变换化成标准形2 2 2f = yi2y 5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、 (本题满分 6 分)设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n : m,E是n阶单位矩阵，若AB二E,证明B的列向量组线性无关.九、(本题满分 6 分)设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方 程，并写出初始条件十、填空题(本题共 2 小题，每小题 3 分，满分 6

6、分，把答案填在题中横线上.)(1)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 _.2(2)设随机变量X服从(0, 2)上的均匀分布，则随机变量丫二X在(0,4)内的概率分布密度fY(y) =_.十一、(本题满分 6 分)1设随机变量X的概率分布密度为f (x)e*1，-：x： 2(1)求X的数学期望E(X)和方差D(X).(2)求X与|X |的协方差，并问X与| X |是否不相关？(3)问X与|X |是否相互独立？为什么？实用标准文案3文档1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5 个小题，每小

7、题 3 分，满分 15 分.)1(1)【答案】0：x 4【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性F (x)二1所以函数F(x)单调减少区间为0 x.4【相关知识点】函数的单调性：设函数y二f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f(x) .0,那么函数y = f(x)在a, b上单调增加;如果在(a,b)内f (x)：0,那么函数y二f (x)在a, b上单调减少【答案】-1二Io,2,、3 ?【解析】先写出旋转面S的方程：3(x2z2) 2y2=12.令F(x, y, z) =3(x2z2) 2y2-12.则S在点(x, y, z)的法向量为n-一

8、，一，一- _：6x,4y,6zf,1 x :y : z所以在点(0, . 3,2)处的法向量为爲二0,4、3,620,2 .3,32，.因指向外侧，故应取正号，单位法向量为2b,2,3,3、刃J(o+(4腐十(6丘)2若函数F(x)严格单调减少,则F (x) =2-n0亠|n|=丄0,2、3,3、2；0八2,3?.305x将函数F(x)二j (2两边对x求导，得实用标准文案文档2【答案】2-：实用标准文案文档1“【解析】按傅式系数的积分表达式bnf (x)sinnxdx,1二2二1-2所以b3(二x x)sin 3xdx =xsin3xdxx sin3xdx.I i2JX 2因为x sin

9、3x为奇函数，所以x sin 3xdx二0;5xsin3xdx为偶函数，所以n：n：d = xsin3xdx = 2 0 xsin 3xdx_兀=2 xd(cos3x) - - cos3x - cos3xdx 3|L 3 o 3 02 - 2 sin3x2_=JT + I- = JT.33 IL 3o3【解析】先计算u的梯度，再计算该梯度的散度因为grad u二丄i土:昱：，excyczv222u :u :u : u；u；- u所以divgradu)二div ,22J x : y : z x : y : z数量场u = In i x2y2z2分别对x, y, z求偏导数，得；：u11 2x_x

10、xx2y2z22、x2y2z2x y2z由对称性知a r，分别对x, y, z求偏导，得-y : z 2u(x2y2Z2)X:、2-x(x2y2z2)2:.22 22:uZ十X -y：:y2(x2y2z2)2【答案】1x2y2z2:u:zx2y2z2:x:u y实用标准文案文档c2丄222x y z - _-/ 2 . 2 + 22，(x y z )-2 2 2 2u x y - z.z (x y z )实用标准文案文档div (grad u).2 .2 .2； u.1u；u+ 2 + 2.x鋼；z1x2y2z2【答案】k(1,1川,1)T【解析】因为r(A)二n一1,由n一r(A) =1知，

11、齐次方程组的基础解系为一个向量，故Ax=0的通解形式为k.下面根据已知条件“A的各行元素之和均为零”来分析推导Ax = 0的一个非零解，它就是Ax = 0的基础解系各行元素的和均为 0,即3“ +a12|+a1n =0a21 +a22111+a2n =0iiiiiiniiiiiiiiiiiniii0n1 +an2川=0而齐次方程组Ax = 0为1X1+62X2+1+印.人=021x1+822x1 +a2nXn =0IHIIIIIIIIRIHIIIIIIHIIIIIIIII%1人*8.2X2*川為召=0两者比较,可知为=x2= |l( = xn=1是Ax = 0的解.所以应填k(1,1川,1)丁

12、 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(B)【解析】lim血为“0”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在x 0g(x) 0运用洛必达法则，有XXf gm-m-.H.H X Xsin x2osin(t )dt洛x3x4sin(sin2x) cosxC 2丄33x 4x= lxm0sin(sin2x)C 2丄33x 4xlim cosxx 0sin (si n x)=lim23x 03x 4x实用标准文案3文档因为当x 0,sin x；0,所以sin(sin2x) sin2x_ x2,所以2 2.sin (sin x)x11lim23lim23=l

13、imx )03x 4xx 03x 4xx3 4x 3实用标准文案文档所以f (x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,:(x),- (x)为无穷小且存在极限lim土二I,P(x)(1)若1=0,称:(x), -(x)在该极限过程中为同阶无穷小；若1=1,称(x), -(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为:(x -(x)；若I =0,称在该极限过程中：(x)是-(x)的高阶无穷小，记为:(x) = o -(x).若lim凶不存在(不为：),称(x), (x)不可比较.B(x)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x轴、y轴对

14、称,(如草图)只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂，而极坐标方程 较为简单：严=cos2v.显然,在第一象限部分 二的变化范围是 兀 0,.再由对称性得44二二S=4S=41/心-cos,应选(A).【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题L1与L2的夹角的余弦为cos：=|cos(h, I3,应选(C).L1与L2的方向向量分别是4彳ih =(1,-2,1),10jk-10=(1,1,2),21实用标准文案3文档【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上，该曲线积分与路径无关匕丄(f (x)-ex)sin y)二厶(_f(x)cos y),y；x即(

15、f (x) - ex)cos y二_ f (x)COS y,化简得f (x)十f (x) =ex,即exf (x = e2x,1 1解之得exf (x)e2xC，所以f(x)=eqe2xC).1i由f(0)=0得C,因此f (x)(ex-e)，故应选(B).【相关知识点】曲线积分LPdx Qdy在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是cPcQ.:y；:x【答案】(C)【解析】若A是m n矩阵，B是n s矩阵，AB=0,则r(A)，r(B)乞n.当t =6时，矩阵的三行元素对应成比例，r(Q) =1,有r(P) r(Q)乞3,知r(P)乞2,所以，r(P)可能是 1,也有可能是 2,所以(A)、

16、(B)都不准确；当t=6时，矩阵的第一行和第三行元素对应成比例，r(Q)=2,于是从r(P) r(Q3得r(P)叨，又因P=0,有r(P) _1,从而r(P) =1必成立，所以应当选(C).三、(本题共 3 小题，每小题 5 分,满分 15 分.)1(1)【解析】令t,则当x、:时，t7,x这是1：:型未定式，11sin2t cost -42 1xlim(sincos-)xXF：x x1=lim(sin 2t cost)t,实用标准文案文档lim(sin 2t cost)t= lim(1 sin2t cost -1)sin2t cost t1而lim(1 sin2t cost -1)sin2t

17、 cost是两个重要极限之一，即实用标准文案文档t2222t-2tln(t21) 2 td In(t21)=2tln(t21) 42dt.Lt +1xyodx二2t ln(t21) -4(t -arctant) C ,ex-1=2x ex-1 -4、ex-1 4arctan、.ex-1 C.(3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程，两边除以y2得x2yQy xy4= 1,即-x2(y ) xy4= 1.所以【解析】1lim(1 sin 2t cost1)sin2t cost=e.1sin 2t 4cost二向sin 2Mcost _Jlim(sin 2t+cost)t= lim et= eL

18、_0t.t_0t_0sin2t cost1 2cos2t -sint lim洛lim2,t_ott_p1lim(sin - cos1)% 二e2.xx x一?_dx=2 xd ex一1 = 2x , ex一1一2e 1dx.,ex-1方法令、ex-1=t,则x = In(t21),dx =岸片t2=2飞dt t 1所以ft俏1=2(”)dt=2t -2arctant C =2. ex-2arctan , ex-1 C,所以xxe一_ dx = 2x ex-1 -2 ex-1dx,ex-1方法二2x . ex14、.ex1 4arctan . ex1 C.:令ex-1 = t,则ex= t21,

19、x = In(t21),dx =，所以xxexdx二ex-1心1)*1)2dt=2 M 1)dtt21关于t21tdt的求解同方法一，所以实用标准文案文档1 21令讨一=Z,则方程化为-X Z XZ = 1,即z Z =Xz1即(？)丄，XX积分得z1X2C.X2=z得x C,xy 2y =()-的形式，此方程为齐次方程.X X令=u,则y = xu, y = u xu,所以方程可化为X积分得In= In | x | G,即-=Cx?.2丨u |1 1u以=u代入上式，得y -2x = Cx?y.代入初始条件y |x=1= 1,得C - -1,X2x故特解为y2.1 +X四、(本题满分 6 分

20、)【解析】将I表成I二Pdydz - Qdzdx - Rdxdy,则y沪g-f- -J-.X;:y:z又三是封闭曲面，可直接用高斯公式计算.记匕围成区域I,见草图，二取外侧，由高斯公式得“兰卫MdV二zdV.r r r inir r r12，2Xy一1 2CX2代入初始条件y 1x4 = 1,得1 2XC2 所以所求方程的特解是“c解法二：所u xu二u2-u,分离变量得dudxu(u-2)X=2z z 2z = z.实用标准文案文档c；y z门用球坐标变换求这个三重积分 .在球坐标变换下，宀为：0 v 2- ,0,0 乙2,于是4实用标准文案文档I二zdV二o宀4d：cos*sindQ、0L

21、0L02P 厶2=2-o4sin dsin J：;3d“-sin2訂4勒P4f =2兀丄仁124一o42五、(本题满分 7 分)【解析】先将级数分解，第二个级数是几何级数,它的和已知求第一个级数的和转化为幕级数求和考察2 22r =-327六、(本题共 2 小题，每小题 5 分,满分 10 分.)(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知，在(0,x)存在一点,使得f(x)-f(0) = f ( )(x-0) = xf (),即f (x) =xf ( ) f (0).因为f ( ) _k 0,所以当时，xf)一-,故f (x).所以& (-1)nxnn=0OdS(x)二(-1)nn(

22、n -1)xnn =QCOzn =0(|X卜：1).= C(1)nxn)n=023(1 x)(-1)nn(n -1)1S(1、122n427n 1)O0=zn=0()nn(n-1)2noOA吃(-尹n=02因此原级数的和27实用标准文案文档由f (0) :：: 0,所以在(0, x)上由介值定理可知,必有一点(0, x)使得f ( )=0.又因为f(J_k . 0,故f (x)为严格单调增函数,故 值唯一.证法二：用牛顿-莱布尼兹公式，由于xxf(x)= f (0) + 0 f (t)dt Z f (0) + f0kdt = f (0) +kx, 以下同方法 1.(2)【解析】先将不等式做恒等

23、变形：因为b a e,故原不等式等价于bln a alnb或耳？.a ba证法一：令f (x) = xln a - aln x, (x a . e),则f (x) =1 n ax因为x a e,所以In a 1,-：1,故f (x)=1na-空0.xx从而f(x)在x . a e时为严格的单调递增函数，故f (x) f (a) = 0, (x a e).由此f(b)=bln aalnb0,即abnba.In x1 -l nx证法二：令f (x)(x e),则f (x)2.xx当x (e,二)时，f (x)：0,所以f (x)为严格的单调递减函数，故存在b a e使得实用标准文案文档成立.即ab

24、ba.七、(本题满分 8 分)【解析】 写出二次型f(b)nb(a)皿a2 0f的矩阵为A = 03卫a0a,它的特征方程是九2|入E-A|=000 0丸一3_a =(丸 _2)(丸2 6九十9 a?) = 0.a九一32 2 2f经正交变换化成标准形f二屮 2y2 5y3,那么标准形中平方项的系数1,2,5 就是A的特征值.把-1代入特性方程，得a2-4 = 0 = a = 2.实用标准文案文档将X!,X2,X3单位化,得0、1飞厂1故所用的正交变换矩阵为01212【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x,x2H,xn的二次齐次多项式（即每项都是二次的多项式）n nf (X1,X2ll,X

25、n)二送瓦ajXXj,其中aj=aji,i=1 j =1称为n元二次型令X二X1,X2,l|l,Xn T,A二aij,则二次型可用矩阵乘法表示为f X1,X2,|,Xn=XTAX,其中A是对称矩阵AT二A,称A为二次型f X1,X2l,Xn的矩阵.0 0、因a0知a =2.这时A =03 20 0广0 00、0 12对于、2=2,由（2E A）x =0,0 -1-2T0 03,得X2=(1,0,0)T.,0-2-1.0 0 0*7(300 )300对于3=5 ,由(5E _ A)x = 0,0201-1,得X3=(0,1,1)丁 .1、2P=(1,2,3)0实用标准文案文档八、（本题满分 6

26、分）实用标准文案文档【解析】证法一：对 B 按列分块,记 BNsoM*),若ki：1k2：2IIIkn：n =0,zki所以n线性无关.证法二：因为B是m n矩阵，n：m,所以r(B)岂n.又因r(B) _r(AB) =r(E)二n,故r(B)二n.所以川n线性无关.【相关知识点】1.向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数k1,k2, |,km,使ki：1匕2川km：m=0,则称12,ll(m线性相关；否则,称12,川，：冷线性无关.2.矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩九、(本题满分 6 分)【解析】如图，设当A运动到(0,Y)时，B运动到(x,y).由B的方向始终

27、指向A,有或二口，即dx x -0Yy-x.(1)dxf 川，忻)k2=0,亦即r=0.两边左乘A,得ABk2=0,即广kk2k2E*=0,亦即f*lkn lkn丿又由吧,”莎栄得由题意,X单调增，行所以dx-(dx)2-.亦即k2二0.实用标准文案0文档初始条件显然是y(_1) =0,y(_1) =1.十、填空题(本题共 2 小题，每小题 3 分,满分 6 分,把答案填在题中横线上.)(1)【解析】可以用古典概型，也可以用抽签原理.方法一：从直观上看，第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关，所以考虑用全概率公式计算.2 10设事件Bi二“第i次抽出次品”i =1,2,由已知得P(

28、B),P(BJ,12 121 _ 2、P(B21 B1), P(B21 B1).应用全概率公式P(B2)=P(B)P(B2|B1)P(B1)P(B2|B1)=方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得2 1次品的概率相同， 都是二=丄.(2)【解析】方法一：可以用分布函数法，即先求出分布函数，再求导得到概率密度函数由已知条件，X在区间(0,2)上服从均匀分布，得X的概率密度函数为1，0 :：x：2Fx(x)二20,其它dY由(1),(2)消去丫，丄，便得微分方程dx2xy 1 y2=0.111112 6-A - i - A -=12 11 12 11 6实用标准文案0文档0,21,_y_Fx(x)dx- _y0dxdx口y - 4.先求F的分布函数FMy) =P(丫乞y) =P(X y).当y一0时，FY(y)= 0 ；当y - 4时，FY(y)=1;当0：y：4时，FY(y)二PY乞 / =PX2y =P一匚乞X S实用标准文案文档于是,对分布函数求导得密度函数1=,：. y：.4 fY(y)二FY( y)