（推荐）人教版数学高一二知识点

1、高中一年级知识点一、集合集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集集合间的基本关系(1)子集：对任意的xA，都有xB，则AB(或BA)(2)真子集：若AB，且AB，则AB(或BA)(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集即A，B(B)(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n1个(5)

2、集合相等：若AB，且BA，则AB. 集合的基本运算(1)并集：ABx|xA，或xB(2)交集：ABx|xA，且xB(3)补集：UAx|xU，且xA(4)集合的运算性质ABABA，ABAAB；AAA，A；AAA，AA；AUA，AUAU，U(UA)A.一个性质要注意应用AB、ABA、ABB、UAUB、A(UB)这五个关系式的等价性两种方法韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心三个防范(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形

3、)(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误二、简易逻辑简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词(2)简单复合命题的真值表：pqpqpq¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题(2)含有存在量词的命题叫特称命题命题的否定

4、(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题 两类否定1含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：xM，p(x)，它的否定¬p：x0M，¬p(x0)(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定¬p：xM，¬p(x)2复合命题的否定(1)綈(pq)(

5、2;p)(¬q)；(2)綈(pq)(¬p)(¬q) 三条规律(1)对于“pq”命题：一假则假；(2)对“pq”命题：一真则真；(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反三、命题命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系充

6、分条件、必要条件与充要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件(2)等价法：利用pq与綈q綈p，qp与綈p綈q，pq与綈q綈p的等价关系，对于条件或结论

7、是否定式的命题，一般运用等价法(3)集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件四、函数函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法一个方法求复合函数yf(t)，tq(x)的定义域的方法：若yf(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得aq(x)b

8、即可求出yf(q(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性 三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系值域是由函数的定义域和对应关系所确定的两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等函数是特殊的映射，映射f：AB的三要素是两个集合A、B和对应关系f.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，

9、那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.对于任意xI，都有f(x)M；对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y分别在(，0

10、)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接两种形式设任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同

11、增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数

12、；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件两个性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶

13、15;偶偶，奇×偶奇三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数(3)若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2a；(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域

14、R值域(0，)性质过定点(0,1)x0时，0y1x0时，y1.在(，)上是减函数当x0时，0y1；当x0时，y1；在(，)上是增函数对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点记法 一般对数底数为a(a0且a1)logaN常用对数底数为10lg N自然对数底数为eln_N对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN；logaaNN(a0且a1)(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logab·logbc·

15、logcdlogad.(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；log amMnlogaM.对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，)值域：R过点(1,0)当x1时，y0当0x1，y0当x1时，y0当0x1时，y0是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数五、向量平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底平面向量坐标运算(1

16、)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b共线一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，

17、向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量不变，即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作a，b，则AOB(0°180°)叫做向量a与b的夹角，当0°时，a与b同向；当180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，

18、记作ab.两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a0.向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的数量积向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)e·aa·e|a|cos ；(2)aba·b0；(3)当a与b同向时，a·b|a|·|b|；当a与b反向时，a·b

19、|a|b|，特别的，a·a|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|a·b|a|b|.向量数量积的运算律(1)a·bb·a；(2)a·b(a·b)a·(b)；(3)(ab)·ca·cb·c.平面向量数量积的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)a·bx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)aba·b0x1x2y1y20.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则|a|(平面内两点间的距离公式)六、数列等差数列的定义

20、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d.等差中项如果A，那么A叫做a与b的等差中项等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)S2n1(2n1)an.(6)

21、若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn，或等差数列an的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Snna1d.等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n，数列an是等差数列的充要条件是SnAn2Bn(A，B为常数)最值问题在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值，若a10，d0，则Sn存在最小值 一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn. 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d

22、，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示等比数列的通项公式设

23、等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1·qn1.等比中项若G2a·b(ab0)，那么G叫做a与b的等比中项等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam·qnm，(n，mN)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则ak·alam·an.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q

24、1时，Snna1；当q1时，Sn. 一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，两式相减得(1q)Sna1a1qn，Sn(q1) 两个防范(1)由an1qan，q0并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形导致解题失误三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2且nN*)，则an是等比数列(2)中项公式法：在数列an中，an0且aan·an2(nN*)，则数列a

25、n是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成anc·qn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列数列求和的常用方法公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如

26、等比数列的前n项和公式就是用此法推导的裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一种思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和两个提醒

27、在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项三个公式(1)；(2)；(3).三角函数同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan .诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，其中kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin_，cos()cos_.公式四：sin()sin ，cos()cos_.公式五：sincos_，cossin .公式六：sincos_，coss

28、in_.一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin ±cos )21±2sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()cos_cos_si

29、n_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(5)T()：tan()；(6)T()：tan().二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.有关公式的逆用、变形等(1)tan ±tan tan(±)(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.（*）辅助角公式函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一确定两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题余弦定理：a2b2c22bccos_A，