10-2二重积分计算

1、10.2二重积分的计算D !I-一-II直算常难，化为两次定积分一累次积分。 一、应用直角坐标计算二重积分y2(x),a x Wb, y(X), y2(X)连续。(1) D为X-型区域D =(x, y)|yi(x) y 再设f(x, y)在有界闭域 D上连续，则暂定x 先对y积分 再对x积分。by2 (x)JJ f (x, y)d b = ( Jy(x) f (x, y)dy )dx (证略)。D因JJD f(x，y)db=曲顶柱体0的体积，故可先“片面”后累加。第5页共26页任取定X壬a,b 后，可得A(x) = /yi(x)f(x，y)dy，”ifb再得：V=JaA(X)dx 珂礼(x)y

2、2(x)f (x,y)dy注：积分限-由小到大，后面类似。前式也可b y2(x)by2(x)H(x) f(x,y)dydx =Ja 叫(x) f(x,y)dydf(x,y)dxdy = J dy J0裁(y)f (x, y)dx。c Xi(y) 八n f(X, y)db -D(2) D为y 型区域D =(x, y)|xi(y) x X2(y),cy !I特别，D为矩形区域：(x,y) |a兰X Eb,a兰y兰d,则有b ddbJJ f(X, y)d b = Ja dx Jc f(X, y)dy = J dy J f (x, y)dxaccaD,J(4) D非X型、也非y型区域，分割D为小X型、

3、小y型区域，分别算之，再加之。注：中交点至多两点，边交点-可点、线段。0第7页共26页故 I rfdxjdy = J：1 X y 1 y呵1例1计算I = jjdb。 D是由x =2,y=x及xy =1所围区域。 D y解宜将D看作X -型区域11D = (X, y)|-yx,1 兰 X 兰2 卜IXJ2 丫1 dX1=J2(-x+x3)dx=9。14CJX例 2 求 I = JJ(4 X2-y2)db ,3其中 D : 0 x ,2解若看作X-型区域,0 y 11 2r2dx【o(4X-y2)dy3122Jo2dxJo(4-x -y )dy3/11235=f2(一-X )dx =。 0 3若

4、看作y-型区域，有第13页共26页3=J；dy(4 x2 y2)dx = J* 一才xy2 dy 詈。3 求 I = JJ(x2 +y2)dcr, D : y =x, y =1,y =3及 y=1+x所围D若D看作y-型区域：= (x,y)|y-1xy,1y 3，则I =U(x2 +y2)db 打dyjy：(x2 +y2)dxD4若D按X -型区域积分，则需把 D分成D1, D2和D3三个区域:-1DiD2321dy = (2y -y + /dy =14。(易)= (x,y)|1 y 1 +x,0 X1,= (x,y)|x y 1+x,1 x2,= (x,y)|xy 3,2 x3。D3因此I

5、= JJ(x +y2)db = JJ(x2 +y2)db + JJ(x2 +DDiD2y2)db 中 JJ(x2 +y2)dbD311* 2221七2233 2 2=4dx；1 (x +y )cy + 1 dxfx (x +y )dy+ .dxJx (x +y )dy7+13*19“=-+=14。(较繁)623例 4 求 I =dbDD : X =0, y =1及y =x所围区域。解 若将 D 看作 y-型区域：D =(x, y)|0xy,0yl,21y2112则 I = ffx2ey db = dy f x2e dx =- 1 ye dy D3凑分、换兀、分部积分得I丄丄。6 3e若把D看作

6、X-型区域，贝yD = (x,y)|xy 1,0 xl,于是1 1 _ 2 1 _ 1 2I = . dx Jx x诂X 例5改变二次积分I = Jodx Jx f (x, y)dy的积分次序。eT dy =打 x2 ( e dy )dx。2因无初等原函数，故无法继续用初等函数来计算。解 还原二重积分：I =JJf(x, y)dbD还原积分域：X -型区域D = (X, y) | X 兰 y 兰 JX,0 兰 X 兰1； 把D表示成y -型区域D =(x,y)|y2 xy,0 y 1。1 y从而得：I = JJ f(X, y)db =打 dy J 2 f (x,y)dxDy二、应用极坐标计算二

7、重积分(D的边界为极坐标关系方程)1.基本推导 用r=常数的一族同心圆、 e=常数的一族射线,第17页共26页分D为n个小区域 cr1cr2|crn用符号ACTi即表区域，也表ACTi的面积，则耳=1(斤+也斤2也&2 L=r +-iri也仃也 qI 2丿 = 辿 (i =1,2,IIL n)其中ri =ri +-心ri，在可积下，D的分法和点Pi /i)的取法无2关，故可勺 uricosqji =ri sin,于是nJJf (x,y)db =|lim/n _=11热无 fWiCosqjiSin9)5n _=11 丛m送 f ( cOiS ri ,iTi 细日。i记 F(rP) = f (r

8、cosrsin 日)r，设 f (x, y)连续 F(r,日)连续函数，故上式看作F(r,日)关于(r,)的二重积分，n _即庇f (cOiS ri ,靳冷1细日i第21页共26页=JJ f (r cos rsin9)rdrd日,D从而有JJ f ( X, y) d = JJ f (r c o rDD(db =rdrd日：极坐标系中的面积元素)2 .极坐标的累次积分(1) D为9 型区域(大多是这种)D =(r,9)|ri(T) r 2(巧,a 9 P暂定日对r积分对0积分，s巾n r ) rd dr = 旳K M POJJ f (r cos日,r sin )rdrd日=即PJ dbari (

9、6f (r cost r sin 巧rdrDri兰r兰2(2) D 为 r -型区域 D =(r,9)|q(r) 日 62暂定对日积分对r积分，即JJ f (r cos日,rsin 日)rdrd日D2E(r)=Jr rdr J做)f (rcosr sin日)d日q r, r r?(3) D 的边界过 O, D =(r,8)|0r r(&),a 6 盯PUf(r cosrsin 巧rdrd = Jd日r(60f (rcosrsin 巧rdrD(4) D 内含 O , D =(r,)|Or rp),o 0 2 兀。则2兀r(日JJ f (r cosrsin 日)rdrd = J。d日 J。 f(r

10、 cos rsin 日)rdrD特别 D 为圆：D =(r,9)|0r a,0 e 2兀，贝U2兀aJJ f (r COS日,r sine)rdrd日=J0 d日 J0 f(rcos&,rsin 日)rdrD注：通常，若积分区域为圆形、环形区域(或部分)、被积函数形2 2如f(x +y )时，用极坐标计算较为方便。例 6 求 I = JJsin Jx2 +y2db，D :兀2 x2 +y2 4兀2。d解在极坐标系中，D =(r,9)|兀r 2兀，0 日2兀,2雹2雹I = ff si nr rdrd = f rsinrdr兀D0一2咒2兀口=f Lr cosr +sinrdDi,D2,D3,D

11、4，每个小区域上Pl2兀C2f 3兀d日=6兀2 .0否则，要把d分成四个小区域将会遇到十分复杂的计算。例7求由球面x2 + y2 +z2 =a22 2与柱面x +y =ax ( aO)所围成的立体的体积解由对称性可得V 。,771D =（匚日）| r =acos,0 日 - 边界过0，故3T凸V =4 JJ Ja2 -r2 drd& =4 J。2 d& J。Ja2 -r2rdrD第29页共26页丑彳3=42 -l(a2-r2F r 3、丿 J0昇 43 U -I 3丿2=a3iacos 6I dB43=-a3jj(1-sin3 烬第19页共26页胡e)db，D : X2D2 2中y兰a ,并

12、由此证明-bee此前不好积）=。（概率积分,2视D为日型，得2JlJo另设J(a)e。a 22 兀12 T2dH f er rdr = 1 ie#=兀(1-yT 2丄a 2.=f e dx，则有：J = lim J (a)。由于 0a/be|2z ra -x2 ra -y2rr 3 为2)/尺 #J (a) = Jo e dx 讥 e dy = JJe,R其中R为正方形，另外四分之一圆域Di,D2如右图，贝y D1URUD2，故JJ廿)db JJ fjDiRD2气2气2由例 8 得：二(i-e )Jrdr =4 I4 cos2日d日=a2sin凶 4 0 2 0(a) =(1-e亠)，令 aT

13、 +比得440第37页共26页ifJ2例9求双纽线兀=J =42r2 =a2 cos2所围成的平面区域的面积 A o 解由对称性，可得A =4 JJdb，DA =4厂d日f0 D =t(re)|0r从而a &os2 Q 兀1 兰a Jcos29 ,0 8 二 $,4j重积分的一般换元法JJf（X, y）db = JJf （rcos日,rsin 日）rdrd日DD（X = r cos 日c实为坐标变换 T : i, db =dxdy =rdrd。y = rsi n 日这里变换是一一对应的，所以有：圆域矩形域。e般变换T有如下结论。定理 设f(x,y)在Oxy平面的闭区域D上连续，变换jxM(u,

14、v)T : ly =屮(u,v)将Ouv平面上的闭区域 D 变为Oxy平面上的闭区域 D，v 卜.亠亠P且(1) W(u,v),屮(u,v)在D上有一阶连续偏导数; 在D 上雅可比行列式J(u,v) = E(x,y) H 0； c(u,v)(3)变换T : Dt D是一对一的,则有JJ f(X, y)dxdy = JJ f 啓(u,v)严(u, v) |J(u,v)|dudv dd 称为二重积分换元公式。y-x例10求ffey*dxdy , D是由X轴、y轴和直线x + y = 2所围。Dv1*x解这里 D =0 y X + 2,0 x 2,第39页共26页令 u = y -x, V = y +x，则v-uv+uxWP。于是，O