数学史部分1-古埃及数学

1、数学哲学与数学史数学哲学与数学史数学史部分数学史部分第一章第一章 数学的起源和早期发展数学的起源和早期发展 数学的发源地：数学的发源地： 古代非洲的古代非洲的( ()文明；文明； 西亚的西亚的( () )和和( ()文明；文明； 中南亚的中南亚的( () )和和( ()文明文明 东亚的东亚的和和文明文明. . 数学产生于农业文明：数学产生于农业文明： 历法，测量土地，财富计算，产品交历法，测量土地，财富计算，产品交换，观测天体，建造皇宫等换，观测天体，建造皇宫等一、古埃及的数学一、古埃及的数学 BC4000年的年的文明，已有文明，已有文字文字（，意为，意为“” ” ）；）； BC3000年，年

2、，成为统一的奴隶制国家成为统一的奴隶制国家. . ( () )的的（约（约BC3400年年以前）一个王室的权标上象形文字以前）一个王室的权标上象形文字. .1 1、记数法、记数法以十为基数的以十为基数的文字文字 介于两符号之间的各数由这些符号的介于两符号之间的各数由这些符号的表示表示. . 但是，他们的符号但是，他们的符号，这使得这种记数法是很麻烦的，为了，这使得这种记数法是很麻烦的，为了表示大数，必须用相应多个符号表示大数，必须用相应多个符号. .5120特点：特点：、最早采用、最早采用的国家之一；的国家之一； 、但没有采用、但没有采用计数法计数法. . 2、书写材料书写材料 是英文是英文

3、“ “” ” 的语源的语源. . 现今保存下来的有现今保存下来的有记录了记录了的数学资料，它们都产生于约的数学资料，它们都产生于约年左右年左右. . 它们的作者可能是政治机关或它们的作者可能是政治机关或教堂的教堂的（秘书），它们的内容就是（秘书），它们的内容就是和和. . 古埃及纸草书卷古埃及纸草书卷 纸草纸草() （现存于现存于，一说现，一说现存于存于）25个数学问题（个数学问题（贵族贵族夫夫于于1893年在年在发现），长约发现），长约525cm，宽约宽约8cm，成书于约，成书于约BC1890年年. . 纸草纸草() （）85个数学问题个数学问题. . 最初发现于最初发现于的的废虚废虚. .

4、 （人人于于1858年购年购买于买于），长约），长约525cm，宽约，宽约33cm. . 零星的材料：零星的材料：（Kahun）纸草书）纸草书和和纸草书，纸草书，（Akhmin）木板）木板书（约书（约BC2000年左右）以及年左右）以及时代时代的羊皮书一卷的羊皮书一卷-埃及数学的补充信息埃及数学的补充信息. . 注意：注意：认为他们的数学是从认为他们的数学是从来的，然而来的，然而数学只限于非常实用者，数学只限于非常实用者，古埃及人没有古埃及人没有的思想，他们的的思想，他们的数学完全是数学完全是，完全找不到，完全找不到的数学痕迹，而古希腊却有的数学痕迹，而古希腊却有. . 3、古埃及的算术知识：

5、古埃及的算术知识：（1） 古埃及人的计算具有古埃及人的计算具有的特点：的特点： 任何自然数都可由任何自然数都可由组成组成. . 例如：例如： 计算计算 2731 *1 31 *2 62 4 124 *8 248 + *16 496 - 168212222274310 计算计算74526，只要连续地把除数，只要连续地把除数26加倍，直到再加倍就超过加倍，直到再加倍就超过745为止为止. . 1 26 1 26 2 52 2 52 745 = 416+329 745 = 416+329 * *4 104 4 104 = 416+208+121= 416+208+121 * *8 208 8 208

6、 = 416+208+104+17= 416+208+104+17+ + * *16 416 16 416 将上述带（将上述带（* *）号的各项相）号的各项相- - 加，得商为加，得商为16+8+4=2816+8+4=28 其余数为其余数为17.17. （2）、）、 分数的记法和计算分数的记法和计算 的广泛使用成为的广泛使用成为数学的一个数学的一个重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些数都表示为一些（分子为（分子为1的分的分数）的数）的的形式（的形式（2/3例外）例外）. . 埃及人表示分数的符号是相当复杂的埃及人表示分数的符号是相当复杂的. .

7、 用用 （读作（读作）表示分数线，将）表示分数线，将 或或点的记号放在数的上方用来表示分数点的记号放在数的上方用来表示分数. . 某些特殊的分数记号，如某些特殊的分数记号，如 213241中数表：将所有分子为中数表：将所有分子为2而分而分母从母从5 -101的奇数表示为的奇数表示为. . 2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/28 2/9=1/6+1/18. 2/97=1/56+1/679+1/776 2/99=1/66+1/198 2/101=1/101+1/202+1/303+1/606 利用此表可进行利用此表可进行 ，要用，要用521，可写成单位分数之和，可写成单位分数之和 运算

8、程序如下：运算程序如下： 5/21=1/21+2/21+2/21 =1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42 =1/21+1/7+1/21 =1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42 注意：注意：和和概念概念 第第70题：题：求求100( (7+1/2+1/4+1/8) )的商的商. .：12+2/3+1/42+1/126.：将除数逐渐加倍：将除数逐渐加倍：15+1/2+1/431+1/263，是除数的，是除数的8倍倍; ;另外，除数与另外，除数与8+4+2/3相乘得相乘得 ，比被除数比被除数100小小1/4.4399：因除数的：因除数的8倍是倍是

9、63，故，故( (7+1/2+1/4+1/8) )2/63=1/4由由2/n数表查得数表查得2/63=1/42+1/126，于是于是100(7+1/2+1/4+1/8) = 8+4+2/3+2/63 = 12+2/3+1/42+1/126. .人为什么对人为什么对情有独钟，原情有独钟，原因尚不清楚因尚不清楚. . 这种运算方法这种运算方法妨碍了数学的进妨碍了数学的进一步发展，这也是古埃及一步发展，这也是古埃及和和不不能发展到更高水平的原因之一能发展到更高水平的原因之一. . 但是这种方法对于解决但是这种方法对于解决和和问题却十分方便问题却十分方便. . 例如，平均分食物的例如，平均分食物的7个

10、面包个面包8个人分个人分. .7/8 = 1/2+1/4+1/8 （3 3）、完成了基本的）、完成了基本的（4 4）、已经有了）、已经有了的方法的方法：、有、有，但叙述方式是，但叙述方式是（即（即阶段），很少引用符号；阶段），很少引用符号；、的概念也已有萌芽；的概念也已有萌芽；观念的萌芽观念的萌芽、即形如即形如 或或某些二次方程某些二次方程baxx cbxaxx 、和和的概念及其的概念及其 、中有一方程问题：有一数中有一方程问题：有一数量，它的量，它的2/3加它的加它的1/2，加它的，加它的1/7，再加全，再加全部共为部共为33. . 用现代的记号是：用现代的记号是： 只不过只不过写为写为 2

11、8/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388. .古埃及人把古埃及人把称为称为“”（aha) ) 97281433712132 xxxxx 、的第的第24题：已知题：已知“”与与七分之一七分之一“”相加为相加为19，求，求“”的值的值. . “ “”（）先先假设一个特殊的数作为假设一个特殊的数作为“”的值（多半是假的值（多半是假值），将其代入等式左边去运算，然后比较得值），将其代入等式左边去运算，然后比较得数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确的答案的答案. . 在上例中，用数在上例中，用数7作为未知数作为未知数

12、x的实验值，于是的实验值，于是有，左边有，左边= = 而应得的结果是而应得的结果是19，这两个结果之比为，这两个结果之比为19/8=2+1/4+1/8，将，将7乘以（乘以（2+1/4+1/18）即得）即得正确的正确的“”值为值为16+1/2+1/8.877/177/1 xx、算术级数问题：、算术级数问题：5个人分个人分100个面包，要个面包，要求每个人所得的份数构成一个算术级数，并求每个人所得的份数构成一个算术级数，并且前三个所得总数的且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和等于后二人所得之和-（regula falsi） ： 先令第一项最大，这使得公差是负数先令第一项最大，这使得公差是负数

13、. .令首项和公差分别为令首项和公差分别为a和和d, ,写出了写出了于是公差为最小项的于是公差为最小项的11/2倍，设最小项为倍，设最小项为1.于是得级数：于是得级数：但和为但和为60, ,为满足条件，各项为满足条件，各项5/3，最后得：最后得：)4(211)4()3(7)2()(daddadadadaa 23,2117,12,216 , 13138,6129,20,6510,321、（）. .第第79题：是在数字题：是在数字 7，49，343，2401，16807 旁边各注有图旁边各注有图，等字等字样，而且给出总数为样，而且给出总数为19607. 问这个题目产生的是什么数列？总数是多少？问这

14、个题目产生的是什么数列？总数是多少？-有答案无解法有答案无解法. . “出门望九堤，堤有九木，木有九巢，巢有出门望九堤，堤有九木，木有九巢，巢有九鸟，鸟有九毛，毛有九色九鸟，鸟有九毛，毛有九色.”.” 在在纸草书和纸草书和纸草书中确实包纸草书中确实包含有许多几何性质的问题，内容大都与土含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关地面积和谷堆体积的计算有关. 由此可知，古埃及的由此可知，古埃及的很发达很发达. 几何几何问题多是讲问题多是讲，涉及到田地的面积，涉及到田地的面积，谷仓的容积和有关金字塔的计算等谷仓的容积和有关金字塔的计算等. 著名的著名的“”就是其中的代表就是其中的

15、代表. 兴建于兴建于王朝（王朝（BC2900年左右），高年左右），高146.5米，塔基宽米，塔基宽 233米，底边长度的误差为米，底边长度的误差为1.6厘米，正方程度与水平程度的平均误差厘米，正方程度与水平程度的平均误差1/10000，塔高与塔基之比非常近似于圆的周，塔高与塔基之比非常近似于圆的周长与其半径之比长与其半径之比. .用以砌塔的巨石达用以砌塔的巨石达230万块，万块，重量从重量从2.5吨到吨到50吨不等吨不等. .如把这些石头凿成平如把这些石头凿成平均一立方英尺的小块并排列成行，其长度相均一立方英尺的小块并排列成行，其长度相当于地球周长的当于地球周长的2/3. 10万人用了万人用了

16、20年的时间年的时间才建成的才建成的. .N.Khufu Pyramid的的. .王殿总面积王殿总面积5000平方平方米，有米，有134根圆柱，中间最高的根圆柱，中间最高的12根高达根高达21米米. .、正方形、正方形, ,矩形矩形, ,三角形三角形, ,梯形面积公式梯形面积公式. .其他其他几何图形近似计算几何图形近似计算. . 如：任意四边形的面积如：任意四边形的面积、已经知道、已经知道的特殊情况的特殊情况. .、圆的面积很好的近似、圆的面积很好的近似. . 50: :假设一直径为假设一直径为9的圆形土地，其面的圆形土地，其面积积= =边长为边长为8的正方形土地的正方形土地. . 由此可知

17、，圆面积为由此可知，圆面积为 ，其中，其中 为直为直径，相当于取径，相当于取，误差为，误差为22dcba 2)98( dS d、体积的计算、体积的计算 . . 直棱柱直棱柱( (圆柱圆柱) )的体积等于底面积乘以高的体积等于底面积乘以高. .、半球表面积的计算公式、半球表面积的计算公式. .、知道相似三角形、知道相似三角形. .、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题上，已经有了正确的知识的问题上，已经有了正确的知识. .)(3122babahV 结束语：结束语：的特性的特性-产生于约产生于约BC1700年左右的年左右的纸草书和纸草书和纸草书中的数学，在数千年漫纸草书中的数学，在数千年漫长的岁月中很少变化长的岁月中很少变化. .运算和运算和始终是始终是的砖块，的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复使古埃及人的计算显得笨重繁复. . 古埃及人的古埃及人的、算法对算法对和和往往不作明确的区分，这又使他们的实往往不作明确的区分，这又使他们的实用几何带上了用几何带上了的色彩的色彩