(整理)极限运算法则两个重要极限

1、复习旧课：1.无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限2. 3. 1极限的性质定理1 :(唯一性)lim f (x)A，lim定理2 :域内有界定理3 :2. 3极限的运算法则如果极限lim f(x)存在，则它只有一个极限。即若f (x) B，则 A B(有界性)若极限lim f (x)存在，则函数f (x)在x0的某一空心邻X xq(局部保号性)如果lim f(x) A，并且A 0 (或A 0)，则x xq在X0的某一空心邻域内，有f(X) 0 (或f (x)推论 若在x0的某一空心邻域

2、内有f (x)(或 f(X)0 )，且讲述我们先介绍极限的运算法则证明从略。以上性质只对xx0的情况加以叙述，其它 的形式也有类似的结 果。lim f (x) A，则 A 0 (或 A 0)ox xq2. 3.2极限的运算法则定理(1)若 g(x) C .(常数)，则 lim Cf (x)C lim f (x)CAlim 3 皿3A(bg(x)lim g(x)B0)证明因为 lim f (x) A, lim g(x)B，利用2o 2定理，它们可以分别写为：其中f(x) = A (x),g(x) B(x)(x),(x)均为无穷小量，则有:1:设 lim f (x) A, lim g (x)B ,

3、则limf(x) g(x) = lim f (x) lim g(x) lim f (x)g (x) lim f (x) lim g(x) A(1)f(x) + g(x) =A+B+(x)(x)由2. 2定理知 (X)(x)仍为无穷小量 所以f(x)+g(x)以a+b为极限.即 lim f (x)g(x) = lim f(x) lim g(x) A B.设P(x)为多项式Xo时,容易证明：limX xoP(x)P(X0)Q(X0)limx xoP(x)QwP(X0)Q(X0)f (x)为多项式，所以极限值等于在求 lim(3x2x 2x 5)x0处的函数值因为f(x)为两个多项匹25) = 15

4、2x 3x2 解 lim rx 1 X X 552x 36X 1例3求limx 1x 1X 1解 因为lim _- = 0根据无穷大于无穷小的关系x 1 X 1X 1所以有limx 1 x求极限时,注意:1必须注意每一步的根据，否则会出现错误。2lim x 1 X 1x2Jliml2LJD =lim(x 1)2X 1 X 1x 1例 5 limx 3X29x2 7x 12解 lim =79= = lim 以 3)以 3)=向 _36x 3x2 7x 12 x 3(x 3)(x 4) x 3x 4式商的极限，且在 x=1 处分母的极限不为零， 所以极限值等于函数 值。在x=-1处，分母为零, 不

5、能直接计算极限。在x=-1处，分母为零, 不能直接计算极限。”型，先设法0约去非零因子。例6求lim3x3 X3X量分出法，即分子、分 母同时除以x的最高次解limx3x33XlimX幂。结论:aoXmaiXm 1ambT,当mboo,当m,当mn,bon,n.求 lim(-X 1 X1 解 lim (x 1 X 1是)X 1y2) = limX21 X 1小结：1.极限运算法则2 .求极限方法1)设 P(x)为多项式，则 lim P(x)P(Xo)。XXo2)P(x)、Q(x)均为多项式，且Q(Xo)0，则0,先通分，再计算。lim 空 fCXo)X XoQ(x)Q(Xo)若 f(x) o,

6、g(x)型时,用因式分解找出“零因子”m5)结论：!m 1ax. n 1biXambn直，当mboo,当m,当mn,bon,n.0,6)若(X)0, f (x)有界，则 lim (x)f(x)07)若 lim f(x) g(x)为“”型时，一般是通分或有理化后再处理。2. 4. 12. 4两个重要极限 判别极限存在的两个准则准则1 (夹逼定理)设函数f (x), g (x), h( x)在x0的某一邻域U (x0,)内满足g(x) f(x) h(x)且有极限lim g(x)x x0lim h(x)x xoA，则有 lim f (x) Ax x准则2如果数列Xn单调有界，则lim xn 一定存在

7、。x2. 4. 2两个重要极限一般sin x ,1.极限 lim1x 0 x例8计算lim tanxx 0 x“ tanxsi nx解 lim= limx 0 x x 0 x1 cosx2x丄=lim匹 cosx x 0 xlim=1x 0 cosx例9计算xim解limx 0cosx ""2 x2si n必lim2x0x2=lim -x 0 22.xsin 2xlim列巴1U 0 U证明略例8例9结果可作 为公式使用。cosx 1 2si n2-22cos2-x 12可证得此结论。=Sm2x 02.xsin _2x例 10 计算 lim sin5xX 0 3x212解li

8、m沁fim哑5x 0 3x x 0 5x 3结论：xm0晋1例 11 计算 limsin3x sinxx 0 x初. sin3x sinx .解 lim= limX 0Vx 0x比' "c u* I.sin x例12 求limX 0 ta n X2C0s2xsinx 2lim cos2xx 0lim匹x 0 x和差化积公式练习:lim COsX cos3xX 0x2解 lim =lim(snxx 0 ta n Xx 0 xtan xlim(轻x 0 x-)tan x例13求limxsinx解错误做法:tanxsin x limx因为当时,正确做法:limx2.极限lim(1x

9、例14计算lim(1x解 lim (1x例15计算例16计算=lim(沁 tanx x x沁=lim処0 tan(tan x-)x exlim (1xtanxsin t9 limt) t 0 tant1e2lim刮x一般Uim(1Uim0(1u)U12x)xlim(1x12x)x = lim (122x)2xlim(1 5)xXXx5解=lim (1-)x = lim 1XXX()x5(5)=lim (1-)x x2 X例17计算lim (x 3)x = lim(1X XX 3解 lim (x 3=lim (1x)xx丄)x :x 33 lim (1X X 3lim(1xxV)3lim也卫X 0 X解 lim ln(1 X) = lim 1 ln(1 x)X 0 XX 0 X例18计算1飞叫叩x)x -巴叫(11x) lnex 1例 19 limx解令uex1则 X ln(1u),当 x0时，u 0例18,例19视情况选讲所以00代 ln(1+ u