概率论与数理统计获优课程论文《欧拉公式及其应用》

1、华北水利水电大学题目欧拉公式及其应用课程名称:专业班级:成员组成:高等数学（2）姓名郭森闯学号201215427姓名田榆杰学号201215405姓名杨学敏学号201215414电子信息工程式:2013年5月31日摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式e cos isin举例说明欧拉公式在数学中的几类应用， 通过总结多种方法看问题的 思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明 白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式，证明，应用英文题目"Euler formula and its application"Abstract: Th

2、e differe nt methods of several in the comp lex domai n thatEuler's formula, illustrates several kinds of app licati on of Euler's formula in mathematics, to solve the pr oblem through the summary of many ways to look at p roblems of the mind, through the soluti on of several kinds of proble

3、ms that the reader more understood the importanee of Euler in learning many asp ects of the theory and the mathematical formula in the.Key words: Euler formula Prove application1引言欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有复变函数中的欧拉幅角公式。1748年，欧拉在其著作中发表欧拉幅角公式，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中， 有着广泛的应用。在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复

4、数域中却可以相互转换，欧拉幅角公式将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起 来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁。2研究问题及成果2.1在复分析领域的欧拉公式-0对于任意实数0 ,存在：ei二cos0 +i sin 0时，有e色的五个数0、1、i、e、 联系在一起， 单位，e是无理数它取自瑞士数学家欧拉（ 公元前就被定义为“周长与直径的比” 。特别是当e 10,这个等式将数学中的最富有特0, 1是实数中特殊的数字，i是一个很重要的虚数Euler,1707-1783）的英文开头5,是圆周率在1，即cos i sin三角函数的“麦克劳林级数”1:sin(z) z3z3!5

5、z5!2n 1n 1 z1) (zn 1)!cos (z)12z2!n1)2n:z-(2n)!指数函数的“麦克劳林级数”:1当用iz代替izeiz(12z2!nzn!z时,那么2(iz)2!n(iz)n!2z2!3i(zf2.2欧拉公式的证明方法2.2.1幕级数展开式的证明法引用三角函数和指数函数“幕级数展开式”证明欧拉公式cosz isinz当z 时，得到cos i sin 。222复指数定义法用复指数定义e e*iy ex (cos yisiny)，证明欧拉公 &cosi sin证明对于任何复数z x iy(x,y R).若 zX iy有 e e(cosyi sin y)2当x=0

6、时，另cos i sin2.2.3类比法求导法通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件)，通过构造f(x)ix_ecosx i sin xf (x)0用lagrange微分中值定理推论3，ix从而证明f (x)1,使得ecosx isinxix构造函数f(x) e xcosx isinxR, i为虚数计算导数ixio (cosx isinx) q ( sinx icosx)f(X)2(cosx i sin X)ixixe (i cosx sin x sin x i cosx)cos2x isin2xlagrange微分中值定理的推论若函数f(x)在区间I上可导，且f (x)的导数恒等于0，

7、x属于I，则f(x)为I上的一个常量函数3。根据这推论，所以有f(x) c, c为常量，又因为f(0) 1,所以f(x) 1,有 e cosx i sinx.2.2.4分离变量积分法假设zplcosx i sinx，求导得 一 iz，通过分离变量得dxdz idx,，然后两边取积z分得Lnz证明ix，所以得假设z那么 dz i cosxdxix.e cosx isinx.cosx isinx,sinx i(cosx isinx) iz，分离变量得：dz idx,z两边同时积分得 -dz i dx，即Lzz ix ni0当取 x=0 时，z cos0 isinO 1，訐 | n1证明首先证明li

8、mncos i sin因为arg 1narctg -n所以1 -inn2cos narctg 一 nisin narctg n从而limncos narctg - ni sinn arctg -n令 Pn(12 n)2，则 lnnpnnln-L zixLn z ix , e z cosx isinx g ,ex cosx isinx。下面我们介绍一种新的证明方法：极限法R,n N1丄视为连续变量，由洛必达法则有nlim ln pnn唔1n 1nim Pniiargnarctglimnarctglim0limnlimnn-incos i sin其次证明lim fneinin 1 ie n的主值支

9、,n1 -inlim ennIn 1 _i nlim ennln1 _ininarg 1 _inlimnnin 1lim fncosi sin0,limnnarglim 1n2.3欧拉公式在数学中的应用在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中 很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。2.3.1公式证明和应用n1.证明棣莫弗(de Moivre)公式4 cosnx isin nx (cosx i Sin X)；ix证明：由欧拉公式 e cosx isinx可知:neix(cosx isinx)即inxe cosnx isinnx，所以有 cosn

10、x isinnx2.用欧拉公式和棣弗公式证明 4:n(cosx isinx)xcos a,e cos(xsin a)e'cosasin(xsin a)nxcos na; n 0 n!nxsi nnan o n!证明：令z cosaisina,由欧拉公式可知z (cos a i sin a) e ecosa i sinacosaisi n(sin a)e e e(cos(si na)xz x(cosa isin a) x cosa ixsina xcos a,即 e ee e e (cos(xs ma) i si n( xs in a)xcosa.x cosa.ecos(xsin a)

11、e i sin(xsina)又由于：nixze(xz)n 0 n!x (cosna isinna)n!cosna n0Xn比较实部和虚部的到sin na n丁 Xx cosaecos(xsin a)nxcosna; n!e'cosasi n( xsi n a)0nxsin na n o n!2.3.2定义证明和应用3.证明复数z的正弦函数和余弦函数izizsin z ee2i,coszizize 2e .2证明：由欧拉公式ixecosx i sinx 可得，ixeixecosx i sin xcosx i sin xixcosx从而得到sin xixe e2ix.对于任意的实数ixix

12、e e2ix成立，这两个公式中的x代以任意复数z后,由ezx iyee (cos yisiny），右端有意义，而左端尚无意义，因而有:izsin ziz匕izizize e2i4.求 sin(12i)的值2:解:sin(1 2i)i(1 2i)e2e (cosii(1 2i)e2i2i sini) e (cosi isini)2i2 2i ecosi22 2e一sin 12cosh2s ini i sin h 2 cosi此式为复数解正弦函数3结束语ix对于欧拉公式 e cosx isinx,在这里用了五种不同的方法证明其的成立，也举了几个列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，主要是提供一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙， 对于幕级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幕级数的展开用得比较多。在下面所举的两类应用中，都e 1也就不是用到欧拉公式