复变函数与积分变换第4章级数

1、4.1 复数项级数复数项级数4.2 幂级数幂级数4.3 泰勒泰勒(taylor)级数级数4.4 洛朗洛朗(laurent)级数级数第第 四四 章章 级级 数数& 1. 复数列的极限复数列的极限& 2. 级数的概念级数的概念4.1 复数项级数复数项级数 1. 复数列的极限复数列的极限定义定义,), 2 , 1(nnnnibaznz其中设复数列：，ibaz又设复常数：又设复常数：时的极限，当称为复数列那么，恒有若nzzzznnnnn, 0, 0定理定理4.1.lim,limlimbbaazznnnnnn.,limzzzznzznnnn收敛于此时，也称复数列时，或当记作2. 级数的概

2、念级数的概念nnnzzzz211niinnzzzzs121级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和称为级数的和称为级数的和ssnn lim称为收敛级数1nnz不收敛不收敛称为发散级数1nnz-无穷级数无穷级数定义定义), 2 , 1(nibaznnn设复数列：设复数列： 收收敛敛若若部部分分和和数数列列ns例例1解解的敛散性。的敛散性。判别判别 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和为为级级数数收收敛敛定理定理4.2都收敛。和收敛级数111nnnnnnbaza 由定理由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛

3、问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。得出由定理 . 4. 0lim:nnz收敛的必要条件级数1nnz定理定理4.3定理定理4.4.1111nnnnnnnnzzzz收敛，且收敛若证明证明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaibaz收敛。得由定理均绝对收敛，和由比较判定法1112nnnnnnzbaa 收收敛敛. .收收敛敛若若11nnnnzz?)1(:(1 nnni例例如如定义定义.11111条件收敛为收敛，则称发散，而若为绝对收敛；收敛，则称若nnnnnnnnnnzzzzz由定理由定理4.4的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式 :22有有nnnn

4、baba 推论推论都收敛。和收敛级数111nnnnnnbaz解解.)1(111)1(1121发发散散收收敛敛，发发散散， nnnninnn绝绝对对收收敛敛。收收敛敛， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛， nnnnnnninn例例2否否绝绝对对收收敛敛？下下列列级级数数是是否否收收敛敛？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条件件又又 nnn例例3解解的敛散性。的敛散性。讨论讨论 011nnien 1111cossin11

5、1cos,1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben 数 列收 敛 ,且 有& 1. 幂级数的概念幂级数的概念& 2. 收敛定理收敛定理& 3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径& 4. 收敛半径的求法收敛半径的求法& 5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数幂级数1. 幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( ndzzfn-称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的

6、和项的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-级数的部分和级数的部分和,)1()(lim),(,)1(),()(lim000000发发散散不不存存在在，称称级级数数其其和和为为收收敛敛在在称称级级数数若若zszszzszsdznnnn 若级数若级数(1)在在d内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数)()()()(21zfzfzfzsn -级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz当当称为幂级数称为幂级数并并不不失失一一般般性性。研研究究级级数数

7、中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2. 收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1 (阿贝尔阿贝尔(able)定理）定理）.,)0(000级级数数必必绝绝对对收收敛敛的的则则对对满满足足收收敛敛在在若若级级数数zzzzzzcnnn .,00级级数数必必发发散散的的则则对对满满足足发发散散若若级级数数在在zzzzz ,2,1 ,0,max00202010 nmzczczczccmnnnn故故取取 证明证明，即即则则收收敛敛0lim,)1(000 nnnnnnzczc nnzcnnn000，恒恒有有，1,0

8、0 qzzzz则则若若,00nnnnnnmqzzzczc ,0收收敛敛由由于于 nnmq,0收收敛敛由由比比较较判判别别法法得得 nnnzc绝对收敛。绝对收敛。 0nnnzc(2)用反证法，用反证法，收敛，收敛，有，有设设 01011,nnnzczzz！收收敛敛与与假假设设矛矛盾盾，得得证证知知由由 00)1(nnnzc3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处在复平面上处处收敛。处收敛。(ii )除除z=0外，对所有的正实数都

9、是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。., 0, 0)(00发发散散使使得得收收敛敛使使得得 nnnnnncciii .)3(:)3(:发发散散数数外外，级级在在圆圆周周收收敛敛；内内，级级数数定定理理，在在圆圆周周由由 zczcable显然，显然， 否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色， 逐渐变逐渐变大，在大，在c c 内部都是红色内部都是红色, , 逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝外部都是蓝色，色，红、蓝色不

10、会交错。红、蓝色不会交错。故故蓝蓝两两色色的的分分界界线线。为为红红、一一定定,rzcr ：rrca ( (i) )幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cr叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径r叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为r的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范

11、围是以z0为中心为中心,半径半径为为r的圆域的圆域.4. 收敛半径的求法收敛半径的求法的的收收敛敛半半径径求求法法，有有关关于于幂幂级级数数)3(0 nnnzc根值法根值法 000/1limrcnnn，则则若若比值法比值法 000/1lim1rccnnn，则则若若例例1的收敛范围及和函数。的收敛范围及和函数。求幂级数求幂级数 nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn 时，时，当当., 0lim1级级数数发发散散时时，当当 nnzz 综上综上 .1;111,0时时当当发发散散时时当当且且和和函函数数为为收收敛

12、敛zzzznn例例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnznnncc1lim 1)1(lim pnnn1 r,1时时当当 z,1时时当当 z,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2,1上上在在圆圆周周 z 1122,1nnnnnz是是收收敛敛的的该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算2010)()(rrzgzbrrzfzannnnnn 设设rzzg

13、zfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min(21rrr 其中：其中：rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算rzgrzzgrzzazfnnn )()(,)(0内内解解析析，且且在在设设rzzgazgfnnn 0)()(-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算a 幂级幂级数的代换运数的代换运算在函数展算在函数展成幂级数中成幂级数中很有用很有用.例例3.)(10abazcbznnn 这这里里，复复常常数数的的幂幂级级数数，表表成成形

14、形如如把把解解)()(11abazbz 代换代换 abzgabazab1)(11111rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122 abzgabazababazbz1)(11111)()(11razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()(11)(11111232代换代换展开展开还原还原q分析运算分析运算定理定理4rzzfzcnnn )(0设设.)()(内内解解析析在在rzzfi rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()( )(zdzcdzzcdzzfiiincnncnnnc 00)(

15、)(-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算 0101)(nnnznzcdf 或或razcrz ,& 1. 泰勒展开定理泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式4.3 泰勒泰勒(taylor)级数级数1. 泰勒泰勒(taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函解析函数在解析点能否用幂级数表

16、示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）,2, 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfrzzdzrdzdzfnnnnn其其中中时时当当上上各各点点的的最最短短距距离离的的边边界界到到为为内内解解析析在在区区域域设设级数的处在taylorzzf0)(dk 0z rz

17、kdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析：分析：代入代入(1)得得dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，比比较较)2)(21)( kdzfizf 又又) 1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得证！得证！nnnzzzf)()

18、()(0010 收收敛敛圆圆周周上上. .只只能能在在收收敛敛半半径径还还可可以以扩扩不不然然的的话话, ,不不可可能能在在收收敛敛圆圆外外, ,奇奇点点又又不不可可能能在在收收敛敛圆圆内内. .所所以以奇奇点点圆圆内内解解析析在在收收敛敛这这是是因因为为在在收收敛敛圆圆上上, , 奇奇点点因因此此, ,大大, ,)()2(zfa 000,)()()(zrzfzrtalorzzfzf即即之之间间的的距距离离, ,的的最最近近的的一一个个奇奇点点到到等等于于从从展展开开式式的的收收敛敛半半径径的的在在解解析析点点那那么么有有奇奇点点, ,若若( (1 1) )2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结

19、论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的taylor级数级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？级数为：时当taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-间接法间接法直接通过计算系数直接通过计算系数:由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成taylor级数的方法：级数的方法：), 2

20、 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn.!3!21), 2 , 1 , 0(1)(3200)( renzzzzeneeznzzzznz该该级级数数的的收收敛敛半半径径在在复复平平面面上上解解析析3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展展开开式式的的在在求求talorzzzezfz 例例1 解解 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 rzz它们的半径它们的半径在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 112111212!)!12()1(!)!12

21、(221kkkkkkkzkzii 1121753!)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzzza 上述求上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01)3(逐逐项项积积分分得

22、得的的展展开开式式两两边边沿沿将将的的路路径径内内任任意意取取一一条条从从在在收收敛敛圆圆cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn znnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1定理定理.)()()2(.)()()() 1 (0000幂级数内可展成在内解析在区域函数幂级数的某一邻域内可展成在解析在点函数dzfdzfzzczzfzzfnnn解析在点小结：0)(zzf级级数数。的的某某一一邻邻域域内内可可展展成成幂幂在在点点。正正向向封封闭闭路路线线的的积积分分为为邻邻域域内内的的任任一一条条的的某某一一邻邻域域内内连连续续且且沿沿在在点点方方程程。且且满满足足导导数

23、数的的某某一一邻邻域域内内有有连连续续偏偏的的实实部部和和虚虚部部在在点点的的某某一一邻邻域域内内可可导导。在在点点0000)()4(0)()3()()2()()1(zzfzzfrczzfzzf &1. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数&2. 展开式的唯一性展开式的唯一性4.4洛朗洛朗(laurent)级数级数 由由4.34.3 知知, f (z) 在在 z0 解析解析，则，则 f (z)总可以总可以在在z0 的某一个圆域的某一个圆域 z - z0r 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数。的幂级数。若若 f (z) 在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就

24、不可能展开成的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 r1z - z0 r2 内解析，内解析，那么，那么，f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，.11010:,1, 0)1(1)(内内处处处处解解析析及及圆圆环环域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10时时当当 )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz时时当当 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在r 1z - z0r2 内解

25、析内解析, , f (z) 可可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。1. 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnn

26、zzczzcczzczzczzc-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常数都是常数及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn负幂项部分负幂项部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为r2 ， 则级数则级数在在 z - z0 = =r2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+; 在在z - z0=r 2外发散。外发散。 则则若若令令对对于于级级数数,1),3(0zz 级级数数发发散散。级级数数收收敛敛则则当当设设

27、其其收收敛敛半半径径为为为为幂幂级级数数级级数数对对变变数数rrr ,)4() 4()(221110 nnnnnnnncccczzc )4(,11,1100则则级级数数代代回回得得将将令令rrzzzz .;)(,1010发发散散当当且且和和为为收收敛敛当当rzzzsrzz z0r1r2有有公公共共收收敛敛域域21rr z0r2r1无无公公共共收收敛敛域域21rr 。且和且和收敛收敛称称，此时，此时，区域即圆环域：区域即圆环域：有公共收敛有公共收敛及及时，级数时，级数当且仅当当且仅当 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcrzzrrrnnn.)()4(2010以以逐逐项项求

28、求积积和和逐逐项项求求导导和和函函数数是是解解析析的的而而且且可可内内的的在在级级数数rzzrzzcnnn a 02100)3(zzrr：，收收敛敛域域为为此此时时可可以以可可以以。，发发散散处处处处称称时时当当 nnnzzcrr)()1(021(2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界z - z0=r1, z - z0 =r2上上, , nnnzzc。点点收收敛敛，有有些些点点发发散散可可能能有有些些)(01. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的的任任何何一一条条简简单单闭闭曲曲线线内内绕绕是是其

29、其中中则则内内解解析析在在设设zdcndzzzzficzzczfrzzrdzfcnnnnn 级级数数内内的的在在称称为为laurentrzzrdzf201:)( 展展开开式式内内的的在在称称为为laurentrzzrdzf201:)( 证明证明 由复连通域上的由复连通域上的cauchy 积分公式：积分公式：dz0r1r2rrk1k2d1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 记为记为i1记为记为i2，时时，当当1002 zzzk ，时时，当当记记为为1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfii 的的推推导导得得：重重

30、复复 3 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfii :,2)(1逐项积分得逐项积分得并沿并沿两边乘以两边乘以kif 式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，在行的，在d内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：), 2, 1, 0()

31、()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。a .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的内不是处处内不是处处在在相同相同形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数时时当当czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么展成级数，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ laurent ）级

32、数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfrzzrdzf可可表表示示为为内内解解析析，在在设设 nnnzaf)()(0 dz0r1r2cczdc 的的简简单单闭闭曲曲线线，内内任任何何一一

33、条条绕绕为为设设0的的正正向向积积分分得得：并并沿沿为为任任一一整整数数将将上上式式两两边边乘乘以以cpzp),()(110 dz0r1r2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,级级数数就就是是展展开开成成级级数数在在圆圆环环域域内内解解析析的的函函数数由由此此可可知知laurent nnnzaf)()(0 a 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成laurent级数，可级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的laure

34、nt展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求laurent系系数的方法。数的方法。.03级级数数内内展展开开成成在在将将laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解例例3解解.01级级数数内内展展成成在在将将laurentzez nttntte!1! 2112在在复复平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z ! 4! 31! 211123nzzzzzn例例4级级数数。的的内内展展开开成成（在在以以下下圆圆环环域域将将laurentzziiiziizizzzf02)(;21)(; 10)2)(1(1)(0 xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（解解:zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故12110)( zzzi 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn没没有有奇奇点点2112111