因数与倍数应用题答案

1、因数与倍数应用题答案一、求因数的个数类应用题1、筐内有 96 个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地 拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少 , 共有多少 种拿法 ?分析解答：依题意，每次拿出的苹果数 X 拿的次数 =96, 这个等式 说明了什么呢说明了每次拿的苹果数和拿的次数 是 96 的因数（或约 数），这样一分析，我们就知道解答此题 实际上是要求 96 的因数分 个数有多少个。96=3X25, 因因数个数定理公式知： 96 的因数个数是 :（1+1） X （5+1） =12 个;12 个因数包括了 1 和 96 这两个因数，题目要求不能一次 拿完， 即： 1 次 X96 个=

2、96 个，这种情况要排除；同时也不 能一个一个地 拿，即： 96 次 XI 个 =96 个也要排除；所以共有： 12 2=10 （种）拿法。2、（1996 年日本算术奥林匹克竞赛）有 50 张卡片，分别写着 1 一 50 这 50 个数字，正反两面写的数字相同， 卡片一 面是红， 一面是蓝，某班有 50 名学生，老师把 50 张卡片中 蓝色的一面朝上 摆在桌子上，对同学们说：“请你们按学号 学号 就把它翻过来，蓝翻红 , 红翻 那么 的倍 蓝” 当每 顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：凡是卡片上的数是自己 个同学都翻完后，红色朝上的卡片有几张 ?分析解答：由“凡是卡片上的数是学号的倍数，把它翻过

3、 来”知 道，卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的 , 卡片上的数的因 数个数是几，就翻动几次。那么一张卡片翻 动几次红色朝上呢我们 需要找规律，怎样找规律呢老师讲过从特殊到一般找规律。我们要一下找出 50 张卡片的规 律有困难，我们只研究一张卡片。开始时是“蓝色朝上”一 一翻动 一次，红色朝上；一一翻动两次蓝色朝上（还原到原 来的状态）一 一翻动3次又的红色朝上一一翻动4次蓝色朝 上;从中找到规律： 翻动奇数次的卡片是红色朝上的 ;翻动偶数次的卡片是蓝色朝上。下面思考， 150 这 50 个数中那 些数的因数个数是奇数我们学习了因数的个数定 理：一个完全平方 数的因数是奇数个， 其它的数

4、的因数是偶 数个（包括 1 和自身因数）， 这样问题就得到了解决，看 150 中那几个数是完全平方数，显然只有： 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49o 下面的问题就是怎么叙述解答过程 ,关于怎么叙述问题，这是现在五年级学生面临的一个难 点，因为 此题的解答过程包含证明推理，而命题的证明要到 初中二年级才开 始学习。为了家长帮助学生建立这方面的能 力，什么是推理和证明 推理是反映从已知判断得出新的判断 的思维形式。一般地讲逻辑推 理只有两种形式，即：假设判 断一一如果 A 推出 B （大前提），如 果有 A 这个条件（小前 提），则必定有 B （结论）；第二种形式就 是选言判断，或者

5、B 成立或者 B 的否定成立（大前提），如果 B 的否定不成立 ,（小前提），则必有 B 成立（结论）。数学问题解答过程虽然 不必 规定唯一的叙述形式， 但应有统一的要求， 即叙述形式 应合乎逻辑。 五年级学生没有学习命题的证明，只要能够把 推理的过程说清楚就 可以了，现在说明推理的过程是有一定 的困难，不要紧，从现在去 慢慢练习，也为上中学作准备。F 面叙述如下 :解答示范：每张卡片翻动奇数下红色朝上，根据规则，凡 是卡片上的数是学生学号的倍数，就把卡片翻动一次。也就 是 1-50 这 50 个数它有多少个因数，卡片就翻动它的因数个次数。因为完全平方数的因数个数是奇数， 1 50 中完 全平

6、方数 "，4, 9, 16, 25, 36, 49”的因数是奇数个， 这些卡片被翻动了奇数次，所以，红色卡片朝上的一共有 7 张，它们 分别是：写有数的 "，4, 9, 16, 25, 36, 49 ”卡片。3、在 100 至 300 之间，只有三个因数的数是多少 ?分析及解答：通过上面一题的解答，我们知道“完全平方 数的因 数个数是奇数个”, 100 至 300 之间的数的因数个数只 有 3 个的数一 定是完全平方数。但要清楚是不是完全平方数 的因数都是 3 个呢我 们研究一下， 42=16 是完全平方数，它 的因数个数是： 42=24, 根据 学习过的因数个数定理： 1

7、6 的 因数个数是： 4+25 个。同学们发现 什么规律没有一一只有质数的平方的数的因数是 3个，女口 22, 32, 52, 72, 112, 132,我们 把问题转化为求 “100至 300 之间有那几个 数是质数的平方的数”。解答：因为只有质数的平方的数的因数是 3 个，在 100 至 300 之 间只有 7 个完全平方数 : 112, 122, 1.72, 但只有11, 13, 17 是质数。所以只有 112=121, 132=169, 172=289 这三个数 的因数是 3 个。二、分解质因数类应用题1 、有 4 个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大 1 岁， 并且他 们年龄的乘积是

8、 360,那么其中年龄最大的一个是多 少岁？分析解答一一像这种题，有的地方中考都出过，主要考察 学生灵 活运用知识的能力。对于小学生此题解答的思考不会 出现干扰，但 中学生因为方程的知识比较牢固，认为问题中 的数量关系明显，列 方程解答一定能够解出来。设 4 个人的 年龄分别是： X, X+l, X+2, X+3 列方程 X（ X+l ）（ X+2 ）（X+3）=360, 这个方程是高次方程，一般中学生是解不出 来，只有学习了奥数的同学才有办法解答。下面用学习过小 学奥数 “转化的思想”老师解答一下，再次说明，学习数学 要学习数学方 法，看看小学奥数学习过的“转化数学思想”的作用。X高次（X+

9、l）方程把它转化学习过的知识处理：初中一元二次方程。原方程变形为：（X2+3X） （X2+3X+2 ） 360=0 ；（X2+3X） 2 +2 （X2+3X ） 360=0上面转化为我们学习过的一元二次方程了，这中关键的一步。设：（X2+3X）= Y, BP: Y2+2Y 360=0,解答 Yl= 20（舍去）,Y2=18 ；因假设知：（X2+3X） =18,解这个一元二次方程：Xl= 6（舍去）,X2=3这样4个人年龄中最大的是：X+3=6岁。方法二，分解质因数方法从上面解答过程看，用代数的方法解答过程是复杂的，有时，在解答数学问题中，算术方法更为简便。这在中学处理有些问题中也经常用到。特别

10、是在解答选择和填空题时。360=23X32X5 ；数然后按,咗上360=3X4X5X6 ；显然最大的年龄是6岁。2, 某班王老师带领全班同学去植树，学生恰好平均分成三组，如果老师与同学每人植树一样多，则共植树572棵，那么这个班有学生多少人，每人植树多少棵？分析解答一依题意知道，植树总数二每人植树棵数X师生总数,师生总数二每组学生数 X3 组 +1 名老师，说明师生总数除以 3, 余数是572=2X2X11X13,依题意，把分解得到是质因数进行组合得 :572=11X52=11X ( 51+1)因此，这个班学生 51 人，每人植树口棵；注意: 572=44 X 13=44 X (12+1),

11、这里，全班人数 12 人, 老师 1 人，每人植树 44 棵情况不符合题意 个班学生 人数应该不是 12 人 ;三、奇数与偶数类应用题自然数按奇偶性分类，分为奇数与偶数，利用奇数和偶数 的性质 可以解决一些有趣的问题。奇数与偶数的性质奥数教材第 21 页进行了归纳，这些性 质要熟记。 几点要注 j1, 偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数；2, 在运算中，加法与减法运算结果的的奇偶性不变。也 就是： 偶数个奇数的差是偶数，奇数个奇数的差仍然是奇数 ;3、奇数工偶数例题 4 9 只杯子全部口朝上，每次翻动其中的 4 只杯子 , 能否经过若干次翻动，使 9 只杯子开口全部朝下 ?分析解答一一

12、由题目知道，每次翻动 4 只杯子，翻动若干 次，那么具体一共翻动的次数的确切数是无法确定的。审题 后要知 道，一个问题只能用奇偶性解决。我们先研究一只 杯子，翻动 1 次 口朝下，翻动2次口朝上，翻动3次口朝下，每只杯子要口朝下必须翻动奇数次，这样问题就找 到了解答的方案。叙述解答过程：每只杯子只有翻动奇数次口才能朝下，要 使 9 只 杯子口全部朝下，翻动的总次数是 9 个奇数的和。因 为奇数个奇数 的和是奇数，所以，翻动的总次数是奇数。依 题意，每次翻动 4 只 杯子，翻动的总次数是 4 的倍数，这个 总次数是偶数，前后矛盾， 即奇数工偶数， 所以，无论怎么 翻动， 都不能使 9 只杯子的口

13、朝下。例题 2 （奇偶性中的周期问题）一个会议室有 9 盏灯，从1 一一 9 依次编号，开始时，只有编号是 2, 6, 9 的灯是亮着 的，一 个同学按 1 一一 9,再按 1 一一 9 顺序不停地拉动开关 , 一共拉了 300 下，这时编号是几的灯是不亮着的。分析解答一一每盏灯拉动开关奇数下改变原来的状态，即 暗的变 亮，亮的变暗。3004-9=33 3,所以， 1, 2, 3 号灯拉动了 34 次，拉了偶数下，不改变原来的状态，即原来是亮的仍然亮，原来 是暗的 仍然暗； 4, 5, 6, 7, 8, 9 拉了 33 下，是奇数下， 改变原来的的状态， 原来亮的变暗，原来暗的变亮。所以不 亮

14、的灯是： 1, 3, 6, 9 号。四，数的倍数（整除）类应用题数论问题是数学“王国”中最有趣的数学知识，无论你的 学历高 低都能够研究这部分的内容，通过对数论的研究，可 以训练人的分 析问题和逻辑推理能力。 要熟练地解答整除问 题类应用题， 必须对 2, 5； 4, 25； 8, 125； 3, 9； 7, 11, 13 倍数的数的特征（或能够被以上 数整除的数的特征）十分清楚，并能够把知识灵活运用。例题 1 （奥数教材第 29 页练习 3） 六一儿童节快到了，四（2） 班的同学分成 4 组做绸花，每个小组做的绸花一样多 ,马大哈统计了一下说“还是人多力量大， 大家一共做了 246 朵绸花”

15、， 马大哈统计对了吗为什么？分析解答一一四 （ 2）班同学做的花总数二每个组做的花X4, 花的总数是 4 的倍数；下面就看 246 朵是不是 4 的倍数 , 问题就解决了。答：马大哈统计错了。因为，花的总数二每个组做的花 X4, 花的总 数是 4 的倍数； 4 是倍数的数的特征是末两位数的 4 的倍数，而 246 的麦两位数 46 不能被 4 整除， 246 不是 4 的倍数，所以，马大哈统 计错了。例 2 、有 72 名学生，共交课间餐费元 , 平均每人交多少元 ?分析解答 _把课间餐费化为分，则总钱数 A527B （分） 一定是总 人数 72 的倍数，又 72=8X9, 所以， A527B

16、 是 8 和9 的倍数。根据 8 的倍数特征：一个数的后三位组成的数是8 的倍数，这个数就是 8 的倍数。即： 27B 是的的倍数，只有B=2,这个数变为了 A5272,又这个数是9的倍数，它的各位数字之和是 9 的倍数， A+5+2+7+2=A+16, 所以， A=2,72 名学生的课间餐费总数是： 25272 分；平均每个同学交 : 252724-72=351 （分） =（元）例题 3 （奥数教材第 34 页练习 4）、新学期开学了，学校 为了使 同学们有一个更加方便的读书环境，新买了 18 个书架，可是会计不小心把发票给弄污了，单价只剩下 2 个数字a2*0元”，总价也只剩下2个数字人*4*8*元”你能帮助算出单价和总价吗 ?分析解答一一由题意，总价一定是 18 的倍数，又 18=2X9,总价一定能