复变函数与积分变换第二版本6.2 共形映射基本问题ppt课件

1、1第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 6.2 共形映射的根本问题共形映射的根本问题 一、问题一一、问题一 二、问题二二、问题二(根本问题根本问题) 2第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 一、问题一一、问题一 的函数的函数 求象集合求象集合 对于给定的区域对于给定的区域 D 和定义在区域和定义在区域 D 上上 , )(zfw . )(DfG 1. 保域性定理保域性定理 定理定理 设函数设函数 在区域在区域 D 内解析，且不恒为常数，内解析，且不恒为常数， )(zfw 那么其象集合那么其象集合 依然为区域。依然为区域。 )(DfG 证明证明 ( (略略) ) 意义意义 保域性定

2、理将解析函数的象集合的求解问题变成了保域性定理将解析函数的象集合的求解问题变成了 求象区域的问题。求象区域的问题。 P140定理定理 6.2 3第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 GCD一、问题一一、问题一 2. 边境对应原理边境对应原理 定理定理 设区域设区域 D 的边境为简单闭曲线的边境为简单闭曲线 C，函数，函数 在闭域在闭域 )(zfw 上解析，且将曲线上解析，且将曲线 C 双方单值地映射为简单双方单值地映射为简单 CDD 闭曲线闭曲线 .当当 沿沿 C 的正向绕行时，相应的的正向绕行时，相应的 的绕行的绕行 zw方向定为方向定为 的正向，的正向， 并令并令 G 是以是以 为

3、边境的区域，那么为边境的区域，那么 将将 D 共形映射为共形映射为 G。 )(zfw G1z2z3z1w2w3w1w2w3w证明证明 ( (略略) ) P140定理定理 6.3 4第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 意义意义 边境对应原理进一步将解析函数的象区域的求解问题边境对应原理进一步将解析函数的象区域的求解问题 变成了求象曲线的问题。变成了求象曲线的问题。一、问题一一、问题一 2. 边境对应原理边境对应原理 定理定理 设区域设区域 D 的边境为简单闭曲线的边境为简单闭曲线 C，函数，函数 在闭域在闭域 )(zfw 上解析，且将曲线上解析，且将曲线 C 双方单值地映射为简单双方单

4、值地映射为简单 CDD 闭曲线闭曲线 .当当 沿沿 C 的正向绕行时，相应的的正向绕行时，相应的 的绕行的绕行 zw方向定为方向定为 的正向，的正向， 并令并令 G 是以是以 为边境的区域，那么为边境的区域，那么 将将 D 共形映射为共形映射为 G。 )(zfw 5第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 一、问题一一、问题一 3. 求象区域的普通方法求象区域的普通方法 那么有那么有 设函数设函数 在闭域在闭域 上解析，且为一一映射。上解析，且为一一映射。 )(zfw CDD ,)(, )()(tytxuu ,)(, )()(tytxvv (1) 令令 ,viuw ,yixz , ),(y

5、xuu ; ),(yxvv ( A ) , ),(vux . ),(vuy ( B ) (2) 求边境曲线求边境曲线 C 的象曲线的象曲线 . , )(tuu . )(tvv 即得象曲线即得象曲线 的方程的方程 ( (参数式参数式) ) , )(txx , )(tyy 假设假设 C 的方程为的方程为 ( (参数式参数式) ) 由由(A) 式式 补补 6第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 由由(B) 式式 ,0),(, ),()( vuvuF 即得象曲线即得象曲线 的方程的方程 ( (方程式方程式) ) .0),( vuF 假设假设 C 的方程为的方程为 ,0),( yxF( (方程式

6、方程式) ) 一、问题一一、问题一 3. 求象区域的普通方法求象区域的普通方法 那么有那么有 设函数设函数 在闭域在闭域 上解析，且为一一映射。上解析，且为一一映射。 )(zfw CDD (1) 令令 ,viuw ,yixz , ),(yxuu ; ),(yxvv ( A ) , ),(vux . ),(vuy ( B ) (2) 求边境曲线求边境曲线 C 的象曲线的象曲线 .7第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 (3) 求象区域求象区域 . 方法一方法一 沿边境沿边境 C 的正向找三点，调查象点的走向。的正向找三点，调查象点的走向。 方法二方法二 在区域在区域 D 的内部找一点，调

7、查象点的位置。的内部找一点，调查象点的位置。 留意留意 对于详细的函数，将还会有一些特殊的方法。对于详细的函数，将还会有一些特殊的方法。 一、问题一一、问题一 3. 求象区域的普通方法求象区域的普通方法 那么有那么有 设函数设函数 在闭域在闭域 上解析，且为一一映射。上解析，且为一一映射。 )(zfw CDD (1) 令令 ,viuw ,yixz , ),(yxuu ; ),(yxvv ( A ) , ),(vux . ),(vuy ( B ) (2) 求边境曲线求边境曲线 C 的象曲线的象曲线 .8第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 (1) 由由 有有 ,1izw 解解 ,1iwz

8、 那么有那么有 iviuyix 1,2222iivuvvuu ,viuw ,yixz 令令 .2222vuvvuy ,22vuux )(zCDxy 9第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 (1) 解解 .2222vuvvuy ,22vuux )(zCDxy (2) 求边境曲线求边境曲线 C 的象曲线的象曲线 .由由(1) 式式 即得象曲线即得象曲线 的方程为的方程为 曲线曲线 C 的方程为的方程为 ,0 yx,022 vuvu.222121222)()()( vu)(w1 10第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 G(1) 解解 .2222vuvvuy )(zC,22vuux

9、(2) 求边境曲线求边境曲线 C 的象曲线的象曲线 .)(w0z(3) 求象区域求象区域 . 代入函数代入函数 ,1izw 在在 D 的内部取一点的内部取一点 方法一方法一 ,0iz ,210iw 得到象点得到象点 故象区域故象区域 G 在曲线在曲线 的的“内部。内部。 0wDxy 1 11第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 G(1) 解解 .2222vuvvuy )(zC 1z2z3z,22vuux (2) 求边境曲线求边境曲线 C 的象曲线的象曲线 .)(w(3) 求象区域求象区域 . 在在 D 的边境上取三点：的边境上取三点： 方法二方法二 故象区域故象区域 G 在曲线在曲线

10、的的“内部。内部。 ,1 z,12iz ,03 z3w1w,01 w,12 w,3iw 后续讨论后续讨论 将会看到将会看到 仅此一步仅此一步 就足够了就足够了 Dxy 1 2w12第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 解解 设区域设区域 D 的边境为的边境为 C ， ,e iz 其中其中 .20: (1) 在在 的映射下，的映射下， z iw 曲线曲线 C 对应的对应的 iiwe 其中其中 .222: )2(ei ,e i 象曲线象曲线 的方程为的方程为 即得象区域即得象区域 G 如下图。如下图。 G)(w1那么那么 C 的方程为的方程为 CD)(z113第六章 共形映射 6.2 共形

11、映射的基本问题 曲线曲线 C 对应的对应的 iwe/1 其中其中 .20: )(e i,e i 象曲线象曲线 的方程为的方程为 即得象区域即得象区域 G 如下图。如下图。 G(2) 在在 的映射下，的映射下， wz1)(w1解解 设区域设区域 D 的边境为的边境为 C ， 那么那么 C 的方程为的方程为 ,e iz 其中其中 .20: CD)(z114第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 二、问题二二、问题二(根本问题根本问题) 对给定的区域对给定的区域 D 和和 G ，求共形映射，求共形映射 , )(zfw . )(DfG 使使 1. 黎曼存在独一性定理黎曼存在独一性定理 设设 D

12、和和 G 是恣意给的的两个单连域，在它们各自的边境是恣意给的的两个单连域，在它们各自的边境 定理定理 上至少含有两个点，上至少含有两个点， 那么一定存在解析函数那么一定存在解析函数 , )(zfw 将区将区 恣意指定一点恣意指定一点 和和 0z,0w并任给一个实数并任给一个实数 , )(00 要求函数要求函数 )(zfw 满足满足 且且 00)(wzf ,)(arg00 zf映射映射 的函数是独一的。的函数是独一的。 )(zfw 那么那么 域域 D 双方单值地映射为双方单值地映射为 G。 假设在区域假设在区域 D 和和 G 内再分别内再分别 证明证明 ( (略略) ) P142定理定理 6.4

13、 15第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 对给定的单连域对给定的单连域 D , 求共形映射，求共形映射， 使得使得 D 映射为单位圆域。映射为单位圆域。 )(w二、问题二二、问题二(根本问题根本问题) 对给定的区域对给定的区域 D 和和 G ，求共形映射，求共形映射 , )(zfw . )(DfG 使使 2. 根本问题的简化根本问题的简化 现实上，由此即可求得恣意两个单连域之间的共形映射。现实上，由此即可求得恣意两个单连域之间的共形映射。 )(z)( )(zf记为记为 )()(1zghw 附：关于存在性与独一性的补充阐明。附：关于存在性与独一性的补充阐明。 ( (实习实习) ) P

14、( (存在性与独一性的补充阐明存在性与独一性的补充阐明) )16第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 休憩一下17第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 附：关于存在性与独一性的补充阐明附：关于存在性与独一性的补充阐明 1. 关于存在性关于存在性 那么不存在解析函数那么不存在解析函数 , 假设区域假设区域 D 为以下情形之一：为以下情形之一： (1) 扩展复平面扩展复平面 ; (2) 复平面复平面 ; (3) 扩展复平面上除去一个有限点扩展复平面上除去一个有限点 ,0z使使 D 共形映射为单位圆域。共形映射为单位圆域。 , )(zfw 证明证明 假设存在函数假设存在函数 将将 D

15、 共形映射为单位圆域共形映射为单位圆域 ,1| w那么那么 在整个复平面上解析且在整个复平面上解析且 1| )(| zf)(zfw ( (即有界即有界), ), 根据刘维尔根据刘维尔(liouville)定理定理( 见见3.4 )， )(zf必恒为常数。必恒为常数。 这显然不是所要求的映射。这显然不是所要求的映射。 其中，情形其中，情形 (3) 可利用映射可利用映射 转化为情形转化为情形 (2)。 01zz P141 18第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 附：关于存在性与独一性的补充阐明附：关于存在性与独一性的补充阐明 2. 关于独一性关于独一性 普通说来是不独一的。普通说来是不独一的。 对于恣意给定的实常数对于恣意给定的实常数 ,0 比如比如 函数函数 将单位圆域将单位圆域 依然映射为单位圆域。依然映射为单位圆域。 0e izw ( (港饼港饼) ) P142 还可以这样还可以这样 ? ?19第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题 附：关于存在性与独一性的补充阐明附：关于存在性与独一性的补充阐明 设设 D 和和 G 是恣意给的的两个单连域，在它们各自的边境是恣意给的的两个单连域，在它们各自的边境 那么一定存在解析函数那么一定存在解析函数 定理定理 上至少含有两个点，上至少含有两个点， , )(z