量子电子学-环形激光器

1、 激光器半经典理论-极化强度 不考虑原子间的 相互作用 空间傅里 叶变换 激光器的半经典理论 aa = a a aa ( ba ab V (t i 单模密度矩阵非对角元的求解 ab = (i0 + ab + ( aa bb V (t ab (t = e (i + t V (t ( aa bb e (i + t dt 0 0 密度矩阵的运动方程 bb = b b bb + ( ba ab V (t ab i = (i0 + ab + ( aa bb V (t ba = ( ab * i i i t P = NV ( ab + ba (36 (13 2 L P ( z , t sin k n zd

2、z L 0 空间傅里 叶变换 P = NV ( ab + ba p n (t = 2 expi n t + n (t p n (t = 2 expi n t + n (t (13 2 L P ( z , t sin k n zdz L 0 (19 (20 (36 ab (t = e (i + t E ( z , t ( aa bb e (i + t dt 0 0 i t 速率方程近似 ab (t = e (i + t ( aa bb E ( z, t e (i + t dt 0 0 i t 场的自洽方程组。 1 n 1 n En + En = Im( p n 2 Qn 2 0 1：当E(z,t

3、的量值很小, 2、E(z,t为一单色函 数。 ab (t = 缓变振幅近似 n + n = n 1 n Re( p n 2 0 En ei (nt +n i e i (nt +n En (t e (i0 + t ( aa bb sin kn z + i i 2 ( ( + + n 0 n + 0 转动波近似 静止和运动原子激光器的单模 理论（驻波场） R为速率参数 a Na Nb = 静止和运动原子激光器的工作 特性（单模驻波场） aa bb = 1+ R N ( z = N ( z 1 R + R s Rs 多模运转密度矩阵非对角元的 解微扰法(I 速率方程近似不成立 i ab = (i0

4、+ ab + ( aa bb V (t 一、假定 V(t=0，得到在零级 零级近似中反转粒子数的差值； 一、 (0 ( 0 NV ( aa bb = NV ( a b 小信号反转粒子数 b En = ( n n I n En 1 E R = ( n 2 sin 2 k n z 2 ( 0 n 2 + 2 2 1+ R Rs 激光振荡的阈值条件 In = 2 3 ab 1 (0 n R 劳伦兹线型，线宽为n=2 高斯线型、功率加宽 In = 1 e n =4 n ab 1 + (0 n 2 1 En 1 2 R (v = sin kn z (0 n + kn v + (0 n kn v 4 增益

5、饱和效应 Rs为饱和参数 Rs = a b 2 ab (0 n 2 1 R a a b b = NV N ( z 空间烧孔效应 运动原子的增益烧孔 稳态光强-频率调谐曲线在 谱线中心n=0,处形成高峰 n = n + n n I n 出现兰姆凹陷条件 R 1 + 2 ku 2 二、ab的一级微扰解 (1 = ab t i e (i0 + t E (t sin k z expi t + (t N ( z e(i0 + t dt 2 n 频率的推斥效应 推斥效应 n0n n 频率牵引 转动波近似 缓变振幅近似 多模运转密度矩阵非对角元的 解微扰法(II 三、aa、 bb的二级微扰解 四、ab的三级

6、微扰解 aa = a a aa ( ba ab V (t i 多模运转特性 双模运转的模式竞争 光强的方程为 I1 = 2 I1 (1 1 I1 12 I 2 I 2 = 2 I 2 ( 2 2 I 2 21 I1 ab = (i0 + ab + ( aa bb V (t i En = n En E E E I m ( n e i n 四组稳态解： 五、求解极化强度的三阶近似 五、求解极化强度的三阶近似 P = NV ( ab + ba 2 L p n (t = 2 expi n t + n (t P ( z , t sin k n zdz L 0 n= -+ 1 4 i ( 3 pn (t

7、= i 3 N E E E e n 16 1 + N N 2( + N 2( D(0 + + 1 I1 = 0 I 2 = 0 c= I1 = 0 I2 = 2 2 12 21 1 2 I1 = 1 I2 = 0 1 n + n = n + n E E E E Re( n e 1 n i n 1 I1 = Da ( + Db ( D(0 + D( 0 2 I2 = 1 c 1 c 2 1 耦合系数，模间耦合的强弱 模1的有效增益系数，相当 于模2以2/2的强度振荡 时，模1的增益系数。 1 = 1 2 12 2 = 2 2 1 21 解的稳定性分析、小振动分析法 1 静止和运动原子激光器的耦合

8、 参数 1 N c (2 + 2 2 3 N c与调谐无关，并且对于一切具有一定长 度的增益介质都小于1，此时为弱耦合。 环行激光器和塞曼激光器 一般情况环形激光器的输出为两个频率不同的两个行波。 Zeeman激光器的输出为两个频率不同、偏振态互相垂直的模态。 I + = 2 I + ( + + I + + I I = 2 I ( I + I + = + + + 4、密度矩阵的矢量模型 aa = a a aa ( ba ab V (t i 密度矩阵的运动方程 bb = b b bb + ( ba ab V (t ab = (i0 + ab + ( aa bb V (t ba = ( ab *

9、i i 光强方程 在多普勒极限和对称调谐情况 下，耦合参数C与模间间隔的关 系曲线。在模间隔小时，C1为 强耦合。在模的间隔较大时为弱 耦合。 频率锁定现象 假定二能级原子中电场不依赖于原子坐标，则微扰能算符 矩阵元简化为 1 V (t = E e + c.c i 2 0 nt +=环型激光器中的频率锁定现象与驻波型激光器中的模式锁定现象是有区 别的。在驻波型激光器中，模式锁定是相邻模式的拍频锁定在同一值 上，即相邻纵模频率的间隔相等(2- 1 =3-2，而各纵模的频率是不相 等的。 将V(t舍去c.c部分(转动波近似，并作一些数学运算，得 d 1i E 0 ( aa bb ( ab e iw

10、nt = i ( 0 n + ab e iwnt dt 2 (6 若假设一个新的矢量：R=R1el+ R2e2+ R3e3，它在三个坐 标轴上的分量分别为R1、R2、R3，其 定义为 R1 = ab e iwnt + c.c R2 = i ab e iwnt + c.c R3 = aa bb (7 (8 (9 R1 iR2 = 2 ab e iwnt d R1 iR2 = 2 ( ab e iwnt dt (10 (11 这时方程(12、(13、(14就可合并，得出R矢量的运动方程 R = R + R 驰豫过程,非相干作用 = E 0 e1 ( 0 n e3 (16 R矢量旋进运动如图所示 外

11、场作用,相干作用 将式(6代入式(11，并分别使其实部、虚部相等可得 R1 = ( 0 n R2 R1 (12 R3 对式(9微分, 并利用密度矩 阵运动方程 R2 = ( 0 n R1 R2 + E 0 (13 (14 R3 = R3 E 0 R2 T1 = a = b = 1 T1 上式即为与密度矩阵运动方程等价的光学布洛赫方程，表示了 由密度矩阵元所构成的虚构矢量R在抽象空间(e1, e2, e3中，绕着 有效场作角速度为| | 按顺时针方向的旋进运动，其矢量的模 值逐渐衰减。在R的各分量中包含了原子系综的密度矩阵元,在 分量中包含了入射光场的特性,方程反映了外场作用下原子状态 随时间的

12、变化.因为R3=aa-bb，因此R矢量在e3轴上的投影的大 小反映了介质粒子数反转密度的大小。 当共振 共振时,n=0, = E 0 e1 可以看出，此时密度矩阵的矢量 R将绕e1作旋进动。如考虑是电 子，0，这样矢量R将绕e1 轴作 逆时针方向旋进。如果初始 R3(t=0=1，表示aa-bb =1，粒子 t3 = 处于上能级。而当 时， E 0 R3(t=-1，表示粒子已经跃迁到低 能级，也就反映产生了完全的受 激辐射。 在上述推导中,作了如下假定 (15 (17 非共振 共振时,n0, 则矢量绕有效场作旋进，此时旋进的角频率 为，依顺时针方向旋进。对于电子，为逆时针方向旋进，此 时永远存在

13、e1分量。这样它就永远不可能发生完全的跃迁， 上述用虚构矢量R的这种几何表述给出了处理这类二能级系统 的电磁跃迁的一种方法，适合于辐射场很强而不能使用微扰 理论处理时的情况。 R = R + R E 0 e1 (18 拉比强信号理论 上节讨论了密度矩阵的矢量模型用虚构矢量R就可处理强光 与介质的相互作用。除此之外，强光与介质的作用还可采用 拉比强信号理论来获得精确解。 1、首先讨论单色辐射场很弱时，采用微扰法来求解。前面的 、首先讨论单色辐射场很弱时 讨论中已得出外场为微扰场时，二能级原子系统的几率振 幅 当外场很微弱时，波函数可以表示为 (t = a(t u a e i t + b(t u

14、b e i t a b 将(1、(3、(4三式代入式(2，利用本征函数的正交性，可得 1 E 0 i (0 n t e b(t a (t = 2 i 1 E b(t = i 0 e i (0 n t a (t 2 (5 若原子初始处于激发态即a(0=1, b(0=0，则由于辐射场的作 用，原子会有一定的几率跃迁到基态能级，其几率幅可由式(5 所表示的微分方程组求解而得。 一阶近似 b (1 (t = 1 E 0 e i (0 n t 1 2 0 n 进一步讨论，若原子初始 处于基态能级，可以得出 与式(8相同的受激吸收几 率，可见受激吸收几率等 于受激辐射几率。受激跃 迁几率与失谐量的关系曲

15、线如图25所示。 当存在衰减时，则可以将衰减常数引入，则得出 1 1 E 0 i (0 n t e b(t a (t = 2 a a + 2 i 1 1 E 0 i (0 n t b(t = b b + i e a (t 2 2 (6 2 (1 b (1 (t = 波函数运动方程 i (t = H (t H=Ha+H1 H1=-pE (3 (4 (2 1 E 0 i (0 n t 2 e 2 sin ( 0 n t 2 ( 0 n 2 2 (7 (9 受激辐射几率 1 E sin 2 b (t = 0 2 4 (0 n 2 (1 2 (0 n t 这时，受激辐射几率只要将式(8修正为 (8 b

16、 (1 (t = 2 2 ( 0 n t 2 1 E 0 sin 2 e a a 2 4 ( 0 n 2 (10 若需要更精确的讨论，则可以求出a(2(t、 b(2(t ，最后 a (t= a(0(t+ a(1(t+ a(2(t+ b(t= b(0(t+ b(1(t+ b(2(t+ 2、若单色辐射场很强时，就不能采用上述的微扰解。这 、若单色辐射场很强时 时可以采用如下方法讨论：将式(5中第二式再微分一 2 次，并将第一式代入得 1 E 0 b + i ( 0 n b + b 4 =0 1 E 0 i (0 n t e b(t a (t = 2 i 1 E b(t = i 0 e i (0 n t a (t 2 式（11）的通解为 1 E 0 i (0 n t e b(t a (t = 2 i 1 E 0 i (0 n t b(t = i e a (t 2 t i1 (5 = (0 n 2 + = 1 2 E0 2 (5 b(t = Ae a(t = 2 + Be t i 2 称为拉比反转频率 把上式代入式（5）中的第二式，得到 E0 ei 2 t ( A e i1t + B 2 (15 共振时，n=0 = E0 (18 (11 设特解为 b = e i t (12 2 1 E 代入式（11），得到 2 + ( 0 n 0 = 0 4 (13 若原子初始处于