一种使用搭配及径向基函数的kdv方程的数值法新----11新 (2)

1、目录摘要-2关键字-2引言-2径向基函数逼近-5KdV方程-6 结论-9参考文献-9KdV方程的基于配点法与径向基函数数值法摘要：近年来，人们对于KdV方程初边值问题产生了越来越浓厚的研究兴趣。本文中，我们提出了一种新型数值方法，通过使用配置点和采用多元二次（MQ）径向基函数（radial basis functions RBF）得到的逼近解来近似三阶非线性KdV方程。这个方法的计算过程与有限差分方法的计算类似。关键字：KdV方程 径向基函数 多元二次1、引言 有限差分法被称为求解偏微分方程的首要方法。尽管这些方法是可以非常有效的解决各种偏微分方程，但分析显式有限差分程序的条件稳定性，需要使用

2、大量的CPU时间，在隐式有限差分计划限制了45这些方法的适用性。此外，这些方法只提供了在网格点上问题的解决方案，非光滑和非正则域的技术准确性有所降低。有限元程序作为一种替代方法用来求偏微分方程的数值解。这一系列的数值方法是特别有效的，能解决任意几何问题，但需要在两和三维上生成贴体网格，这使得这些方法相当耗时且很难用。总体而言，有限元技术是高度灵活的，但它是很难获得高阶准确性的结果。光谱计划是准确的，但它的灵活域较少。使用边界积分方法避免齐次方程生成贴体网格。事实上，边界元法由于其降低维数等优点，只需要边界网格，这比起贴体网格更容易生成。然而，对于一个非其次方程，边界元法要求除边界网格外还需要域

3、节点分布。为了避免网格生成，近年来，无网格技术已经吸引了研究人员的关注。无网格方法只需要一组分散的节点而无需生成网格。一些无网格计划是元素伽辽金法，再生核颗粒，局部点插值，详细描述等见 47 和参考文献。在过去的20年中，径向基函数方法被称为解决散乱数据插值问题的有力工具。使用径向基函数求解偏微分方程数值解的过程是基于无网格配置方案。由于搭配技术，这种方法并不需要计算任何积分。使用径向基函数的数值方法，比起传统技术的主要优点是这些方法具有无网格属性。径向基函数是积极用于求解偏微分方程。例如见2，3。在孤波理论中，孤子被定义为具有在传播中不会改变形状和速度的属性，并且相互碰撞后是稳定的本地化波4

4、。孤波是由非线性对流项和线性色散项之间的平衡结果产生的无限支集波。可积分非线性KdV方程 式中和是正的常数。值得指出的是，在KdV方程的非线性对流项造成波形陡峭，而线性色散项使得波形蔓延。 KdV方程是一个研究弱非线性长波的一般方程。 KdV型方程已经在物理科学和工程领域中与众多的应用成为一类重要的非线性解决方程。 例如，在等离子物理，这些方程产生离子声波孤子5;地球物理流体动力学中，他们描述一个长波在浅海和深海洋6，7。他们的强大的存在是展示在集群物理，超形变原子核裂变，薄膜，雷达和流变学8,9，光纤通讯10和超导体中11。然而，在物理的情况下KdV方程的产生往往是由于高度理想化的假设常系数

5、。因此，近年来备受关注，各种形式的KdV类方程变系数12。相继出台了许多精确的方法在文献13，14。几个作者主要侧重于通过使用不同的方法来研究非线性方程组的解，例如Backlund和达布变换(Darboux transformations)15，16，Hirotas双线性方法，双曲方法17，正弦余弦法18，19，齐次平衡法20和常系数的黎卡提扩展方法21。因为，从这个方程的数值角度来看，在一般情况下，是没有解析解的。对于合适的初始条件，Gardner等人22，表明KdV方程解的存在性和唯一性。KdV方程，已经有几个相当成功的数值方法，如光谱/拟谱方法23，24，有限差分方法和Fourier谱方

6、法。这是除了局部间断Galerkin（加勒金）（LDG）方法许多作者从理论发展和计算的观点开发的25，26。但是，使用的光谱型的方法中，经常需要正确选择搭配点，以尽量减少不稳定模态的数量。指数有限差分法（EFDM）也可以用来解决KdV方程27。此方法已被证明能够比传统的显式有限差分（CFDM）提供更高的精度，并且能在短时内获得KdV方程的数值解。在过去的十年中，发展的径向基函数作为一个真正的无网格方法来逼近偏微分方程的解（RBFS）在科学和工程的中已经许吸引了许多研究人员的关注。域型无网格方法之一堪萨方法，是Kansa2,28在1990年通过直接搭配径向基函数，特别是对MQ（多元二次曲面）进行

7、了数值近似解获得的。 MQ最早是由Hardy29 在1971年将其作为一个多维分散的插值方法来建模地球引力场发展起来的。起初MQ是不被大部分学术研究者承认，直到Franke30发表了一篇评论论文评论二维插值方法， MQ基于其准确性，视觉方面，灵敏度参数，执行时间，存储要求，易于实施等优点排名最好 。Kansas方法最近被扩展到解决各种常微分方程和偏微分方程，包括一维非线性Burgers方程（伯格方程）31与冲击波，浅水方程和电流模拟32，传热问题3，和自由边界问题33，34。 Fasshauer35 后来修改Kansa方法变成一个埃尔米特型搭配的方法来求解合成配置矩阵。传统的径向基函数是全局定

8、义的函数，该结果在一个完整的合成系数矩阵。由于严重的病态系数矩阵，阻碍了径向基函数解决大规模的问题的应用。为了解决这个病态问题，Wendland36构建了一类新紧支集径向基函数。为了散乱数据插值的RBFS的理论发展，Madych和Nelson37，38表明， RBF-MQ插值采用半范数最小误差指数收敛。近日，Franke和Schaback39，40提供了使用RBFS求解偏微分方程数值解的理论依据。再近期，Hon和Wu 41 结合RBFS关于域分解的先进技术给出了理论证明，多级/多重，Schwartz(施瓦茨)迭代计划，预处理FEM(有限元分析)法则。在大多数情况下，径向基函数的解是准确的.然而

9、，很大程度上依赖于在MQ或者Gaussian基函数中选择的形状参数。这个最优值的选择仍在调查研究。许多学者已经研究了形状参数。例如，Carlson（卡尔森）和Foley42发现是依赖问题的。 Tarwater 43发现，通过增加，均方根（RMS）的误差先降到最低，然后大幅上升。在一般情下，随着的增加，要解决的系统中的方程变得病态。本文提出了一种新的数值格式，以解决三阶非线性KdV方程的搭配方法，采用多元二次径向基函数直接逼近近似解（Kansa方法）。该格式是类似有限差分法。本文的布局如下：在第2节中，我们展现了如何使用径向基函数去逼近解。在第3节中，我们在三阶非线性KdV方程应用该方法。第4节

10、是专门为一个简单的结论。最后，介绍了一些参考。2、径向基函数逼近一个分布的近似，使用径向基函数,可以写成有关于的线性组合，通常采用以下逼近形式：T56 （2.1）是数据点的数量， ，为问题的维数，是待定系数，是径向基函数。方程（2.1）可以写成没有其他多项式的形式。在这种情况下，必须是无条件正定，才能保证所得的系统有解。（如高斯分布或逆多二次）。然而，当是条件正定的，即，当 有多项式增大到无穷，通常是需要的。例子是薄板样条和多元二次。此外，在多项式方程（2.1）中添加了一个有关非奇异的扩展内插系统的特殊证明。由于多元二次函数良好的精度，在第3节中其将被使用作为径向基函数的数值方案。这被定义为：

11、其中是欧几里德范数。表示空间有个变量的多项式且次序不超过，让表示在中的基，那们多项式，在方程中，一般如下Pqd表示空间有d个变量的多项式且次序不超过q，让P1,P2,Pm表示Pqd在Rd中的基，那么多项式在方程（2.1）中，一般如下： 其中常用这种配制方法确定系数和。然而，除了配置方程（2.1）在个点产生的个方程，还额外需要个方程。等式（2.1）是由个条件确保的， 在类似的表示等式（2.1），对于任何线性偏微分算子L，Lu能够被Luxj=1NL(x,xj)+L近似。3 、 KdV方程现在让我们来考虑三阶非线性KDV方程： （3.1）有初边值条件。 （3.2） （3.3）这里和是正参数，并且 ，

12、和是已知函数。 首先，我们根据以下加权算式离散化等式 （3.1）， (3.4)这里是梯度微分算子，并且是时间步长。重新整理方程(3.4)在时，我们用符号代替，这样我们得到以下方程： (3.5)这里，。假设总共有个插值点，其中约等于以下算式： (3.6)为了确定内插系数，配置法是通过在每个点应用等式（3.6）,如此，我们有： (3.7) 这里。由附加条件等式（2.4）可以如下表示： （3.8）将等式（3.7）和（3.8）写成矩阵形式，我们有 其中，矩阵形式为：A=111(N-2)x11N-21N-2(N-2)xN-21x1xN-2001100 (3.10)这里有个内插点和个边界点，因此，这个矩阵

13、可以分块写成： 其中Ad=aij2iN-3,1jN,其余位置为0, Ab1=aiji=1,1jN,其余位置为0 Ab2=aiji=N-2,1jN,其余位置为0 Ae=aijN-1iN,1jN,其余位置为0使用符号LA 指定有矩阵A中相同维数的并且包含元素aij=Laij,1i,jN,那么式（3.5）可以写成以下矩阵形式： （3.12）其中， ，(=,) 并且.在方程（3.12）中，”*”表示两个向量的乘法的分量。方程（3.12）是结合等式（3.5），它适用于域点，以及等式（？）应用在边界点得到的。 使用等式（3.9）和初始条件，由等式 （3.2），能计算出来。那么等式（3.12）和（3.9）能

14、产生。注1：尽管等式（3.12）对于的任何值是有效的，但我们将使(著名的克兰克-尼科尔森格式)，所以,其中。4 、 结论 本文中，我们讨论了众所周知的KdV方程。我们提出了一种数值格式，通过使用配置点法和MQ径向基函数逼近解，去解决三阶非线性KdV方程。数值解的准确性也比较好。当使用径向整体函数时，生产的矩阵系数是非稀疏矩阵系统也可能是病态的。为了避免这个问题，我们可以使用紧支撑径向基函数或者预处理方法。本文中介绍的这个格式的衍生工具能够很好地处理高阶方程。5、 参考文献1.Liu,H,.Yan,J,: A local discontinuous Galerkin method for the

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