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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题:基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式:当且仅当a = b时,“=”号成立;当且仅当a = b时,“=”号成立;当且仅当a = b = c时,“=”号成立; ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注: 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; 熟悉一个重要的不等式链:。二、函数图象及性质(1)函数图象如图:(2)函数性质:值域:;单调递增区间:,;单调递减区间:,.三、用均值不等式求最值的常见类型类型:求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。解析:,当且仅当即时,“=”号成立,故此函数最小值是。评析:利用均值不等

2、式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。类型:求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值: 解析:,当且仅当即时,“=”号成立,故此函数最大值是1。,则,欲求y的最大值,可先求的最大值。,当且仅当,即时 “=”号成立,故此函数最大值是。评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。类型:用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、y,求的最小值。解法一:(单调性法)由函数图象及性质知,当时,函数是减函数。证明:

3、任取且,则,则,即在上是减函数。故当时,在上有最小值5。解法二:(配方法)因,则有,易知当时,且单调递减,则在上也是减函数,即在上是减函数,当时,在上有最小值5。解法三:(拆分法),当且仅当时“=”号成立,故此函数最小值是5。评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法具有一般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。类型:条件最值问题。例4、已知正数x、y满足,求的最小值。解法一:(利用均值不等式),当且仅当即时“=”号成立,故此函数最小值是18。解法二:(消元法)由得,由,则。当且仅当即时“=”号成立,故此函数最小值是18。解法三:(三角换元法)令则有则:,易求得时“=”号成立,

4、故最小值是18。评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法: 。原因就是等号成立的条件不一致。类型:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数满足,试求、的范围。解法一:由,则,即解得,当且仅当即时取“=”号,故的取值范围是。又,当且仅当即时取“=”号,故的取值范围是。解法二:由,知,则:,由,则:,当且仅当,并求得时取“=”号,故的取值范围是。,当且仅当,并求得时取“=”号,故的取值范围是。评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析:例1. 求函数的最值。错解:当且仅当即时取等号。所以当时

5、,y的最小值为25,此函数没有最大值。分析:上述解题过程中应用了均值不等式,却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。因为函数的定义域为,所以须对的正负加以分类讨论。正解:1)当时,当且仅当即时取等号。所以当时, 2)当时, 当且仅当,即时取等号,所以当时,.例2. 当时,求的最小值。错解:因为所以当且仅当即时,。分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时,必须分别满足“积为定值”或“和为定值”,而上述解法中与的积不是定值,导致错误。正解:因为当且仅当,即时等号成立,所以当时,。例3. 求的最小值。错解:因为,所以分析:忽视了取最小值时须成立的条件,而此式化解得,无解,所以原函数取不到最小

6、值。正解:令,则又因为时,是递增的。所以当,即时,。例4.已知且,求的最小值.错解: ,的最小值为.分析:解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为和,而这两个式子不能同时成立,故取不到最小值.正解:当且仅当即时等号成立. 的最小值为.综上所述,应用均值不等式求最值要注意: 一要正:各项或各因式必须为正数;二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错;三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。技巧一:凑项例1:已知,求函数的最大值。解:因,所以首先要“调整”符号,又不是常数

7、,所以对要进行拆、凑项,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。技巧二:凑系数例2. 当时,求的最大值。解析:由知,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当,即x2时取等号 当x2时,的最大值为8。技巧三: 分离例3. 求的值域。解:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x1)的项,再将其分离。当,即时,(当且仅当x1时取“”号)。技巧四:换元解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x1,化简原式在分离求最值。当,即t=时,(当t=2即x1时取“”号)。技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数的单

8、调性。例:求函数的值域。解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。2:已知,且,求的最小值。解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时, 。巩固练习:1、已知:且,则的最大值为( )(A) (B) (C) (D)2、若,且恒成立,则a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、已知下列不等式:;.其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、设,则下列不等式中不成立的是( )(A)

9、(B) (C) (D)5、设且的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6、若实数满足,则的最小值是( )(A)18 (B)6 (C) (D)7、若正数满足,则的取值范围是 .8、若,且,则的最小值为 . 基本不等式知识点:1. (1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)2. (1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)(3)若,则 (当且仅当时取“=”)3.若,则 (当且仅当时取“=”)若,则 (当且仅当时取“=”)若,则 (当且仅当时取“=”)4.若,则 (当且仅当时取“=”)若,则 (当且仅当时取“=”)5.若,则(当且仅当时取“=”)注意:(1) 当两个正数的积为定植时,可以

10、求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一:求最值例:求下列函数的值域(1)y3x 2 (2)yx解:(1)y3x 22 值域为,+)(2)当x0时,yx22;当x0时, yx= ( x)2=2值域为(,22,+)解题技巧技巧一:凑项例 已知,求函数的最大值。 解:因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。技巧二:凑系数例: 当时,求的最大值

11、。解析:由知,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当,即x2时取等号 当x2时,的最大值为8。变式:设,求函数的最大值。解:当且仅当即时等号成立。技巧三: 分离技巧四:换元例:求的值域。解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x1)的项,再将其分离。当,即时,(当且仅当x1时取“”号)。解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x1,化简原式在分离求最值。当,即t=时,(当t=2即x1时取“”号)。技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数的单调性。例:求

12、函数的值域。解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。技巧六:整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。例:已知,且,求的最小值。错解:,且, 故 。错因:解法中两次连用均值不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时, 。技巧七例:已知x,y为正实数,且x 21,求x的最大值.分析:因条件和

13、结论分别是二次和一次,故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 , xx x·下面将x,分别看成两个因式:x· 即x·x 技巧八:已知a,b为正实数,2baba30,求函数y的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。法一:a, ab·b由a0得,0b15令tb+1,1t16,ab2(t)34t28 ab18 y 当且仅当t4,即b3,a6时,等号成立。法二:由已知得:30aba2b a2b2 30ab2令u则u22u300, 5u33,ab18,y点评:本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力;如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.技巧九、取平方例: 求函数的最大值。解析:注意到与的和为定值。又,所以当且仅当=,即时取等号。 故。应用二:利用均值不等

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