2.1-二重积分的计算(1)ppt课件

1、 解解：设设这这两两个个直直交交圆圆柱柱面面的的方方程程为为222Ryx 及及 222Rzx 。并并画画出出它它们们在在第第一一卦卦限限内内的的图图形形。 yxzo o222Ryx 222Rzx RRyo ox22xRy DRRx 故故所所求求体体积积为为313168RVV 。 所求立体在第一卦限的部分可看作是以圆柱面所求立体在第一卦限的部分可看作是以圆柱面 22xRz 为顶，以为顶，以xoy面上四分之一的圆域面上四分之一的圆域 D 为底的曲顶柱体，其体积为为底的曲顶柱体，其体积为 dxRVD221 22 0 22 0 xRRdyxRdx.32)(3 0 22RdxxRR yo ox22xRy

2、 DRRxyxzo o222Ryx 222Rzx RR因因为为2ye 的的原原函函数数不不是是初初等等函函数数， 则则无无法法计计算算积积分分的的值值，故故只只能能用用 先先积积 x 后后积积 y 的的次次序序进进行行计计算算。 yo oxxy 1 y1解解：若若先先积积 y 后后积积 x，得得 11022 xyDydyedxde， 例例 3 3 Dyde2，其其中中D是是由由直直线线xy ，1 y和和 y 轴轴所所围围成成。 10010222dyyedxedydeyyyDy).1(21211102 eey 积积分分次次序序的的选选择择原原则则： （1 1） 第第一一原原则则函函数数原原则则：

3、必必须须保保证证各各层层积积分分的的原原函函数数 能能够够求求出出。 （2 2） 第第二二原原则则区区域域原原则则：若若积积分分区区域域是是X X 型型（或或Y Y 型型） 则则先先对对积积分分或或 ) ( xy。 （3 3） 第第三三原原则则分分块块原原则则：若若积积分分区区域域既既是是X X 型型又又是是Y Y 型型 且且满满足足第第一一原原则则时时， 要要使使积积分分分分块块最最少少。 例例 4交交换换二二次次积积分分的的积积分分次次序序。 （1） yyf(x,y)dxdy2 4 0 改变二次积分次序的关键是正确画出积分区域的图形，要经历 “由限画图和“由图定限两个过程。先先积积 y 后

4、后积积 x，则则21DDD ， 1D： xyxx2022，2D： xyx2020， yyf(x,y)dxdy2 4 0 .2 0 2 0 2 0 22 xx xf(x,y)dydxf(x,y)dydx解解：先先积积 x 后后积积 y， 则则 D： yxyy240， yo ox4(2, 4)22xy xy 2-2-21D2D1D： 21121xyy，2D： 221xyy， 解解：先先积积x 后后积积y，则则21DDD ， 2 22D（2） 2 2 1 2 1 1 21yyf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy 先先积积 y 后后积积 x， D： xyxx121， 2 2 1 2 y1 1 21

5、yf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy xxf(x,y)dydx 1 2 1 。 oxy1 1211D2 2xy 1 1xy1 例例 5 5设设 D 是是xoy平面上以平面上以)1 , 1(，)1 , 1( 和和)1 , 1( 为为 顶点的三角形区域，顶点的三角形区域，1D是是 D 在第一象限的部分，若在第一象限的部分，若 dxdyyxxyID )sincos(，试问下列等式是否成立？，试问下列等式是否成立？ （1 1）dxdyxyID 12； （2 2）dxdyyxID 1sincos2； （3 3）dxdyyxxyID)sincos(41 。 ) 1 , 1 () 1 , 1( ) 1

6、, 1( oxy1DD 1D与与2D关关于于 y 轴轴对对称称， 3D与与4D关关于于 x 轴轴对对称称， 将将I分分为为两两个个二二重重积积分分，记记 dxdyxyID 1，dxdyyxID sincos2。 xy 关关于于 x 和和关关于于 y 都都是是奇奇函函数数， 021 dxdyxyDD,043 dxdyxyDD，01 dxdyxyID。 解解：将将区区域域D分分为为四四个个子子区区域域：1D、2D、3D、4D。 ) 1 , 1 () 1 , 1( ) 1, 1( oxy1D2D3D4D yxsincos是是关关于于 y 的的奇奇函函数数，关关于于 x 的的偶偶函函数数， dxdyy

7、xdxdyyxDDD 121sincos2sincos， 0sincos43 dxdyyxDD， dxdyyxdxdyyxIDD 1sincos2sincos2， 从而从而dxdyyxIIID 1sincos221， 故故等等式式（1 1） 、 （3 3）不不成成立立；等等式式（2 2）成成立立。 oxy1D2D3D4D5 5利利用用积积分分区区域域的的对对称称性性和和被被积积函函数数的的奇奇偶偶性性简简化化计计算算 设设),(yxf在在有有界界闭闭区区域域 D 上上的的可可积积，21DDD ， （1 1）若若21DD 与与关关于于轴轴 y对对称称，则则 ),( .),(),( , 0 ),(

8、 .),(),( ,),(2),(1为为奇奇函函数数关关于于即即时时当当为为偶偶函函数数关关于于即即时时当当xyxfyxfyxfxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （2 2）若若21DD 与与关关于于轴轴 x对对称称，则则 ),( .),(),( , 0 ),( .),(),( ,),(2),(1为为奇奇函函数数关关于于即即时时当当为为偶偶函函数数关关于于即即时时当当yyxfyxfyxfyyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （3 3）若若21DD 与与关关于于原原点点对对称称，则则 ),(),( .),(),( , 0 ),(),( .),(),( ,),(2

9、),(1为为奇奇函函数数关关于于即即时时当当为为偶偶函函数数关关于于即即时时当当yxyxfyxfyxfyxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （4 4）若若积积分分区区域域关于关于D直直线线xy 对对称称 （DxyDyx ),(),(） ， 则则 dxdyxyfdxdyyxfDD ),(),(。 又若又若21DDD ，且，且21DD 与与关于直线关于直线xy 对称，则对称，则 dxdyxyfdxdyyxfDD 21),(),(。 解解：抛抛物物线线2xy 把把 D 分分为为两两个个子子区区域域： 2 , 1),(21 yxxyxD， 0 , 1),(22xyxyxD 。 2xy

10、 D1D2oxy-1-11 12 2例例 6求求dxdyxyD 2，其其中中20 , 1),( yxyxD。 22122),( ,),( ,DyxyxDyxxyxy 10310234)2(3423dxxdxx.235 被被积积函函数数2xy 在在 D 上上是是关关于于的的 x偶偶函函数数，积积分分 区区域域 D 关关于于轴轴 y对对称称，1D、2D也也关关于于轴轴 y对对称称，故故 dxdyyxdxdyxydxdyxyDDD 21222 dyyxdxdyxydxxx 22021022102231cos316404 tdttxsin2 例例 7设设)(xf连连续续且且恒恒不不为为零零，证证明明

11、.2)()()()(2222RbadxdyyfxfybfxafIRyx 证证：积积分分区区域域222Ryx 关关于于直直线线xy 对对称称，所所以以 交交换换被被积积函函数数中中的的 x、y 的的位位置置，结结果果不不变变，故故有有 222)()()()(RyxdxdyxfyfxbfyafI， 2)()(2222RbadxdybaIRyx ，22RbaI 。 （一一）把把二二重重积积分分 dyxfD),(化化为为极极坐坐标标形形式式 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上连连续续。区区域域 D 的的边边界界 曲曲线线为为)(1 和和)(2 ， ，其其中中 )(1 ， )(2 在在,

12、 上上连连续续。 oxD )(1 )(2 假设从极假设从极O 点点出发且穿过闭区域出发且穿过闭区域 D 内部的射内部的射 线与线与 D 的边界曲线相交不多于两点。的边界曲线相交不多于两点。 用用以以极极点点为为中中心心的的一一族族同同心心圆圆：常常数数 ，以以及及从从极极点点 出出发发的的一一族族射射线线： 常常数数，把把 D 分分成成 n 个个小小闭闭区区域域，除除 了了包包含含边边界界点点的的一一些些小小闭闭区区域域外外，小小闭闭区区域域的的面面积积可可 i 计计算算如如下下： i i i i ii i ii Dox极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素即即 DDddfdyxf)sin,

13、cos(),(。 又又可可写写成成 DDddfdxdyyxf )sin,cos(),( 故故iiiniiiiidiniiidff 1010)sin ,cos(lim) ,(lim （二）把二重积分的极坐标形式化为二次积分（二）把二重积分的极坐标形式化为二次积分 oxD)(2 )(1 oxDD)(2 )(1 一一般般地地，先先对对积积分分 后后对对积积分分 。 )()(21)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf1 1极极点点在在积积分分区区域域 D 的的外外部部 )()( :21D )(0 :D )( oxD则则 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf 2

14、2极极点点在在积积分分区区域域 D 的的边边界界上上 3 3极极点点在在积积分分域域 D 的的内内部部 D： )(020，则则有有 ox)( D 2 0 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf 在在极极坐坐标标系系中中，闭闭区区域域D D的的面面积积 DDddd 若若D如如图图，则则 . )()(212122)()(21 dddddD oxD)(2 )(1 )( oxD.)(212)(0 dddddD解解：D： 1cossin120. xyo dfddyyxfdxxx1 cossin1 2 1 1 )sin,cos(),(0210 4cos24 4 3 0 2 4 cos

15、38 dddI 解：解：.2920)(sin)sin1(316 240 doxy4 4 cos2（1 1） dyxRD222，D 为圆为圆Rxyx 22所围成的区域。所围成的区域。 解解：把把区区域域 D 的的边边界界曲曲线线的的直直角角 坐坐标标方方程程Rxyx 22化化为为极极坐坐 标标方方程程，得得 cosR，于于是是有有 D： cos022R dRddyxRRD22 cos 0 22222 xo cosRD 22023 cos22)(31dRR 22 33)sin1(31dR 20 33)sin1(32dRsin32220 30 3 ddR)43(93223233 RR。 解解：D：

16、2140， （2 2） dxyDarctan ，D：4122 yx，0 y，xy 所所围围成成的的区区域域。 2 4 2 4 1010cossinarctanarctan dddddxyD.6432332212122224210 xoy解解：由由对对称称性性，得得 dxdyyxaVD 22244 D： cos2020a。 例例 4球体球体22224azyx 被圆柱面被圆柱面)0(222 aaxyx 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 oxyz22224azyx axyx222 D cos20222022244 44aDdaddxdyyxaV)3

17、22(332)sin1(33232033 adaoxy cos2aD例例 5 5求三叶玫瑰线求三叶玫瑰线 3sina所围成的面积。所围成的面积。 解解： 3sin 0 0 66 6aDdddS ox6 da3sin0206216 dada6602022)6cos1(233sin3.46sin61232620aa 解解在在极极坐坐标标系系下下dxdyeDyx 22 aded0202 ).1(2ae 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxd

18、ye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rded0022 );1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 9.2.39.2.3二重积分的一般换元法则二重积分的一般换元法则（1 1）),(),(vuyvux在在D 上上具具有有一一阶阶连连续续

19、偏偏导导数数， （2 2）在在上上D ， 0, vuyxvuJ， （3 3）变变换换 T：DD 是是一一对对一一的的， 定理定理 设函数设函数),(yxf在在xoy平面上的闭区域平面上的闭区域 D 上连续，上连续， 变换变换 T：),(),(vuyyvuxx ，将，将平面上的平面上的 uov闭区域闭区域 D 变为变为xoy平面上的平面上的 D，且满足，且满足 则则有有 dudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD),(),(),(, 。 在在极极坐坐标标变变换换 sincosyx下下， cossinsincos,yxJ， 按按二二重重积积分分的的换换元元公公式式，便便得得： DDddfdxdyyxf)sin,cos(,。 注注：DvuJ ),(只只在在内内个个别别点点上上，或或一一条条线线上上为为零零， 而而在在其其他他点点上上不不为为零零，那那么么换换元元公公式式仍仍成成立立。 oxyDxy 2xy22 3 xy2 xyuv1223oD .