Ch1数值分析与科学计算引论

数值分析

NumericalAnalysis

1课程介绍课程名：数值分析英文名：NumericalAnalysis性质：学位课学时：56（理论：36，实验：20）考核办法：理论考试（70%）+实验报告（20%）+考勤（10%）基础知识：微积分，线性代数，常微分方程，Matlab程序设计2

教材

(TextBook)

数值分析李庆扬王能超易大义编（清华大学出版社）参考书目

(Reference)

NumericalAnalysis

(SeventhEdition)

数值分析（第七版影印版）

RichardL.Burden&J.DouglasFaires（高等教育出版社）

NumericalAnalysis

数值分析

RainerKress（Springer-Verlag

世界图书出版公司）

数值分析李红（华中科技大学出版社）计算方法简明教程王能超（高等教育出版社）MATLAB数值分析

周品（机械工业出版社）3课程基本内容数值逼近插值法函数逼近与曲线拟合数值积分与数值微分数值代数线性代数问题(方程组和特征值)非线性方程(组)数值解法微分方程数值解法4为什么还要学习数值分析？解决工程计算问题5

提问：数值分析是做什么用的？数值分析输入复杂问题或运算计算机近似解6数值分析的研究内容数值分析（或计算方法）：

用计算机求解数学问题的数值计算方法和理论与软件实现

实际问题>数学模型>计算方法>算法程序算法（数值分析的根本任务）：

由基本运算及运算顺序所构成的完整的解决问题的步骤7科学计算计算数学计算物理学计算力学计算化学计算生物学计算经济学8中国古代数学-算术中国古代将数学称为——“算术”

“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵；千十相望，万百相当。”

——《孙子算经》

“算法之术，是用智矣。”

——《周髀算经》9现代数值分析数值逼近数值微分数值积分数值代数非线性方程的数值解微分方程数值解10研究方法理论分析算法分析误差分析稳定性分析收敛性分析好的算法：面向计算机有可靠的理论分析有好的计算复杂性有数值实验验证11第一章数值分析与科学计算引论

/*Chapter1Introduction

*/12误差分析

从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差/*ModelingError*/

通过测量得到模型中参数的值

——观测误差/*MeasurementError*/

求近似解

——方法误差(截断误差/*TruncationError*/)

计算机字长有限

——舍入误差

/*RoundoffError*/1.误差来源与分类/*Source&Classification*/13大家一起想？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4

/*Remainder*/取则称为截断误差/*TruncationError*/|

舍入误差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起积分不等式142.误差的传播与积累

/*Spread&Accumulation*/例：蝴蝶效应

——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的桂林就下起狂风暴雨了？！NYGL以上是一个病态问题

/*ill-posedproblem*/病态：自变量的微小变化就可能引起函数值的巨大变化的情况；反之称良态。15例：计算公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差????!!!Whathappened?!16考察第n步的误差造成这种情况的是不稳定的算法/*unstablealgorithm*/。迅速积累，舍入误差递增。可见初始的小扰动

公式二注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取17取Wejustgotlucky?18考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法/*stablealgorithm*/

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性是一个非常重要的问题。193.数值算法的稳定性

/*AlgorithmStability*/

对于某个给定的算法，如果输入数据的误差随着算法的运算过程不断增长而得不到控制，那么我们就说该算法是数值不稳定的；否则就是数值稳定的。

误差线性增长，算法稳定，不可避免；误差指数增长，算法不稳定，必须避免。假设输入数据的误差为，经次运算后，结果的误差为。误差线性增长：（为与无关的常数）误差指数增长：（为与无关的常数）20问题：对于y=f(x)，若用x*

取代x，将对y

产生什么影响？分析：e*(y)=f(x)

f(x*)

e*(x)=xx*=f’()(xx*)x*与x非常接近时，可认为f’()

f’(x*)，则有：|e*(y)||f’(x*)|·|e*(x)|即：x*产生的误差经过f作用后被放大/缩小了|f’(x*)|倍。故称|f’(x*)|为放大因子

/*amplificationfactor*/

或绝对条件数

/*absoluteconditionnumber*/.4.

函数的误差估计与条件数21相对误差条件数

/*relativeconditionnumber*/

f的条件数在某一点是小\大，则称f在该点是好条件的

/*well-conditioned*/\坏条件的

/*ill-conditioned*/。相对误差条件数>10，就认为是病态的，越大病态越严重；病态问题不是计算方法引起的，是数值问题自身固有的，首先必须分清问题是否病态。22多元函数计算时误差的传播对多元函数A=f(x1,x2,…,xn),设x1*,x2*,…,xn*是x1,x2,…,xn的近似值,则A*=f(x1*,x2*,…,xn*)是结果的近似值。其中略去高阶无穷小项后23

四则运算中误差的传播对二元函数四则运算可视为二元函数运算,按上式有:245.误差与有效数字/*ErrorandSignificantDigits*/绝对误差/*absoluteerror*/其中x为精确值，x*为x的近似值。，例如：工程上常记为，称为绝对误差限

/*accuracy*/，的上限记为注：e*理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。

e*>0不唯一，当然e*越小越具有参考价值。Icantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear±1lightyear.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalue.Icantellthatthispart’sdiameteris20cm1cm.25相对误差/*relativeerror*/x的相对误差限

/*relativeaccuracy*/

定义为注：从的定义可见，实际上被偷换成了，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？严格的说法是，与是否反映了同一数量级的误差？26有效数字/*significantdigits*/

用计数法，记（其中）。若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。例：问：有几位有效数字？请证明你的结论。证明：有位有效数字，精确到小数点后第位。43注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。

数字末尾的0不可随意省去！有效数字定义227有效数字与相对误差的关系

有效数字

相对误差限已知x*有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限有效数字已知x*的相对误差限可写为则可见x*至少有n位有效数字。28例：为使的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设*取到n

位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知a1=3，则从以上不等式可解得n>6log6，即n6，应取*=3.14159。29(1).避免相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效数字。

几种经验性避免方法：当|x|<<1时：6.减少误差的措施及注意事项/*Remarks*/30(2).避免小分母:分母小会造成浮点溢出/*overflow*/(3).避免大数吃小数例：用单精度计算的根。精确解为算法1：由求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数31算法2：先解出再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+109(4).先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为(5).选用稳定的算法。327.数值计算中算法设计的技术例：计算的值