概率论与数理统计公式集锦

1、概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式aUb = a" B，TB = aU B古典概型m A包含的基本事件数P （A）n基本事件总数几何概型p（a）= A），其中卩为几何度量（长度、面积、体积）求逆公式P (A) =1 - P(A)加法公式P(A U B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) = 0 时，P(A U B)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB), B U A 时 P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式与乘法公式P 倒厲=¥(好P(AB)= P(A)P (B|A) = P(B)P (AB)P

2、 (ABC) = P(A)P (B|A) P(C|AB)全概率公式nP(A)=送 P (Bi) P(A|Bi)i zt贝叶斯公式（逆概率公 式）,P(Bi)P(AlBi)P(Bi|A)_ni' iZ P(Bi)P(A|Bi)i 二两个事件相互独立P(AB) =P(A)P(B) ； P(b|a)= P(B) ; P(Ba) = P(耳入;二、随机变量及其分布1、分布函数p(x =兀)F(x) = P(X <x) =/-, P(a<X <b) =F(b) F(a)I xlLcf(t)dt2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律0 -1分布X Lb(l,p)k1 _kP(X

3、 =k) = p (1-p) , k =0,1二项分布P(X =k) =cn pk(1- p)z, k =0,1，,nX 匚 b(n, p)泊松分布-kP(X =k)=人 e卞 k =0,1,2, IIIX P 仏)k!小3、续型随机变量及其分布分布名称密度函数分布函数均匀分布X Lu（a,b）1,a ex cbf (x) = b-a0,其他r 0,X calx aF(X)=2,a <x cbb -a1,X >b分布名称密度函数分布函数指数分布xL e 仏）1 Ze, x> 0f (x)詔0,x< 0p, x>0 F (x) 0,x< 0正态分布xL N(4

4、,b2)1f/y、一n2 CT1 x卓C / w _ .rc 2fy H +T (x 丿一 e7V2兀b一处 < X < XcF ( x) 一J e 7 d tvZjicj-皿标准正态分布X】N（0,1）1x2x )=e 丁一处< X < +处不1XJt2(x)= f e 2 dt J 2兀y4、随机变量函数 Y=g（x）的分布离散型：P (Y=yi)=S p j,i =1,2,111，g(Xj)=y连续型：分布函数法，公式法fY(y) = fx(h(y) Z(y)(x = h(y)单调)三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：P(X =Xi,Y

5、=yj) =p ij ,i, j =1,2, III 分布函数 F(X,Y) =2 Z Pj边缘分布律：Pi ”=p(X =x) =2 PijPj =P(Y =yj)Pijj i条件分布律:P(X=x|y =yj) =_,i=1,2,111,P(Y=yj |x =Xi)=旦，j=1,2,111PtPi .2、连续型二维随机变量及其分布 联合分布函数及性质y分布函数：F (x, y) = f f f (u , v)dudv =P (X<=x,Y<=y )性质：P(x,y)P=GJf(x,y)dxdy 边缘分布函数与边缘密度函数x -be-be分布函数：Fx(x) = r r f (u

6、, v) dvdu 密度函数：fx(x)=f f (x,v)dv-befY(y) tf(u，y)duy 咼Fy (y) = f f f (u,v)dudv 条件概率密度fx(x)fY|x(y|x)wy， fx|Y(xy) =fxy)，qvxc+zi3、随机变量的独立性随机变量X、Y相互独立二F(x,y) =Fx(x)FY(y)，离散型：Pij =Pi.P.j ，连续型：f(x,y) =fx(x)fY(y) 4、二维随机变量和函数的分布离散型： p (z =Zk)=送 P(x =x,Y =yj)Xi 中j zzk连续型：f z (z) = J* f (x,z - x)dx = J* f (z -

7、 y，y)dy四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散型E(X弋xkPk，连续型E(X)=JJ(x)dx性质：E(C) =C, EE(X) =E(X)，E(CX)=CE(X)，E(X ±Y) =E(X)±E(Y)E(aX ±b)=aE(X)±b，当 X、Y 相互独立时： E(XY) =E(X)E(Y) 2、方差定义： D(X) =E(X -E(X)2 =E(X2)-E2(X)性质：D(C) =0 , D(aX ±b) =a2D(X)， D(X ±Y) = D(X) +D(Y) ±2Cov(X,Y)当 X、Y 相互独立时：

8、D(X ±Y)=D(X)+D(Y) 3、协方差与相关系数 协方差：Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y)，当 X、Y 相互独立时：Cov(X,Y) =0相关系数： p - CoWX")，当X、Y相互独立时：Pxy=0(X,Y不相关) XY jDRJDY)协方差和相关系数的性质：Cov(X,X) = D(X)，Cov(X,Y) =Cov(Y,X)Cov(Xi +X2,Y) =Cov(Xi,Y) +Cov(X2,Y) , Cov(aX +GbY+d) =abCov(X,Y)4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 b(1, P)PP(1- P)

9、二项分布b(n, P)npnp (1- P)泊松分布P(X)ZZ均匀分布U(a,b)a +b(b-a)2212正态分布N (卩,b2)kc 2指数分布*)丄1 2AA五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) =4,D(X) =cr2,对于任意& >0有 P|X E(X)| >$ <卫凶2、大数定律： 切比雪夫大数定律：若 X1Xn相互独立,1 n 1 nEKTdMT2 且X “，则：亠二送 EW) 伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件 A发生的次数，P是事件A在每次试验中发生的概率y PS >0，有：lim P1 n辛钦大数定律：若X1,川

10、，Xn独立同分布，且E ( Xi )=4，则-Z Xi±43、中心极限定理列维一林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量Xi (i =1,2,川)，均值为卩，方差为 c >0，当 n 充分大时有：Yn =(!； Xk _二 N(0,1)棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：随机变量XB(n, p)，则对任意x有:t2X"nP <x “ "dO(x)1叫2胚lim P ,FJnp (1 p)近似计算：P(a <送xk <b)止(匕$)(竺芝)概率论与数理统计公式整理1、总体和样本的分布函数n设总体XL F(x)，则样本的联合分布函数 F(X1,X2

11、Xn) =n F(Xk)2、统计量1 2 1 2样本均值：X =-E Xi，样本方差：s2=送(Xi X)2 n ； “n 7 i二二送(Xi2-nX2) ni y样本标准差：，样本k阶原点距:i 二样本k阶中心距：Bk =丄送(Xi X)k,k =1,2,3山n y三大抽样分布(1)卩分布：设随机变量X j L N (O,1) (i = 1,2川I, n)且相互独立，则称统计量= xj+X2屮"Xj服从自由度为n的X2分布，记为Z2Z" n)性质：E/2(n) = n,D'/2(n) =2n 设X/rm'Y尸(n)且相互 独立，则X 秤/2(m +n)t分

12、布：设随机变量 XN(O,1),Y/2(n)，且 X与丫独立，则称统计量:自由度为n的t分布，记为Tt(n)nd性质： E(T)=0 (n >1),D(T(n >2) |仁g =®(x)=為 e2x2"F分布：设随机变量 X72(m),Y尸(n)，且X与Y独立，则称统计量F(m,门)=三畀服Y/n从第一自由度为 m，第二自由度为n的F分布，记为FF (m, n)，性质:设 F F(m, n),则 F（n,m）七、参数估计1.参数估计A定义：用0（X1,X2,L ,Xn）估计总体参数A9,称9 （X1,X2,L ,Xn）为0的估计量，相应的6（x,X2，卅,Xn）

13、为总体8的估计值。当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法:基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数日1,2,川，它的前k阶原点日1,日2川,，矩片-E&ki =1,2,川,k）中包含了未知参数即R =gi（q,&2,川,6）（! =1,2,|）|,k）；又设Xi,X2,L ,Xn为总体X的n个样本值，用样本矩代替片，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数 q,£2H,s的矩估计量注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。3. 点估计中的极大似然估计设X1,X2,L Xn取自X的样

14、本，设Xf（x,£）或X - P（x,日），求法步骤:nn似然函数：L（日）=n f （Xi）（连续型）或L（日）=n P（Xi,日）（离散型）i =1irnnn取对数：In L（巧=S In f （Xi,巧 或 In L（巧=2 In pi（x ,日）i =1i =1E cIn L c ,cin L 解方程：=0丄,.L. C.L- Ceg少kA A日1 =£l(X1,X2，川，Xn)=0,解得：illlil! A AM =6(Xi，X2，川，Xn)4.估计量的评价标准估无偏性A AA设£= 0(Xi,X2,L ,Xn)为未知参数9的估计量。若E(日)=8，计则

15、称 $为0的无偏估计量。量有效性AAAA设 01 =8l(Xi, X2,L , Xn)和 0 2 =82(X1,X2丄,Xn)是未知参数的AAAA0的两个无偏估计量。 若D(d) V D2)，则称01比02有效。评AA设直n是日的一串估计量，如寸名 0，有JimP( l&n£ |名)一0价一致性A则称9 n为0的一致估计量(或相合估计量)。标准5.单正态总体参数的置信区间条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为1-a的置信区间已知kN(0,1)(b -b '(x皱yn,x色7；丿未知c2kTS/需t(n-1)卜卅T忌匸+妙T空已知CT2Z2 _丈伏-町 £ C

16、T丿/2(n)f nnrS (Xi A)2 s (Xi A)2i总! -Qn) y)<J未知22¥(n -i)Sf =2cX2( ni)1 (n _i)S2 (n _i)S2C八、假设检1.假设检验的基本概念基本假设检验的统计思想是小概率原理。思想小概率事件的概率就是显著性水平a,常取a=0.05 , o.oi或o.io。提出原假设 Ho；选择检验统计量 g(X1,L ,Xn)；对于a查表找基本分位数入，使P(g(Xi丄,Xn)己W) =a，从而定出拒绝域 W；步骤由样本观测值计算统计量实测值g(Xi|(,Xn)；并作出判断：当实测值落入 W时拒绝Ho,否则认为接受 Ho。当H

17、o为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定Ho。这第一类时，我们把客观上 Ho成立判为Ho为不成立(即否定了真实错误的假设)，称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记a为犯此类错误的概率，即:P拒绝Ho|Ho为真= a ；当Hi为真时，而样本值却落入了接受域，应接受Ho。这时,两类错误第二类错误我们把客观上Ho不成立判为Ho成立(即接受了不真实的假设)，称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记此类错误的概率，即：P接受Ho|Hi为真= P 。两类错人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当误的关容量n 定时，a变小，则P变大；相反地，P变小，则a变大。取定a要想使P变小，则必须增加样本容量。2.单正态总体均值和方差的假设检验条件原假设检验统计量统计量分布拒绝域已知CT 2Ho： 4=%z-X-% b A/nN(o,1)H0：4<%z>ZaH0：4>%zw-%2未知bHo：%T - X