极坐标与参数方程1

1、极坐标与参数方程(基础)【知识结构】知识点一：极坐标1极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。3. 极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（极点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.知识点三：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲

2、线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 知识点四：常见曲线的参数方程1直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为： （为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，在下方时，)。 （2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： （为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的

3、参数方程为： （是参数，）； 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。 （2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。 （3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4. 双曲线的参数方程双

4、曲线（,）的参数方程为（为参数）。5. 抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。【例题精讲】类型一：极坐标方程与直角坐标方程 例1在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_ ，关于极轴的对称点的坐标是_，关于直线的对称点的坐标是_， 举一反三：【变式】已知点，则点（1）关于对称点的坐标是_，（2）关于直线的对称点的坐标为_ 。例2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。(1) ； (2) ；(3) ； (4) .举一反三：【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.(1)； (2), 其

5、中；(3) (4) 【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_. 例3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程： （1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。举一反三：【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_。【变式2】解下列各题（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为_，平行于极轴的切线方程为_；（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为_ ；（3）极坐标系中圆的圆心为_。类型二：参数方程与普通方程互化例4把参数方程化为普通方程(1) (，为参数)； （2） (，为参数）；（3）(,为参数)； （4） (为参数).举一反三：【变式1】化参数方程为普通方程。（1）(t

6、为参数) ； （2）（t为参数）.【变式2】（1）圆的半径为_ ；（2）参数方程(表示的曲线为（ ）。 A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点 C、双曲线一支，且过点D、抛物线的一部分，且过点【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（ ）。A、 B、 C、 D、 （2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。 A、 B、 C、 D、例5已知曲线的参数方程（、为常数）。 （1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型； （2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。类型三：其他应用例6椭圆内接矩形面积的最大值为_.【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。【变式2】圆上到直

7、线的距离为的点共有_个.【变式3】实数、满足，求（1），（2）的取值范围.【巩固练习】1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标为 A. B. C. D. 2. 点的极坐标为（ ） 3. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为（ ） 4. 极坐标方程为表示的圆的半径为（ ） 5. 若A，B，则|AB|=_，_。（其中O是极点） 6. 极点到直线的距离是_。 7. 极坐标方程表示的曲线是_。 8. 若圆C的方程是，则它关于极轴对称的圆心方程为_，它关于直线对称的圆的方程为_。 9. 方程表示的曲线是_。 10. 直线（t为参数）上任一点P到的距离为_。 11. 直线，则AB

8、的中点坐标为_。 12. 的轨迹方程为_。 13. 求椭圆。 14. 若方程 15. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围。2014年高考数学试题汇编 参数方程与极坐标一选择题1. (2014北京)曲线（为参数）的对称中心（ ）在直线上 在直线上 在直线上 在直线上2.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的参数方程是 (为参数)，圆的极坐标方程是,则直线被圆截得的弦长为（A） （B）2（C） （D）2 3.(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题

9、）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）A. B. C. D.二填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_.2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_.3 (2014重庆)已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴线与曲线的公共点的极经_.4 (2014上海)已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴

10、的交点到极点的距离是 。5.(2014陕西)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是 6.(2014天津)在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为_.7. (2014广东)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为和1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为 三解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.()写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最

11、小值.2. (2014新课标II)（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（）求C的参数方程；（）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定D的坐标.3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.4（2014福建）（本小题满分7分）选修44：极坐标

12、与参数方程 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ，（为常数）. （I）求直线和圆的普通方程； （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.极坐标与参数方程【知识结构】知识点一：极坐标1极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。2极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对就叫做点的极坐标。3. 极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（极点与原点重合；极轴与轴正半轴重合；长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：直角坐标化

13、极坐标：；极坐标化直角坐标：.此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.知识点三：参数方程1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 知识点四：常见曲线的参数方程1直线的参数方程（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为： （为参数）；其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，在下方时，)。 （2）

14、过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： （为参数，为为常数，）；其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2圆的参数方程（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为： （是参数，）； 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。 （2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。 （3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3. 椭圆的参数方程（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中，点对应的角为（过作轴， 交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。（

15、3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。 椭圆上任意一点可设成， 为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4. 双曲线的参数方程双曲线（,）的参数方程为（为参数）。5. 抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为（是参数）。参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。【例题精讲】类型一：极坐标方程与直角坐标方程 例1在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_ ，关于极轴的对称点的坐标是_，关于直线的对称点的坐标是_， 思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。解析：它们依次是或；（）. 示意图如下：总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的

16、联系，同时应注意点的极坐标的多值性。举一反三：【变式】已知点，则点 （1）关于对称点的坐标是_， （2）关于直线的对称点的坐标为_ 。【答案】(1) 由图知：,，所以；(2) 直线即，所以或（）例2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。(1) ； (2) ；(3) ； (4) .思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。解析：（1）方程变形为, 或，即或， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。(2) 变形得,即， 故原方程表示直线。(3) 变形为, 即，整理得，故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。（4）变形为, ,即, 故原方程表示顶点在原点，开口向上

17、的抛物线。总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用、表示。举一反三：【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.(1)； (2), 其中；(3) (4) 【答案】：(1) ，即,故原方程表示是圆.(2), ， ，或，或故原方程表示圆和直线.(3)由，得即，整理得 故原方程表示抛物线.(4)由得,，即故原方程表示圆.【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_. 【答案】将代入方程得.例3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程： （1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂

18、直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。解析：（1）由图知，所求的极坐标方程为； （2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即. （方法二）由图知，所求直线的方程为，即.总结升华：抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.举一反三：【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_。【答案】：。（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，则原点（极点）到该直线的距离是；（方法二）直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，极点到直线的距离为。【变式2】解下列各

19、题（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为_，平行于极轴的切线方程为_；（2）极坐标系中，两圆和的圆心距为_ ；（3）极坐标系中圆的圆心为_。【答案】（1）（方法一）设在圆上，则，由余弦定理得 即，为圆的极坐标方程。其平行于极轴的切线方程为和。 （方法二）圆心的直角坐标为，则符合条件的圆方程为，圆的极坐标方程：整理得，即.又圆的平行于（轴）极轴的切线方程为：或，即和（2）（方法一）的圆心为，的圆心为，两圆圆心距为. （方法二）圆即的圆心为， 圆即的圆心为， 两圆圆心距为.（3）（方法一）令得，圆心为。 （方法二）圆即的圆心为，即.类型二：参数方程与普通方程互化例4把参数方程化为普通方

20、程(1) (，为参数)； （2） (，为参数）；（3）(,为参数)； （4） (为参数).思路点拨: （1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；（2）利用三角恒等式进行消参；（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。解析：（1），把代入得；又 , , 所求方程为：(,)（2）,把代入得. 又， ,. 所求方程为(,).（3）（法一）：, 又，, 所求方程为(,).（法二）：由得,代入,（余略）.（4）由 得, ,由得,

21、当时，；当时，从而. 法一:，即（），故所求方程为（）法二: 由 得，代入得，即再将代入得，化简得.总结升华：1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.举一反三：【变式1】化参数方程为普通方程。（1）(t为参数) ； （2）（t为参数）.【答案】：（1）由得，代入化简得. , ,. 故所求方程为（，）（2）两个式子相除得，代入得，即. ，故所求方程为().【变式2】（1）圆的半径为_ ；（2）参数方程(表示的

22、曲线为（ ）。 A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点 C、双曲线一支，且过点D、抛物线的一部分，且过点【答案】：（1）其中， 半径为5。（2），且，因而选B。【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（ ）。A、 B、 C、 D、 （2）为锐角，直线的倾斜角（ ）。 A、 B、 C、 D、【答案】：（1），相除得，倾斜角为，选C。（2），相除得， 倾角为，选C。例5已知曲线的参数方程（、为常数）。 （1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型； （2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。解析：（1）方程可变形为（为参数，为常数

23、）取两式的平方和，得 曲线是以为圆心，为半径的圆。 （2）方程变形为（为参数，为常数）, 两式相除，可得，即, 曲线是过点且斜率的直线。总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。举一反三：类型三：其他应用例6椭圆内接矩形面积的最大值为_.思路点拨: 由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。解析：设椭圆上第一象限的点，则当且仅当时，取最大值，此时点.总结升华：利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。举

24、一反三：【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。【答案】：设到的距离为，则 ， （当且仅当即时取等号）。点到直线的最小距离为，此时点，即。【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_个.【答案】：已知圆方程为，设其参数方程为（）则圆上的点到直线的距离为，即或又 ，从而满足要求的点一共有三个.【变式3】实数、满足，求（1），（2）的取值范围.【答案】：（1）由已知， 设圆的参数方程为（为参数） ，（2），.【巩固练习】1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标为 A. B. C. D. 2. 点的极坐标为（ ） 3. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为（ ）

25、 4. 极坐标方程为表示的圆的半径为（ ） 5. 若A，B，则|AB|=_，_。（其中O是极点） 6. 极点到直线的距离是_。 7. 极坐标方程表示的曲线是_。 8. 若圆C的方程是，则它关于极轴对称的圆心方程为_，它关于直线对称的圆的方程为_。 9. 方程表示的曲线是_。 10. 直线（t为参数）上任一点P到的距离为_。 11. 直线，则AB的中点坐标为_。 12. 的轨迹方程为_。 13. 求椭圆。 14. 若方程 15. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围。【试题答案】 1. A. 能表示点M的坐标有（三）个，分别是B、C、D

26、。 2. 由，得位于第四象限且或，故点的极坐标为或写成。 3. 如下图，设圆上任一点为P（），则 4. 方法一：方程变形为，该方程表示的圆的半径与圆的半径相等，故所求的圆的半径为r=1 方法二：把方程化为 化为直角坐标方程为 即 可见所求圆的半径r=1 5. 在极坐标系中画出点A、B，易得 6. 极点为（0，0），直线的直角坐标方程为 极点到直线的距离。 7. 方程两边同乘以，则 8. 关于极轴对称的圆方程为，关于直线对称的圆的方程为。 9. 方程表示的曲线为双曲线（可把参数方程化为普通方程xy=ab） 10. 所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式） 11. 中点坐标为 （把代入，

27、设A、B对应的参数分别为，则AB中点对应的参数为，将代入直线参数方程，可求得中点的坐标。） 12. 设 由重心坐标公式，得： 消参，得点G的轨迹方程为 13. 解：（先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系） 14. 解：将方程两边同乘以，化为： 15. 解： 2014年高考数学试题汇编 参数方程与极坐标一选择题1. (2014北京)曲线（为参数）的对称中心（ ）在直线上 在直线上 在直线上 在直线上2(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的参数方程是 (为参数)，圆的极坐标方程是,则直线被圆截得的弦长为（A） （B

28、）2（C） （D）2 D 3(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）B. B. C. D.【答案】A【解析】 所以选A。二填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_.2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_.3 (2014重庆)已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴线与曲线的公共点的极经_.【答案】【解析】4.(2014上海)已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 。