专题训练——倒数法与分式方程题库

1、百度文库-让每个人平等地提升自我11例题精讲倒数法x【例1】已知:【解析】【巩固】已知:3,1,-的值.a【解析】(a1 2£)已知x为实数,【解析】【例2】【例3】(x2口 )2 x(x1)2 x1x22若1 a1(aa)2(x1)2 xa的值.则(1 |a)a(1 la)2 a1 a a2 a1,分析可得0,2 a21 a 0 a则2 a2a1 a a2 a（05山东潍坊中考）若乂2 x -2x的值.,.1 一，由x 2可知，(x x1)2 x1 2 x2 ,故x x 1本类题有一种典型错题,如：已知2X2X事实上：若X易得（“希望杯”试题）一一 1解析：由X/一 / X【例4】

2、（湖北黄冈市初级数学竞赛）设10 , x1Xx 则一4XX V -4 X其中1显然不成立.【解析】0,，X 0【例5】(xX-)2X1)2设丁上一x mx 1由条件知x3X3X-3 m x已知:(Dv.x,x已知:由a242a a2"" a已知:0,因而3X63 -x m x 12x mx 13 1x -X123m 2（X的值.7x7x1 0,求0, 1 一) x3x1 一(x x1一) X2x 7x17X1X5a475a3x492二 X474二 X可知2209 ,4二 X(a的值2412的值.x12则0,a1,1 2axx1X - X2a a2550xX X1X 1 X2

3、20723m的值.12一12121【解析】x 3x 1 0,，x 0, x - 3, x J 2 9,，x =7xxx3x0,3x7x8x1x32x4x故原式例6 3241cx43x1ZZ2x1-2 x1 2713250 .1 .50（上海市高中理科实验班招生试题）已知:2a43xa2 232a 2xa a112求x的值.1由条件知：a - a2(a2又(a【巩固】-2) 3x a1) 2x a931122(1 2) 3x1 2x112解得x1 510（第17届江苏省竞赛题已知a2 4a由已知可得4,已知a是x23x因为a是x23x所以2a5 5a4 2a3 a2 1利用条件a23a 14 a

4、33a4 a3a30的根,0的根, 8a22 maz ma2 ma13a14 m2ma 3a一 一 2,所以aa 2a2(a20的各个变形,1、3(a 一) ma5a42 a3a1)a2 112322a 8a的值.135a8a1 / 33(a8a)1 (3a2 9a) 3对分式进行整体降骞是解题的关键372(广西竞赛题)已知：x2 x 14 _2 _x 2x 1 (x 1) 2x 1x5x(x 1)20,2xx(x2x 1x4x 22x 1)x 1 4x 2x(3x 2)5x 33x2 2x5x 35x2利用条件x2 x 1 0的各个变形，对分式进行整体降哥是解题的关键已知x求的值.x 2 ,

5、a1axx 2x2 4xx 2x2 4x(a2aTa3a 111a a -aa11a a -aa.(x 2)2 4(x 2)2 42 a板块四分式方程【例8】 下列方程中哪些是分式方程?(1) 3 x 1 x 0x 1 x 2x_9 7/x 3x 1 3 x9xL_ 2x 7=0 a为字母系数 a 1 a,、11一x x 192 3x22二 2x 13 3(6) 3y 73y 1 2_a_a 3 a为字母系数x 3 x(10)3 =，x 3 x.其中分式方【例9】【解析】(西城区各校期中考试题)解关于x的方程：原方程可化为5(x 4)(x 4)96(x 4)(x 4) (x 4)( x 4)通

6、分整理为2x 16,所以x 8,经检验x963x12x 15 -7-7x 164xx 4(3x 1)(x4)(2x1)(x4)(x 4)(x4)(x4)(x4)8是原方程的解，原方程的解是x 8【解析】思路与技巧 分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数程有、(10)点评：判断分式方程关键要看分母中是否有未知数中没有分母，是整式方程；中虽然有分母，但分母中不含未知数，所以仍为整式方程；是整式方程，分母中不含未知数；不是方程，所以也不是分式方程；不是分式方程，虽然分母中有字母a,但a不是未知数，所以仍为整式方程【巩固】此方程是否为分式方程：x 1 21？x x【解析】为分

7、式方程，不能看化简以后的结果，因为它的化简不等价，取值范围发生变化。总之，只要分母、上含有未知数即为分式方程！【巩固】此方程是否为一元一次方程：x2 2 x2 x【解析】是，这个要看化简以后的结果，它的化简是等价的。对于整式方程，要看化简以后的结果!【巩固】解方程：(1 )2 (1 )2上匕 y 2 y 2 y 2，、一-2 2 2y【解析】将方程展开，得2 2 ()2 y 2 y 2去分母得,2(y 2)2 8 2y(y 2)整理得，4y 16 ,解得y 4经检验y 4不是原方程的增根，原方程的解是y 4解关于x的方程:经检验,2mn n2(m2n)2m是原方程的解.，原方程的解为 2求x为

8、何值时，代数式2x 92的值等于 x2.2 ,解这个分式方程,13得x 士，经检验,23 一 、一 .，,3x -是原方程的根.，当x -22事，代数式29x 3-的值等于2. x【例10 解方程：一x原方程变形为:3x x2x(x 1)x(x 1)【例11】经检验，x原方程化为1是原方程的增根(x 1)(x 1).原方程无解.0 ,去分母解得xx 2 x16方程两边同时乘以、2得 16 x 2 =整理得x22，约去分母,24x 12=x 4x解这个整式方程，得检验：把x= 2代入x= 2得 2 22 2 =0所以x= 2是原方程的增根, 点评：解分式议程的步骤为：去分母，化为整式方程解方程：

9、25x 7x 3x方程两边同时乘以原分式方程无解.解整式方程x 2检验(x1)(x写出原分式方程的解2)约去分母，得5x7 5x 7.检验，当x 1,x 2时，(x 1)(x 2) 0所以x 1,x 2是增根,，原方程的解是除了1和2的任何实数【例12】【解析】【例13】【解析】【解析】【巩固】【解析】【例14】【解析】若分式方程 x 2 r 1移项，得x 232有增根，求它的增根 x 2x 1口r 1 x 13 ,即x 2x 23,x 2、一一 一0 3, 原方程的增根是x 2x 2a为何值时，关于x的方程二-3 会产生增根、x 2 x 4x2去分母可得：2x 4 ax 3x 6 ,如果产生

10、增根，那么增根为 x 2或x 2 , 而增根满足化简后的整式方程，将x 2代入可得a 4,将x 2代入可得a 6.当a 4或a 6时，均产生增根.解分式方程组还有一种重要的方法，换元法，我们在初一下，学习二元一次方程组的时候介绍过关于x的方程工有增根，求a的值 x 3 x 9x3方程两边同时乘以(x 3)(x 3)得，3(x 3) ax 4(x 3),即(a 1)x21.若方程有增根，则 x 3,把x 3代入中可得a 6,把x3代入中可得a 8,当a6或a 8时，原方程会产生增根.已知关于x的方程-2鸟有增根1,求m的值.xx xxx1原方程去分母，整理得， (x1)(m5)(x1) (m 1

11、)x 0把x 1代入上面方程，解得 m 3若方程，0无解，求t的值x 2 x 2去分母，得(x 2) t(x 2)。，整理关于x的一次方程，得(t 1)x 2(t 1),t 1 02(t 1)，即t 1时，原方程无解0当x 2或x 2时，原方程有增根，原方程无解分另I将x 2,x 2代入方程当x 2时，无解；当x2,解题t 0.11 一综上，当t 1或t 0时，方程0无解.x 2 x 2【例15】2已知解方程一巴14 x x 2,时，不会产生增根，求实数x 2k的取值范围百度文库-让每个人平等地提升自我x 7x 122113【解析】去分母整理得：(X 2)(k k2)2_ -x 5x 2 【例

12、16 【解析】【例17 若产生增根，则必是 x值使(X即x1当X2当 ki2, x22的情形2)( x 2)02时式成为0 (k k2)12无解1,k2 22 a 一2时，式成为4(k k )8 ,得:1且k2 2时，原方程不会产生增根阅读并完成下列问题:1 ，,2-的解是X12, X22观察上述方程及解，可猜想关于的方法证明这个猜想.2把关于X的方程X方程的解是进一步猜想方程 XX2a a1c2的解是1验证：去分母，得2 cx1c X1- , X2c .c按方程的形式变形为1X2X1(2005年五羊杯)方程(x 1)(x 2)(x 3)x x 31 、一1；方程X2x的方程3,1 一c -的

13、解是c工变为方程的形式是a 1m的解是 c2c 1 x c 0, cx 1 X ca,0.-,便可得方程的解为X1 a ,1X2(x 2)(x 5)1(x 5)(x 8)(x8)(x 11)方程两边乘3,拆项、化简得:x 11(“祖冲之”杯竞赛题)解方程1x 3x 212x 5x 61X23;用求出方程的解,直接写出方程X2-工的解为3x 3 2414百度文库-让每个人平等地提升自我【解析】方程丁二丁土可化为: x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 211111114 x x 1 x 1 x 2 x 3 x 4 211，上，即土 / 八、x x 4 21 x x 421/故 x

14、x 421 x2 4x 21 0 ,即 x 3 x 7 0故x 3或者x 7,经检验，均是原方程的解.【例18 【解析】血固】【解析】解方程：土，上_8 口x 5 x 9 x 81原万程可变形为：1 1x 5化简，去分母可得:x 5x 61x 911 1 x 8 x 622,一一，一一、一一x 11x 30 x 17x 72,解得x 7,经检验，x 7是原万程的根25(x 2)(x 5) (x 6)(x 1) (x 4)(x 7) (x 8)(x 3)(x 1)(x 5)(x 3)(x 7)44(x 1)(x 5)(x (x 7)(x 3)(x 7) (x 1)(x 5)4x 16, x 4经

15、检验x4不是原方程的增根，原方程的解是x 4【例19】【解析】（五羊杯数学竞赛）解方程:5x 96 x 8 4x 19x 19 x 9 x 62x 21x 8(5即:1155一二 一；)(4 -7) (2 ；)，x 19x 9 x 6 x 81155 x 19 x 9x9x19x6x8 (x 9)(x 19)5(x 8) 5(x 6)(x 6)(x 8)101022 ._x 28x 171 x 14x 48. 22x28x 171 x 14x 48123123即：14x 123, x 123 .经检验：x 上是原方程的根.141422的上环x x 3 1 2x 4x 1角牛方程2 1 2x x

16、 2 x 2x 122_.x x 2 1 / 2x 4x 2 11-2x 2x 12x 2x 1经检验3不是原方程的增根，原方程的解是 x 3【巩固】解方程3x22_9x 7 2x 4x 3【解析】方程x 123x 9x 73xx 11x 13x 1(2xx 122x 4x 3x 136) xx 1x3 x 1 x23x x 1x2 12x 1f 0x 10.0可化为:2x 1-2 x 14x 502-x 15 ，一5 ,经检验,4是原方程的解.讲解此题之前，可以先讲如何使用多项式除法或逐步满足法将分式2.x bx c拆分成两个式子之和的形式.0.(1)【例20 解方程组:y 3J 0.(2)

17、 y 3此题是分式方程组，可采用去分母的方法将方程组转化为整式方程组来解.去分母：将方程两边同乘以 xy,得:将方程两边同乘以 x 4 y 3得：4 y 5x【例21 整理方程：xy 3x xy 4 y 3x 12xy 3x xy 4y 3x 12 0，6x 4y 12(4)5x，原万程组化为：6x解方程组：得:把x 12代入，'55124y12154y4y12150.(3)12.(4)124y 0代入原方程组检验适合，原方程组的解为y 15（临沂市数学竞赛题）解方程:2x 12、几 x 3 x 2设a ,b ,则原方程可化为:解之得,0或者ab 1,x 2 x 30或者1x史，或x5

18、5 ,经检验，均是原方程的解.【巩固】【解析】解方程组6y3y12310把方程组的每一个方程去分母，转化为整式方程组，将得到二元二次方程组，目前我们还不会解这类方程组若认真观察这个方程组得特点，则原方程组可写成16 - y13- y12 一 1 1 , 一， ,只需把-,-分别看作1x y10是一个整体，则利用换元法就可以转化为二元一次方程组求解11设一 m, - n .x y则原方程组可化为解这个方程组，得6m8m6n1231011120x20x 20.，即111y 3030y303nmnx经检验y20 、,.是原方程组的解.30【例22】【解析】解方程组按常规想法将两个分式方程去分母后变形

19、为整式方程组，去解即按例高次方程，目前我们还不会解.叫整体代换）去解这个方程组.设 x y m, x y则原方程组变形为3n2n方法去解此方程组，会出现因此观察特点，特别是反复出现的字母形式，再利用换元思想（或32化简整理方程组：将方程两边同乘以6,得/2m 18n1将方程两边同乘以、， 2m原方程组化为m2得：m 4n 618n1(3)4n 6(4)解方程组：-X21- n 2，一 1 1把n -代入(4)m 4 -22 m 4m 4x y 41 即 11n 一2 x y 2再解方程组：+得x 34(5)2.(6)将x 3代入得y 1x 3经检验：是原方程组的解.y 1点评：1、换元法是初中

20、数学中要掌握的一种重要的数学方法,尤其是换元法在各类的解方程中的运用，更为重要.它可以通过换元手段，使复杂的问题变得简单，疑难问题变得容易，在学习数学知 识的同时，一定要掌握一些典型的数学方法.这种换元的方法将来在初三还会专门学习.2、“换元”是求原方程未知数的值的一种手段， 不是目的.目的是求原来未知数 （如x,y） 以当求得辅助未知数（如 m, n）的值以后，一定要把原来未知数（ x,y）的值求出来.的值.所【例23】3、由以上两个例题可以看出，把分式方程组转化为整式方程组，可以用去分母的方法, 元法.究竟用哪种方法合适，要具体问题具体分析.1. .、一一. x 1（第7届华罗庚邀请赛）解

21、方程组：12x我们也可选设26y 3_12y 11、，b,则原方程组化为2y 1“单位 1 丁（第八届美国数学邀请赛试题）110x1 a216y291x 10x4534 ,即382y 1-0 x 10x 69也可以用换344 ,解得38设x21t 16故x210x 45 t ,则原方程可化为:1二一0,解之得,t t 2410x 456x 130 xx2 10x3或x3913t ,点评：1t 8164 t卜面提供一种更好的换元的解法，设10x 37则原方程可化为:t 8 t 32,故t 32t然后可得,2x 10x392t 2t 64 t 32故 x 3 x 130 x 3或 x 13.【变式

22、】【解析】(泰州市数学竞赛题)解方程:2设x 8 y,则原方程化为:111(11x y 2x y y 13x11-2 I I -2 IZx 2x 8 x 13x 8整理可得，y2 49x2 ,故y 7x2若 y 7x,贝U x 7x/ 8 0, x 1 x 82若 y 7x,贝U x 7x 8 0 , x 1 x 8经检验，上述四个值均是原方程的解.【例24】解方程x2 L 3(x 1) 4 0/xx11 2【解析】设x y ,则原方程可化为(x -)2 xx13(x -)20,x2即y 3y 2 0 ,解方程得：y 1佻21当w 1时，有x 1,即x2 x 1 0 ,此方程五实数根 x1 一

23、 2. 一当y2 2时，有x 2 ,即x 2x 1 0 ,解得：x 1 x经检验，x 1是原方程的根，原方程的根式 x 1.【补充】(湖北孝感市竞赛题)解方程x 汉 1 x2 1 43 x2 13 x 1【解析】设Vx t ,则x t3 ,原方程可化为:42t 1 t 17t 1 t 12-t t 2 0解之得，t 1或者t 2故x 1 (舍)或x 8.分式方程应用【例25】已知关于x的方程 上 2 上一有一个正数解，求 m的取值范围x 3 x 3【解析】原方程两边都乘(x 3),约去分母得，x 2(x 3)m ,所以x 6 m,因为原方程有解，所以6 m不能为增根，即 m 3,又因为方程的解

24、事正数，所以所以当m 6,且m 3时方程有一个正数解【巩固】当m为何值时，关于x的方程 上_x_x 2 x 3【解析】去分母得5x m 3,解得x,令x5一x-一的解为负数?(x 2)(x 3)m 3 c 0,5解得m 3当m 3时原方程的解是负数已知关于x的方程-x-x 3旦有一个正整数解，求x 3m的取值范围.x 2(x 3) m.方程有一个正整数解，6m 0且6 m是整数 .m 6且m是整数的整数时,原方程有一个正整数解【例26 关于x的方程2m的解也是不等式组4122(x由1 .六2 m 去分母得x 4 x(xx 42) 2m ,解得x【例27 由题意知x解不等式组综上可知,1 x c

25、x 22得x 2,即2(x 3) x 8m的取值范围是1x 2关于x的两个方程x2 x 24,且 m 02万程x x 2 0的解为xi1,x2 2 ,共同的解是x 13)二一有一个解相同，则 x a一、1x 2不是方程x 2的一个解，求m的取值范围.8的解百度文库-让每个人平等地提升自我刖3g 课后练习531已知:的值.【解析】9,即(a-)29,练习2.已知的值.练习3.1 2 (x 一)4x2x19x2219x2x4x 14,19x2192x319x22x1917193311练习4.解方程5xx2 x 62x 5x x 127x 10x 6x 8【解析】 这个分式方程的各分母都是多项式,应先分解因式确定最简公分母，从而转化为整式方程来解答原方程可变形为:7x 10x 2 x 45x2x 5I x 2 x 3 x x 12方程两边都乘以、x 2 x 3 x 4,得 5x x 4 2x 5 x 2 7x 10 x 3整理，得 40x40x 1检验，当x1时x2x3x4 0.1是原方程得根.原方程的解是x 1 .练习5.解方程人工孚一1x 2 x 4【解析】两边都乘以x 2 x