2019-2020学年江苏省常州市前黄中学高二下学期第一次调研考试数学试题解析

1、绝密启用前2019-2020学年江苏省常州市前黄中学高二下学期第一次调研考试数学试题2、请将答案正确填写在注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 答题卡上一、单选题321 .若 f(x) x 2x 3x 1 ,则 f (0)的值为()D. 4A.3B.4C. 3答案：A先求导数，再把 x 0代入导数可得f(0)的值.解：因为 f(x) x3 2x2 3x 1,所以 f (x) 3x2 4x 3,所以 f (0)3.故选：A.点评：本题主要考查导数的基本运算，熟记求导公式及法则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知曲线f(x) lnA.2答案：D利用导数求出f 1 ,

2、解：aQ f x ln x -, x由题意可得f 11点评：a一在点(1,f (1)处的切线的倾斜角为 xC. 13f 1 tan 1可求出a的值.4宁，则a的值为()1 af x -, x x,3,a tan-1,因此，a 2,故选 D.4D. 2本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考 查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.3.已知离散型随机变量 X的分布列如下，则 D X)()X0241424A. 1答案：BB. 2C. 3D. 4先计算EX),再根据公式计算得到 D X)解：111E(X)0-2-4-2424-121212D(X

3、)-(02)-(22)-(42)2424故答案选B点评：本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力1 4.函数y 21nx的单倜减区间为()x1 1一 JA.,B. ,C. 0,D. (0,)2 22答案：C先求函数的定义域，再求解导数y,令y 。可得减区间.解：定义域为(0,), y12 人 八 口 1C 1 ,令y 。可得x所以单调减区间为0,二x x22故选：C.点评：本题主要考查导数的应用，利用导数求解单调区间时，要先求函数的定义域，再求解关于导数的不等式可得，侧重考查数学运算的核心素养一 1 n5.若(x -)的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的 x项为(

4、)A. 252B. 70C. 56x2D. 56x2答案：B 由题意可得Cn C：,所以n 8,则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即T5 C8x ()C8 70 ,故选 B.X6 . 3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法总数为()A. 120B. 12C. 60D. 72答案：D先排男生，再把女生排进男生间的空隙，结合分步计数原理可得结果解：先排男生共有 A3种，男生排女?后共有 4个空隙，再把2个女生排进去共有 A2种排法,所以符合条件的共有 A3A4272种排法.故选：D.点评：本题主要考查排列问题，不相邻问题一般是利用插空法进行求解，侧重考查数学建模的核心素养.7 .若关

5、于x的方程kx lnx 0有两个实数根，则实数 k的取值范围是()A. (, e)B.1C.0,-eD. (0,e)答案：Cln x,利用导数求解ln x的单调性，结合图象可求实数 k的取值范围.解:由题意得ln x一，设xln x f (x)xf (x)1 In xe时，f(x)0 , f(x)为增函数;f(x)为减函数，且f (x)0.e时，f (x)0 ，1由图可知，0 k 时符合题意.e故选：C.点评：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的性质，作出简图是求解的关键，侧重考 查数学抽象的核心素养.8 .用数字0, 1,2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字的四位数的个数是（）A.

6、 360B. 300C. 120D. 180答案：B先排首位，再排其它位数，结合分步计数原理可得结果解：先排首位，共有5种方法；其它位数共有 A3种排法，结合分步计数原理可得共有3.一5 A 300种方法.故选：B.点评：本题主要考查排列问题，特殊位置优先考虑安排，题目较为简单，属于基础题.9.已知函数f X的导函数为f X ,在0,成立的是（）A. 2019f 2020C. 2019f 2020答案：A构造函数g Xg 2019 和 g解：2020f 20192020f 2019利用导数判断函数上满足xf xB. f 2019D. f 2019y g x 在 0,f x ,则下列一定f 20

7、20f 2020上的单调性，可得出2020的大小关系，由此可得出结论xf x f x由已知得，当x 0时，g x 0 .故函数y g x在0,上是增函数，所以 g 2020 g 2019 ,即匚吧2020f 2019一,所以 2019f 202020192020f 2019 .故选：A.点评:本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系,根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题10.已知变量Xi ,x20,m m 0 ,且Xix2"恒成立，则m的最大值A. eB.,eC.D. 1答案：Ax2可化为1nxilnx21 Inx可得答案解:解:x2 x1x2x1

8、即 x21nxilnx 八在0,m x故m的最大值为e.故选A.点评:x2xlnx2化为1nxilnx2x1X2上为增函数，f x1 Inx本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出lnx 一 .，后求导是解题的关x键.11.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（A. 100 种B. 60 种C. 42 种D. 25 种答案：C 给三个社区编号分别为 1, 2, 3,则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数,从而求得所有安排方式的总数 解: 甲可有3种安排方法, 若甲先安排第1社区,则

9、第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共C； C；第2社区2个、第3社区安排2个，共C： C；第2社区3个，第3社区安排1个，共c4 C；;故所有安排总数为 3 (C： C33 C42 c22 c4 Ci1) 42.故选：C.点评：本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12.已知函数f(x) memx lnx,当x 0时，f(x) 0恒成立，则m的取值范围为( )A. LB. LeC. 1,)D. (,e)ee答案：A分析可得m 0,显然memx ln x 0在0,1上恒成立，只需讨论x 1时的情况即可，f(x) 0memx ln xmxe

10、mx elnxln x,然后构造函数 g(x) xex(x 0),结合g(x)的单调性，不等式等价于 mx lnx,进而求得m的取值范围即可.解：由题意，若m 0,显然f (x)不是恒大于零，故m 0.m 0,则memx In x 0在0,1上恒成立；当 x 1 时，f(x) 0等价于 memx Inx,因为 x 1,所以 mxemx e1nx Inx.设 g(x) xex(x 0),由 g(x) ex(1 x),显然 g(x)在(0,)上单调递增，因为 mx OJn x 0,所以 mxemx elnxln x 等价于 g(mx) g(lnx),即 mx Inx,则In x m .In x /

11、 c、1 In x设 h(x) (x 0),则 h (x) 2 (x 0).xx令h(x) 0,解得x e,易得h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，11从而h(x)max h(e)一,故 m . ee故选:A.点评：本题考查了不等式恒成立问题，利用函数单调性是解决本题的关键，考查了学生的推理能力，属于基础题.二、填空题 313 .函数f x 2x x 1的图象在点 0, f 0 处的切线方程为 .答案：x y 1 0求出f 0和f 0的值，利用点斜式可得出所求切线的方程，化为一般式即可解：由题知 f x 6x2 1, f 01,又f 01,所以函数y f x的图象在点 0,

12、f 0 处的切线方程为y 1 x,即 x y 1 0.故答案为：x y 1 0.点评：本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数几何意义的应用，属于基础题2_.14 .设函数f(x) x cosx, x (0,1),则满足不等式f t f(2t 1)的实数t的取值范围是.1答案：(，1)2先利用导数判断f(x)的单调性，再结合单调性可求实数t的取值范围.解：因为f (x) 1 sin x 0 ,所以f(x)为增函数，2因为 f t f (2t 1),所以 t2 2t 1 ,即 t 0；一0 t2 11因为f(x)的定义域为(0,1),所以，解得1 t 1.0 2t 1 12，1故答案为：(一，

13、1).2点评:本题主要考查利用导数求解不等式，用导数判断函数的单调性是求解的关键，忽视函数的定义域是本题的易错点，侧重考查数学抽象的核心素养15 .有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4,从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是.答案：114根据题意，按取出数字是否重复分4种情况讨论：、取出的4张卡片中没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4;、取出的4张卡片中4有2个重复数字， 则2个重复的数字为1或2;若取出的4张卡片为2张1和2张2;、取出的4张卡 片种有3个重复数字，则重复的数字为1.分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案.解：根据题

14、意，分4种情况讨论：(1)取出的4张卡片中没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4,此时A44=24种顺序，可以排出24个四位数；(2)取出的4张卡片中有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2,若重复的数字为1, 22在2、3、4中取出2个，有C3 3种取法，安排在四个位置中，有412种情况，剩余位 置安排数字1,可以排出3X12=36个四位数，同理，若重复的数字为2,也可以排出36个 重复数字；(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有C2 6种情况，剩余位置安排两个2,则可以排出6X1=6个四位数；(4)取出的4张卡片中有3个重复数字，则重复的数字为1,

15、在2、3、4中取出1个卡片， 11有C3 3种取法，安排在四个位置中，有C4 4种情况，剩余位置安排1,可以排出3X 4=12个四位数；所以一共有24+36+36+6+12=114个四位数.故答案为：114.点评：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清 “是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不 能遗漏，这样才能提高准确率，难度较难.11nx 一 ，x 02_ 16

16、.已知函数f (x) x万程f2(x) 2mf(x) 0(m R)有五个不相等的1og2 x ,x 0实数根，则实数m的取值范围是.-1答案：(0,)211nx - ,x 0作出函数f (x) x的图象，结合图象可求实数m的取值范围.1og2 x , x 0解：1n x当x 0时，f (x) y,当0 x 1时，f (x) 0,函数为增函数； x当x 1时，f (x) 0 ,函数为减函数；极大值为f(1) 1,且x , f(x) 0;0的图象，如图,01 1n x作出函数f (x),xx1og2 x ,x2万程 f (x) 2mf(x) 0(m R),则 f(x) 0 或 f (x) 2m,由

17、图可知f(x) 0时，有2个解，所以f2(x) 2mf (x) 0有五个不相等的实数根,1只需要0 2m 1 ,即0 m ；2一，一，1故答案为：(0,1).2点评： 本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧 重考查数学抽象的核心素养三、解答题17 .从4名男生，3名女生中选出三名代表.(1)不同的选法共有多少种 ？（2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？（3）代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种？3答案：（1） C7 35种；（2） 31 种；（3） 30 种试题分析：（1）根据题意，要从7人中选出3名代表，由组合数公式可得答案；（2）至少有一名

18、女生包括 3种情况，、有1名女生、2名男生，、有2名女生、1名男生，、3名全是女生，由组合数公式可得每种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；（3）由（1）可得，从7人中选出3人的情况有C；种，从中排除选出的3人都是男生的情况与选出的 3人是女生的情况，即可得答案3试题解析：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法C7 35种；（2）至少有一名女生的不同选法共有c3c2 c；c； c7 31种;（3）男、女生都要有的不同的选法共有C73 C3 C33 30种.【考点】排列、组合的实际应用18 .已知 A： 56C：,且 1 2x n a0 a1x a2x2 %x3 L L anxn.（

19、1）求n的值;求a a Lan的值.2n答案：(1) 15. (2) 1(1)根据Am(n m)!,cnmn! 5,即可求解An m!(n m)!56Cn ,即可求得答案;（2）采用赋值法，令 x 1求出所有项系数的和，再令 x 0,求a0,即可求得答案解：（1）QA556Cnnn1n 2n 3n 4n 5n 6nn 1n 2n 3n 4567 6 5 4 3 2 1整理可得：(n 5)(n 6)190即 n2 11n 60 0,故(n 15)( n 4) 0解得：n 15或n 4 （舍去）(2)由(1) n 151523(1 2x) a0 a1x a2xa3x15a15x令x 0 ,可得a0

20、1令x 1,可得(1 2 -)15a。电器L2222a1a2L a150a0 T2 L T150222可得a1a2L驾1222215a15点评:本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，属 于基础题.19.盒内有大小相同的 9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分.现从盒内任取3个球(I)求取出的 3个球中至少有一个红球的概率；(n )求取出的 3个球得分之和恰为1分的概率；(出)设 为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.答案：(I)工；(n) ；( m)答案见解析.124

21、2本事主要是考查了概率的性质和分布列的期望值的求解的综合运用.(I)可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解;(n)可以记“取出 1个红色球，2个白色球”为事件 B, “取出2个红色球，1个黑色球”为事件C,求出事件B和C的概率，从而求出 3个球得分之和恰为 1分的概率;(出)E可能的取值为 0, 1, 2, 3,分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解;.3分(D)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B, “取出2个红色球，1个黑色球”为事件 C,则 P(B C) P(B) P(C)c12c2c9C2C145"CT42.6

22、分(出) 可能的取值为0,1,2,3.7分P(0) C6 今 P(1)等4584'P(2)C2c6C33)C3C384.ii 分的分布列为0123P521458431418454531的数学期望E 012 3 1.12分2184148420.如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，CAB ,3AB BD,圆弧BC是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从 C通往海岸的观光专线，观光专线有圆弧CP和线段PQ组成，其中P为圆弧BC上异于B,C的一点，PQ与AB平行，设 PAB，观光专线的总长度为f().(1)讨论函数f()的单调性(半径为r ,圆心角为 的扇

23、形的弧长l r )；(2)已知新建道路 PQ的单位成本是翻新道路圆弧 CP的单位成本的2倍.当 取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.答案：(1)单调递减；(2) 一时，观光专线的修建总成本最低，理由见解析 . 6(1)表示出f(),结合导数判断单调性；(2)表示出观光专线的修建总成本，结合导数求出最小值解:(1)由题意 CAP 3Cp又 PQ AB AP cos 1cos所以观光专线的总长度f()coscos1,0 3因为当0< 9<一时，f ()31 sin0,-上为减函数.(2)设翻新道路的单位成本为a (a 0),则总成本g( ) a 2cos2cosg ( )

24、a( 1 2sin),0 得 sin因为0<0<-,所以3一时，g (60；0；所以当一时，g(6)最小,即当一时，观光专线的修建总成本最低6点评:本题主要考查导数的实际应用,利用导数解决实际问题时，构建函数模型是求解的前提, 然后利用导数工具，求解函数单调性，进而可得最值，侧重考查数学建模的核心素养21.已知函数 fx lnxax1,gxex.(I ) ( i )求证：g x x 1 ;(五)设卜乂 f x 1 gx,当x0,h x1时，求实数a的取值范围;(n)当a 0时，过原点分别作曲线y f x与y g x的切线1i2,已知两切线的斜率互为倒数，证明:e 1e2 1a ee

25、答案：(I) (i)详见解析；(ii) ,2 ； (n)详见解析.(i) (i)构造函数u x ex x 1，通过求导分析单调性，利用最值即可证明；v 1(ii)由h x ex a,当a 2时，利用x 1h x ex a x 1 a可得函数单调性从而知成立，当 a 2时求导x 1x 1分析单调性找到反例知不成立，从而得解;(n)设切线12的方程为y k2X,切点为 %，V2 ,则y2 ee2 ik2g X2ex2比，可得li的的方程为X2yk1x1 .-x ,设li与曲线y f x e的切点为 x1,y1,通过求导列方程可得1nxi 1xi0,令 m x. 1Inx 1 x求导利用单调性即可证

26、得 解:(I) (i)证明:则 u xex所以x0时,0,0,所以u0,1.所以所以Inax2时，由(i)知0,x在0, + )上递增,h 01恒成立，符合题意.b.当a 2时，令t x h x ,则2 xx 1 x 1 e 1上递增，且t x e 2 2- 0,所以 h x 在 0,x 1 x 1h 02 a 0,则存在 xq 0,使得h xq0.所以h x在0,xo上递减，在 xq,上递增;又h xq h 0 1,所以h x 1不恒成立，不合题意.综合a, b可知，所求实数 a的取值范围是,2(n)证明：设切线I2的方程为y k?x ,切点为 用,y2 ,则y2 ek2gX2X2 ey2一

27、, X2所以X2i,y2ex2由题意知，切线li的斜率为kik2li的的方程为y kix设li与曲线y的切点为xi,yi则kif xi所以yi又因为yiInXiXiyi一,Xia XiXi消去yi和整理得1nxiXi0.Inx易知m x右X1所以i一, eiXii,Xi综上所述:点评:0,i上单调递减,因为i,上单调递增-i，所以xi-,ie在Xi上单调递减,因为m x在i,上单调递增，且m e0 ,则Xie,所以0 （舍去）本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力.求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程

28、；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.同时也考查了利用导数求解不等式恒成立问题， 本题变量分离较为复杂， 采用了讨论导函数研究函数单调性 的方法，属于难题.22.若函数f X在处有极值，且f X0Xo,则称X0为函数f X的“F点”.2(1)设函数 f X kx 21nx ( k R).当k 1时，求函数f x的极值；若函数f X存在“ F点”，求k的值；(2)已知函数g x aX3 bX2 cx (a, b, c R , a 0)存在两个不相等的“ F点” Xi, X2,且g Xig X21 ,求a的取值范围.答案：

29、(1)极小值为1,无极大值.实数k的值为1. (2)2,02(1)将k 1代入f x可得f x x 2lnx,求导讨论函数单调性，即得极值；设Xo是函数f x的一个“ F点”(Xo 0),即是f x的零点，那么由导数2 kx2 11 一f x 可知k 0,且f X00,可得x0 J，根据f X0X0可得x' kX0 21n X0 1 0,设 X x 21n x 1 ,由x的单调性可得x0,即得k. (2)方法一：先求g x的导数，g x存在两个不相等的“F点” x1, x2,可以由g x 0和韦达定理表示出 X1, X2的关系，再由g % g x2% x2 ,可得a,b, c的关系式，

30、根据已知解 g X1 g X2X1 X2 1即得.方法二：由函数g x存在不相等的两个23ax 2bx c 0,“F点” X1和X2,可知X1, X2是关于X的方程组 32的两个相异实数ax bx cx x根，由ax3 bx2 cx x得x 0,分两种情况：x 0是函数g x 一个“F点”，x 0不是函数g x 一个“ F点”，进行讨论即得.解：2解：(1)当 k 1 时，f x x 21nx ( k R),则有f x2x1x1(x 0),令 f x0得 x 1 ,列表如下:x0,111,f x0f x极小值Z故函数f x在x 1处取得极小值，极小值为 1,无极大值.设xo是函数f x的一个“ F点”(xo0)2 kx2 1xx 0),xo是函数f x的零点.k 0,由 f %1,x01,由 f x0% ,得 kx2 21n xx0 ,即 xO 21n x0 1 0.2设 x x 21n x 1 ,则 x 1-0, x所以函数x x 21n x 1在0,上单调增，注意到 10,所以