专题1：函数f(x)=lnx(x)的性质

1、第8页共5页以函数f(x)”为背景的高考试题x、母题结构:已知函数f(x)ln x的定义域为:x(0,),则单调性：f (x)当 x 0时，f(x)时，f(x)0,x函数只有一个零点x 1,f (x), f(x)的变化情况如下表:e ,当x变化时,x(0,e)(e,)f (x)f(x)fy1有最大值fmax(x)f(e)3，令 21nx 3 0 , x e",当 x 变化凹凸性：在(0,e2)上为凸，在(e2,)上为凹.1 In x , 、 x(21n x 3)令 g(x) f (x) , g (x) 4xx时，g (x), g(x)的变化情况如下表:x3(0,e2)3(e2,)g

2、(x)g(x)33所以函数f (x)在(0,e2)上为凸，在(e2,)上凹.函数的图像在(0,e)上任意一点x x0处的切线方程为：y kx m,则f(x) kx m ,当且仅当x x0时取等号.零点性质：f (x) a有一个实根的充要条件为：a (,0U1, f(x)xeln x1 a有两个实根的充要条件为：a (0,-).xe二、单调性的生成1 . (2014 全国卷文科)若a ln2, b理，c竺，则 235A. abc B. cba C. cab D. bac解析：设f(x) 叱，f(x)在(e,)上单调递减，又a 叱叱，3 4 5, x24f(3) f (4)f(5),选 C.推广：

3、n 3, nn1 (n 1)n.数列砺的最大项为我.ln x2 .当0 x 1时，f(x) ，则下列关系正确的是 xA.f(x)2 f(x2) f(x)B.f(x2) f(x)2f(x)2-2C. f(x) f(x ) f (x)2_2D.f(x )f (x) f (x)3 .已知 a 2.12.2, b 2.22.1 , clog2.22.1,贝U,A. a b c解析：设f (x)ln2.1 ln2.22.12.2B. cba C. cab D. a c b ln x，f(x)在(0,e)上单调递增，f(2.1) f (2.2), x2.2ln 2.1 2.1ln2.2, 2.12.22.

4、22.1 , clog2.2 2.1 1 .选 B.4. (1983 全国卷)(I )已知a , b为实数，并且e a b ,其中e是自然对数的底，证明：ab ba.(n)如果正实数a, b满足ab ba，且a 1,证明：a b.解析：(I )设f (x)ln x，f(x)在(e, x)上单调递减，e a b , f(a) f(b),ln aaln b即 bln aalnb , ab ba.ba 1 ,于是0 b 1.另一方面(H)因为 0 a 1, b 0,所以 ab 1 ,即abab ba, bln a alnb,从而"a "b ,由于 f(x)在(0, e)上单调递增

5、，a b. a b5. (2014 湖北卷文科)为圆周率，e 2.71828L为自然对数的底数.(I)求函数f(x)加匕的单调区间.x(R)求e3, 3e, e3兀3这6个数中的最大数与最小数.三、凹凸性的生成1 .设函数f(x) 皿的图像在点(e2, f(e2)处的切线与直线yx平行，则xef (x)的极值点是.2 .已知函数f(x) 叱(x 0). x(I)求函数f(x)的单调区间和极值；(H)已知函数y g(x)的图象与函数y f(x)的图象关于直线x e对称，证明:当 x e时，f(x) g(x)；(田)如果 x1 x2，且 f(x1) f(x2),证明：x1 x2 2e.3 . (2

6、013北京卷理科)设l为曲线C: y !n)在点(1,0)处的切线. x(I)求l的方程；(n)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线1的下方.解析：(I ) y x 1.(II ) h(x) x 1In x, 1 1n x，h(x) 1 xx2x 1 In x2,x(x) x2 1 In x 在(0,)单调递增,(1) 0,即h(0) 0.当x变化时,h(x), h(x)的变化情况如卜表:x(0,1)(1,)h(x)h(x)Z1n xh(x) h(1) 0 , x 1 ,当且仅当x 1时，取等方.x四、不等式的生成1.若不等式kx 1n x包成立.(I)求k的最小值为.1n 2 1n 3

7、, 1n n 15)求证：与r L 厂二23n eln x2.已知函数f (x) kx , g(x) x求函数g(x)的单调区间;若不等式f(x) g(x)在区间(0,)上包成立，求实数k的取值范围;ln 2 ln3 ,ln n1(田)解析:求证：r L -.2434n4 2e(I)函数g(x) 股的单调增区间为(0,e),单调减区间为(e,). xln x . ln xln x121nxx 0, kx , k -2-. 令 h(x) 2- , h'(x) 3,xxxx令h'(x) 0,解得x 呢;当x变化时，h(x) , h(x)变化情况如下表:x(0,品)(Ve,)h (x

8、)h(x)增减故 h(x) h( Ve) L ,则 k 2e2e(田)由(H)知In x 12e，In x 1x4 2e1又一n111n(n 1) n 1 n1 22 In 2 2432 Lln33411T (；n1In n11)('2211不(1 一)2en3) L1.2e3.已知函数f(x) 1 .x(I)试判断函数f(x)的单调性;(n )试证明：对任意n N ,不等式ln(- nn)en都成立(其中e是自然对数的底数).解析：(I )(略)(H)由(I )知当x(0,)时，f(x)max1.,一1,所以，在x (0,)e1 时，恒有f (x)e1 1 n 八 1 n为0,nnI

9、n x1,一xe,所以11 - en1,ln x1-,当且仅当x e,即 lnL)e ne时等号成立.因n N ,不等式 ln("n)e -n都成立.4.若函数 f(x) ln x(ln x ax)2/ax (aR)有三个不同的零点，则实数a的取值范围A.(/ e e-1C (0F eA. 3,1) (0,1-)U(,1) e e eB . 4解析：In x(ln x ax) ax20,C()2x(- e.5ln xa ax) e e,) eD0有三个零点,.6令小xt2 at a 0 ,函数 g(x)出的图像与函数h(x)t的图像有三个交点.根据函ln x数g(x)的图像可知t1(1)x1时，代入t2 ex1(0,-)eat0 ,或 t2 (,0).于是tl(2)0时，代入t2at0,于是ti0,不满足要求;1 e不满足要求；p(0) 0(3)当 t2(,0)时，令 p(t)t2 at a,则(1)0,于是 0 e.、 1综上，实数a的取值范围是：(0,4). e