2020-2021中考数学专题题库∶初中数学旋转的综合题及答案

1、2020-2021中考数学专题题库：初中数学 旋转的综合题及答案一、旋转1 .在 ABC中，AB=AC, / BAC= （060 ）,将线段 BC绕点B逆时针旋转60 °得到线段BD。（图（图2）（1）如图1,直接写出/ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2, /BCE=150, /ABE=60,判断 ABE的形状并力口以证明;（3）在（2）的条件下，连结 DE,若/DEC=45,求 的值。1【答案】（1） 30（2）见解析（3）3021 【解析】解：（1） 30。2（2） 4ABE为等边三角形。证明如下：连接 AD, CD, ED,线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD,B

2、C=BD, / DBC=60 ;又 / ABE=60 ,1ABD 60DBE EBC 30- 且 BCD为等边二角形。在 4ABD 与 4ACD 中，AB=AC AD=AD, BD=CD,1 ABDAACD (SSS。. BAD CAD 一2 _ _1_./BCE=150,BEC 180(30- ) 150在 ABD 和 EBC中， BEC BAD , EBCBAC1o21o2. BECABD , BC=BDBAD 。.ABDAEBC (AAS) 。 . . AB=BE .ABE为等边三角形。(3) ./BCD=60, /BCE=150,， DCE 1506090。又 / DEC=45 , D

3、CE为等腰直角三角形。.DC=CE=BC / BCE=150, ° -(180150 )EBC 15 。1一而 EBC 30 15。/.30。2(1) AB=AC, /BAC=,180ABC 2,将线段BC绕点B逆时针旋转60得至IJ线段BD,DBC 60 。ABD ABC DBC - 6030。22(2)由SSS证明ABDACD,由AAS证明AB44EBC即可根据有一个角等于 60的等腰三角(180150 )区 , 、15 ,由(1 )2形是等边三角形的判定得出结论。(3)通过证明 DCE为等腰直角三角形得出 EBC1,EBC 30,从21而30-15 ,解之即可。2.(探索发现)

4、如图， ABC是等边三角形，点 D为BC边上一个动点，将 ACD绕点A逆时针旋转 60得到 AEF ,连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.小明是这样想的:I) 心I > 羲珊-4SCE(1)请参考小明的思路写出证明过程；(2)直接写出线段 CD, CF , AC之间的数量关系： ;(理解运用)如图，在 ABC中，AD BC于点DM ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF ,延长FE与BC ,交于点G.(3)判断四边形 ADGF的形状，并说明理由；(拓展迁移)(4)在(3)的前提下，如图，将 AFE沿AE折叠得到 AME ,连接MB ,若 AD 6, BD 2,求 MB

5、 的长.B口 C8 口C1GH口C G图1图2图3【答案】(1)详见解析；(2) CD CF AC； (3)四边形ADGF是正方形；(4)213【解析】【分析】(1)根据旋转得： 4ACE是等边三角形，可得： AB=BC=CE=AE则四边形 ABCE是菱形；(2)先证明 C、F、E在同一直线上，再证明 BADCAF (SAS ,则/ADB=/AFC,BD=CF 可得 AC=CF+CD(3)先根据/ADC=/ DAF=Z F=90°,证明得四边形 ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；(4)证明BAM0EAD (SAS ,卞据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】(1)

6、证明： ABC是等边三角形，AB BC AC.ACD绕点A逆时针旋转60得到 AEF , CAE 60 , AC AE.ACE是等边三角形.AC AE CE.AB BC CE AE.，四边形ABCE是菱形.(2)线段DC , CF , AC之间的数量关系： CD CF AC.(3)四边形 ADGF是正方形.理由如下： Rt ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF , AF AD , DAF 90 .AD BC ,ADC DAF F 90 .四边形ADGF是矩形.AF AD , 四边形ADGF是正方形.(4)如图，连接DE .四边形ADGF是正方形,DG FG AD AF 6. ABD绕点A逆时

7、针旋转90得到 AEF ,BAD EAF , BD EF 2, EG FG EF 6 2 4. 将 AFE沿AE折叠得到 AME , MAE FAE , AF AM . BAD EAM .BAD DAM EAM DAM ,即 BAM DAE . AF AD , AM AD .AM AD在 BAM 和 EAD 中， BAM DAE ,AB AEBAM EAD SAS .1 BM DEEG2 DG242 6 2 2 13.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形 的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边 三角形和全

8、等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解.3.如图所示， ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90°, EC的延长线交BD于点P.(1)把4ABC绕点A旋转到图1, BD, CE的关系是 (选填 相等”或不相等”)；简 要说明理由；(2)若AB=3, AD=5,把4ABC绕点A旋转，当/EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图 形，PD=,简要说明计算过程；(3)在(2)的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为.【答案】（1） BD, CE的关系是相等；（2） 5 .34或20 商；（3）1,7 1717【解析】分析：（1）依据

9、4ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，Z BAC=Z DAE=90 ,即可 BA=CA /BAD=/ CAE, DA=EA 进而得至U AABDAACEL,可彳导出 BD=CR（2）分两种情况：依据 / PDA=/ AEC, /PCD=/ ACE,可得PCgACE即可得到PD CD 一一 5 _ .一=一，进而得至Ij PD=Z34 ；依据 / ABD=/ PBE, /BAD=/ BPE=90 ,可得AE CE17 BADsbpe 即可得至I -PB ”E 进而得出 PB=V34 , PD=BD+PB=20 J34 ; AB BD3417（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当 CE在

10、。A下方与OA相切时，PD的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.在 RtPED中，PD=DE?sin PED,因此锐 角/ PED的大小直接决定了 PD的大小.分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段 PD的最小值以及最大值.详解：（1） BD, CE的关系是相等.理由： ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/ BAC=Z DAE=90 ,BA=CA, / BAD=Z CAE DA=EA .ABDAACE,BD=CE故答案为相等.（2）作出旋转后的图形，若点 C在AD上，如图2所示：D _ E / EAC=90 , ° ce=Jac2 ae2 734，

11、 / PDA=Z AEC, / PCD=Z ACE,.,.PCDAACE,PD CDAE CE2 .pd=V34 ；17，RABD 中，BD= Jad2 AB2 5/34，BE=AE- AB=2,3 / ABD=Z PBE, / BAD=Z BPE=90.BAABPEPB BEPB2,即 f ,AB BD3.346 解得 pb=J34,34PD=BD+PB=V34 +，34 = 334 ,34175 . 20 故答案为一64或J34 ；1717(3)如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当 CE在。A下方与OA相切时，PD 的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.如图3所

12、示，分两种情况讨论：在RtPED中，PD=DE?s植PED因此锐角/ PED的大小直接决定了 PD的大小. 当小三角形旋转到图中 4ACB的位置时，在 RtACE 中， CE= . 52 32 =4,在 RtDAE 中，DE=J52 52 5V2，四边形ACPB是正方形，PC=AB=3,PE=3+4=7,在 RtA PDE 中，PD=后FPE2 J50 49 1,即旋转过程中线段 PD的最小值为1; 当小三角形旋转到图中 AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=7,即旋转过程中线段 PD的最大值为7.故答案为1, 7.点睛：本题属于几何变换综合题

13、，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三 角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这 些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问 题.4.如图1,在锐角 4ABC中，/ABC=45°,高线 AD、BE相交于点 F.(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由；(2)如图2,将4ACD沿线段AD对折，点 C落在BD上的点 M, AM与BE相交于点 N, 当DE/ AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.【答案】(1) BF=AC理由见解析；(2) NE=、AC,理由见解析.【解析】试题分析：(1)如图1,证

14、明AADCABDF (AAS),可得BF=AC(2)如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC由线段垂直平分线的性质得： AB=BC贝U /ABE=/ CBE 结合(1)得：BDFADM,贝U1 -/DBF=/ MAD,最后证明 /ANE=/ NAE=45 ,彳# AE=EN,所以 EN= AC.试题解析：(1) BF=AC理由是：如图 1,AD± BC, BEX AC, ./ADB=/ AEF=90,° / ABC=45 ；.ABD是等腰直角三角形，叫. AD=BD, / AFE=Z BFD, / DAC=Z EBC在 ADC和4BDF中，DA

15、C DBFADC BDF,AD BD .ADCABDF7 (AAS), BF=AC(2) NE=1AC,理由是： 2如图2,由折叠得： MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC ,.BEAC, .AB=BC,/ ABE=Z CBE, J由(1)得：AADCABDF, .ADCAADM,.,.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / DBA=Z BAD=45 ； / DBA- / DBF=Z BAD- / MAD, 即 / ABE=Z - BANI, / ANE=Z ABE+Z BAN=2/ ABE,/ NAE=2/ NAD=2/ CBE/ ANE=Z NAE=45 ；-ae=en1E

16、N= -AC. 25.在平面直角坐标系中，O为原点，点A (3, 0),点B (0, 4),把ABO绕点A顺时针旋转，得AABO',点B, O旋转后的对应点为 B； O.(1)如图1,当旋转角为90。时，求BB的长；(2)如图2,当旋转角为120°时，求点O'的坐标；(3)在(2)的条件下，边 OB上的一点P旋转后的对应点为 P；当O'P+AP取得最小值 时，求点P'的坐标.(直接写出结果即可)【答案】(1) 5应；(2) O' (9,空)；(3) P' (27225【解析】【分析】(1)先求出AB.利用旋转判断出 ABB是等腰直角三角

17、形，即可得出结论；(2)先判断出/HAO'=60：利用含30度角的直角三角形的性质求出AH, OH,即可得出结论；(3)先确定出直线 O'C的解析式，进而确定出点P的坐标，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.【详解】(1) . A (3, 0) , B (0, 4) , .1.OA=3, OB=4, ，AB=5,由旋转知，BA=B'A,/BAB=90 ,。. MBB'是等腰直角三角形，. BB=应 AB=5 72 ；(2)如图 2,过点 O'作 O'Hx 轴于 H,由旋转知， O'A=OA=3, Z OAO'=120

18、°, / HAO'=60 Z HO'A=30 ； . AH=-AO'=-,OH=，., 3 AH=212,OH=OA+AH=-,2.O'(9,巫；22(3)由旋转知，AP=AP,O'P+AP=O'P+AP.如图3,作A关于y轴的对称点 C,交 y 轴于 P,O'P+AP=O'P+CP=O'C,此日O'P+AP 的值最小.点C与点A关于y轴对称，C(-3, 0).连接O'CO' (9,33),，直线O'C的解析式为y=22&x+典，令皿、坦,.P (0,. O'p=O

19、P=3/| ,作 P'DO'H 于 D.5 / B'O'A=Z BOA=90 ； / AO'H=30 ；/ DP'O'=30 ,3 3.O'D=- O'P= ，P'D=?3 O'D= , .DH=O'H- O'D=6/1 , O'H+P'D=-27 , . P (1010合盛)55K2图3【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键.6.已知4ABC是边长为4的等边三角形，边 AB在射线O

20、M上，且OA=6,点D是射线OM 上的动点，当点 D不与点A重合时，将4ACD绕点C逆时针方向旋转60°得至ij ABC已连接DE.(1)如图1,猜想：4CDE的形状是 三角形.(2)请证明(1)中的猜想(3)设 OD=m,当6vmv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出4BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由. 是否存在m的值，使4DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.图1图2【答案】(1)等边；(2)详见解析；(3)273+4；当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【解析】【分析】(1)由旋转的性质猜想结论；(2)由

21、旋转的性质得到 /DCE=60°, DC=EC,即可得到结论；(3) 当6vmv10时，由旋转的性质得到 BE=AD,于是得到CadbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD± AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论； 存在，分四种情况讨论：a)当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形； b）当0用<6时，由旋转的性质得到 Z ABE=60°, / BDEv60°,求得/BED=90°,根据等边 三角形的性质得到 /DEB=60°,求得/CEB=30

22、6;,求得OD=OA- DA=6-4=2=m；c）当6<m< 10时，此时不存在；d）当m>10时，由旋转的性质得到 Z DBE=60 °,求得/ BDE> 60°,于是得到 m=14.【详解】（1）等边；（2）二将 4ACD 绕点 C 逆时针方向旋转 60° 得到 4BCE/ DCE=60°, DC=EC,.CDE是等边三角形.（3） 存在，当6vt<10时，由旋转的性质得：BE=AD, Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，4CDE是等边三角形，. DE=CD,.Ca dbe=CD+4,由垂线段

23、最短可知，当CD）± AB时，4BDE的周长最小，此时， CD=2 J3 , .BDE 的最/、周长=CD+4=2 73+4；存在，分四种情况讨论：a）二当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合 题意；b）当 0用<6 时，由旋转可知， Z ABE=60 °, /BDEv 60°,，/BED=90°,由（1）可知， CDE是等边三角形，/ DEB=60 °,/ CEB=30 °. / CEB=Z CDA,/ CDA=30 :./CAB=60；Z ACD=Z ADC=30 ； . DA=CA=4

24、, . OD=OA DA=6 - 4=2, . m=2;Cc）当 6vmv10 时，由 Z DBE=120 °> 90°,，此时不存在；d）当m>10时，由旋转的性质可知，Z DBE=60°,又由（1）知/CDE=60°,Z BDE=Z CDEnZ BDC=60 +Z BDC,而 / BDC> 0 °, . / BDE>60 °, .只能 / BDE=90 ；从 而/BCD=30°,BD=BC=4,，OD=14,，m=14.综上所述：当 m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【点睛】

25、本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判 定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.7.如图，点P是正方形 ABCD内的一点，连接 PA, PB, PC.将 PAB绕点B顺时针旋转90°到P'CB的位置.（1）设AB的长为a, PB的长为b（b<a）,求 PAB旋转到 P'CB的过程中边 PA所扫过区域（图中阴影部分)的面积；(2)若 PA=2, PB=4, /APB=135：求 PC 的长.【答案】S阴影=4(a2-b2)； (2)PC=6.【解析】试题分析：(1)依题意，将/P' CB时针旋转90。可与4PAB重合，此

26、时阴影部分面积 二扇 形BAC的面积-扇形BPP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90。，可据此求出阴影部分的面积.(2)连接PP；根据旋转的性质可知： BP=BP；旋转角ZPBP'=90°,则4PBP是等腰直角三 角形，/BP'C=/ BPA=135, /PP'C=/ BP'C-Z BP'P=135°-45 =90°,可推出PP'C是直角三角 形，进而可根据勾股定理求出 PC的长.试题解析：(1)二,将4PAB绕点B顺时针旋转90°到AP' CB位置，.PABAP'CB,Sa

27、pae=Sxp'cb,HS阴影=S扇形bac-S扇形bpp =斗(a2-b2);(2)连接PP,根据旋转的性质可知：4AP形4CP BP.BP=BP ' ,=P' C=PA=2 PBP' =90 ° PBP是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又 / BP C= BPA=135,./PP' CbP'-aBP' P=1345°= 90 ；即 APP'是直角三角形.PC=L 1 +=6.考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质.8.在平面直角坐标系中，O为原点，点 A

28、 (0, 4),点B (-2, 0),把ABO绕点A逆时针旋转，得4AB' Q'点B、。旋转后的对应点为 B'、O'.(1)如图，若旋转角为60°时，求BB'的长；(2)如图，若AB/x轴，求点。'的坐标；(3)如图，若旋转角为240°时，边OB上的一点P旋转后的对应点为 P',当O P+A取 得最小值时，求点 P'的坐标(直接写出结果即可)图 图VAYAg VA(2)点O'的坐标为(8Z5 , 逑+4) ； ( 3)点P'的坐标为(- 558 336, 55【解析】分析：(1)由点A、B的坐标

29、可得出 AB的长度，连接BB',由旋转可知：AB=AB', /BAB' =6 0进而可得出4ABB为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出BB'的长；(2)过点O作OD，x轴，垂足为 D,交AB于点E,则AOEsABO,根据旋转的性 质结合相似三角形的性质可求出AE、OE的长，进而可得出点 O'的坐标；(3)作点A关于x轴对称的点A',连接AO'交x轴于点 巳 此时OP+AP'取最小值，过 点O作OF，y轴，垂足为点F,过点P作PMXOF,垂足为点M,根据旋转的性质结合解 直角三角形可求出点 。的坐标，由A、A'关于x轴对

30、称可得出点 A'的坐标，利用待定系数 法即可求出直线AO'的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，进而可得出OP的长度，再在 RtAOPM中，通过解直角三角形可求出O'M、PM的长，进而可得出此时点P'的坐标.详解：(1) 丁点 A(0, 4),点 B( 2, 0) , .-.OA=4, OB=2,AB= 5/Oa2_Ob2 =2 而.在图中，连接BB'.由旋转可知： AB=AB', /BAB' =6 0 °， ABB为等边三角形，. BB' AB=2 而.(2)在图中，过点。作ODx轴，垂足为 D,交A

31、B于点E. AB7/ x 轴,O'ELx 轴,Z OEA=90 °=ZAOB.AE O'E AO' '由旋转可知： / BAO £ BAO, AO AO=4, . AOEsABO, =，即AO BO AB延=些=3，小上述，OE=W5, .OgWl+d .点O,的坐标为422.5555,85 4、5(，+4).55(3)作点A关于x轴对称的点A',连接A。'交x轴于点 巳 此时OP+AP'取最小值，过垂足为点M,如图3所示.点。作OF，y轴，垂足为点F,过点P作PMXOF,由旋转可知： AO'AO=4, Z O

32、AF=240 - 180 =60 °,AF=1AO，= 2OF=2/!aO，=23 2'2'点 O,( - 26，6).点 A (0, 4) , 点 A' (0, - 4).设直线A。'的解析式为y=kx+b,将 A' (0, - 4)、O' ( - 2 J3 , 6)代入 y=kx+b,得:b 4kL，解得：k2、3k b 6一b5 33, 直线A。'的解析式为y=-43x-4.3当 y=0 时，有-5c x - 4=0,解得：x=-3，OP=OP 41 .5逑，点P （-迪，0）,在 RtAOPM 中，/MOP' =

33、60°/O'MP'=90° .,.OM=- OP? 23 25PM = 2OP I，.点 P的坐标为(2J3+ 撞，6+6）,即（一8、3 36、55点睛：本题考查了函数图象及旋转变换、待定系数法求一次函数解析式、等边三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用等边三角形的性质找出 BB的长；（2）通过解直角三角形求出 AE、OE的长；（3）利用两点 之间线段最短找出当 O P+AP'取得最小值时点 P的位置.9.如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点 点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C, 轴的

34、垂线与直线CF相交于点E,连接AC,（I ）当t=2时，求点M的坐标；（n ）设ABCE的面积为S,当点C在线段 自变量t的取值范围；B坐标为（0, 4） , M是线段AB的中点，将 过点C作x轴的垂线，垂足为 F,过点B作y BC,设点A的横坐标为t.EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出（出）当t为何值时，BC+CAM得最小值.3【答案】(1) (1,2); (2) S=- t+8 (0Wt &8; (3)当 t=0 时，BC+ACW最小值2【解析】试题分析：(I)过M作MGLOF于G,分另1J求 OG和MG的长即可；(II)如图1,同理可求得 AG和OG的长，证明AMG0CA

35、F,得：AG=CF=- t2，AF=MG=2,分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；(III)证明ABOsCAF,根据勾股定理表示 AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的 意义得出当t=0时，值最小.试题解析：解：(I)如图1,过M作MGLOF于G,，MG/OB,当t=2时，OA=2.M是AB的中点，G是AO的中点，. .OG=1OA=1, MG是4AOB的中位线，2.MG = 1 OB=1 X 4=2 M (1, 2)；22(II)如图 1,同理得：OG=AG=1t. ./BAC=90：2 / BAO+Z CAF=90 :/ CAF+ Z ACF=9

36、0 : ：. / BAO=Z ACF, / MGA=Z AFC=90 ;MA=AC,AAMGACAF, .AG=CF=1t, AF=MG=2, EC=4 - - t, BE=OF=t+2,22 .Sabcez1 EC?BE=1 (4- 1t) (t+2) =- 1t2+- t+4; 22242c 11 c 2 121,2, cc c 3,cSaabc= ?AB?AC= ? J16 t2 ? v16 t = - t2+4, 1. S=Sabec+Saabc=t+8.22242当A与O重合，C与F重合，如图2,此时t=0,当C与E重合时，如图3, AG=EF,即t=4, t=8,. S与t之间的函

37、数关系式为：S= t+8 (04W8 ；22(III)如图 1,易得AB8 4CAF, 旭=旭=OA=2, .-5=2, CF="t,由勾股定理AC AF FC2得:ac=7aF2 CF2=22 （-02 =（4 1t2，BO JBE2 EC2 = J（t 2）2 （4 ）2=/（t2 4）, .BC+AC=（述+1）点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几 何变换(旋转)、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解 决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.10.已知：如图1,将两块全等的含 30o角的直角三角板按图所示

38、的方式放置，/BAC=/ BiAiC=30°,点 B, C, Bi 在同一条直线上.(1)求证：AB=2BC(2)如图2 ,将 4ABC绕点C顺时针旋转a (0V /V 180),在旋转过程中，设 AB与 AiC、A1B1分别交于点 D、E, AC与A1B1交于点F,当a等于多少度时， AB与A1B1垂直？ 请说明理由.(3)如图3,当4ABC绕点C顺时针方向旋转至如图所示的位置，使 AB/CB, AB与A1C 交于点D,试说明A1D=CD.国 1® 2®【答案】(1)证明见解析(2)当旋转角等于 30。时，AB与AiBi垂直.(3)理由见解析【解析】试题分析：由

39、等边三角形的性质得AB=BBi,又因为BBi=2BC,得出AB=2BQ(2)利用AB与A1B1垂直得/AiED=90°,则/ AiDE=90°-/Ai=60 °,根据对顶角相等得Z BDC=60 ,°由于Z B=60 ；利用三角形内角和定理得Z AiCB=180°-Z BDC-Z B=60°,所以ZACAi=90°-Z AiCB=30°,然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；(3)由于AB/ CB, Z ACB=90°,根据平行线的性质得 Z ADC=90°,在

40、RtADC中，根据含130度的直角三角形三边的关系得到CD=-AC,再根据旋转的性质得 AC=AiC,所以21CD=-AiC,贝U AiD=CD.2试题解析：(1) ABB是等边三角形；AB=BBiBBi=2BC2 .AB=2BC(2)解：当 AB 与 A® 垂直时，Z AiED=90°,3 Z Ai DE=90-Z Ai=90 -30 =60 ,Z B=60 , Z BCD=60 ,4 Z ACAi=90 -60 =30 ,即当旋转角等于 30°时，AB与AiBi垂直.(3) . AB/CB, Z AC0=9O ,Z CDB=90 ；即 CD 是 ABC 的高,

41、设 BC=a , AC=b，则由(1)得 AB=2a, Aic=b ,1 1S abc BC AC AB CD , 221 1即一ab - 2a CD2 2“1, 1CD b ,即 CD=AiC, 22，AiD=CD.【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.11.如图 1,在 4ABC中，CA=CB /ACB=90°, D 是4ABC内部一点，/ ADC=135°,将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连接DE.(1) 依题意补全图形；

42、 请判断/ADC和/CDE之间的数量关系，并直接写出答案.(2)在(1)的条件下，连接 BE,过点C作CMLDE,请判断线段 CM, AE和BE之间的 数量关系，并说明理由.(3)【解析】A(3)如图2,在正方形 ABCD中，ABi/2,如果PD=1, / BPD=90 ,请直接写出点 A到BP/ADC+/ CDE=180; (2) AE=BE+2CM) 理由解析;试题分析：(1)作CE!CD,并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90。得到的， 再连接DE即可；根据/ ADC和/ CDE是邻补角，所以 / ADC+/ CDE=18 0.(2)由(1)的条件可得 A、D、E三点在同一条直线上

43、，再通过证明4ACgABCE,易得AE=BE+2CM(3)运用勾股定理，可得出点A到BP的距离.试题解析：解：(1) 依题意补全图形(如图)； /ADC+/ CDE=180°.(2)线段CM, AE和BE之间的数量关系是 AE=BE+2CM理由如下:线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE,.CD=CE /DCE=90.°/ CDE=Z CED=45.°又 / ADC=135 , / ADC+Z CDE=180 ,° A、D、E三点在同一条直线上.，AE=AD+DE又 / ACB=90 , / ACB- / DCB=Z DCE- / DCB, 即 / A

44、CD=Z BCE又. ACmBC cd=ce .ACDABCE.AD=BE. , CD=CE / DCE=90 ； CM± DE. . DE=2CM. .AE=BE+2CM。-1(3)点A到BP的距离为 鼻.考点：作图一旋转变换.12.在 ABC中，AB=AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转彳#到线段 CD,旋转角为门，且 < n < 18T',连接 ad、BD.(1)如图1,当/BAC=100,优=6°:时，/CBD的大小为 ;(2)如图2,当/BAC=100,优=20.时，求/CBD的大小；(3)已知/BAC的大小为m (60°j ,若/ C

45、BD的大小与(2)中的结果相同，请直接写出q的大小.图1图2【答案】(1) 30°； (2) 30°； (3) a =120-m°, a =60或 a =240m°.【解析】试题分析：(1)由/BAC=100, AB=AC,可以确定/ABC=/ ACB=40 ,旋转角为 % a =60° 时4ACD是等边三角形，且 AC=AD=AB=CD知道/ BAD的度数，进而求得 / CBD的大小.(2)由 /BAC=100, AB=AC,可以确定 Z ABC=Z ACB=40,连结 DF、BF. AF=FC=AQ/ FAC=Z AFC=60 ,°

46、; / ACD=20，由/ DCB=20 案.依次证明 DC噂 FOB, DABDAF.利用角度相等可以得到答案.(3)结合(1) (2)的解题过程可以发现规律，求得答案.试题解析：(1) 30° (2) 30°(2)如图作等边 AFC,连结DF、BF.AF=FC=AC / FAC=Z AFC=60 ,° Z BAC=100 , ° AB=AC,Z ABC=Z BCA=40 .° / ACD=20 ,°/ DCB=20.° ./ DCB=/FCB=20 . . AC=CD, AC=FCDC=FC ,. BC=BC 由，得 D

47、C® FOB,DB=BF, / DBC=Z FBC. / BAC=100 ,° / FAC=60, °/ BAF=40 .° / ACD=20 ； AC=CD / CAD=80 :/ DAF=20 ,°/ BAD=Z FAD=20 .° . AB=AC, AC=AF, . . AB=AF. AD=AD,，由 ，得DAB0DAF.FD=BD. . . FD=BD=FB . . / DBF=60 . ° / CBD=30(3) a =120-m°, a =60或 a =240m° .考点：1.全等三角形的判定

48、和性质；2.等边三角形的判定和性质.13.在4ABC中,AB=6,AC=BC=5各 ABC绕点A按顺时针方向旋转 彳导到4ADE旋转角为 a (0°< “V 180。)，点B的对应点为点D,点C的对应点为点E连接BD, BE.(1)如图，当a =60时，延长BE交AD于点F. 求证：ABD是等边三角形；求证：BF± AD, AF=DF;请直接写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线 AB,垂足为点G,连接CE当/ DAG=/ ACB且线 段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE勺值.c【答案】（1） 详见解析；3招-4; （2） 13.【解析】

49、试题分析：（1）由旋转性质知 AB=AD, /BAD=60即可得证；由BA=BD EA=ED根 据中垂线性质即可得证；分别求出BF、EF的长即可得；（2）由/ ACB+/ BAC+/ ABC=180、° / DAG+/ DAE+/ BAE=180、° / DAG=/ ACR / DAE=Z BAM/ BAE=/BAC且 AE=AC 根据三线合一可得 CE1 AB、 AC=S AH=3,继而知 CE=2CH=8BE=5,即可得答案.试题解析：（1）.一ABC绕点A顺时针方向旋转 60。得到AADE,.AB=AD, /BAD=60；.ABD是等边三角形；由得4ABD是等边三角形，.AB=BD, ABC绕点A顺时针方向旋转 60得到 ADE, .AC=AE BC=DE又. AC=BCEA=ED点B、E在AD的中垂线上,.BE是AD的中垂线，点F在BE的延长线上，BFXAD, AF=DF; 由 知BFXAD, AF=DF, .AF=DF=3,.AE=AC=5,EF=4,在等边三角形ABD 中,BF=AB?sinZ BAF=6BE=BF- EF=3右-4;（2）如图所示, / DAG=Z ACB, / DAE=Z BAG, / ACB+/ BAC+Z ABC=Z DAG+Z DAE+Z ABC=180 ,又 / DAG+Z DAE+/ BAE=180 ,Z BAE=Z