2020版新高考复习理科数学教学案：函数与方程思想含答案

1、教学资料范本2020版新高考复习理科数学教学案：函数与方程思想含答案编辑：时间：数学思想方法数学解题思维策略有两条主线：数学基础知识和数学思想方法.数学基础知识是一条明线.而数学思想方法则是一条暗线.二轮复习时.我们应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想方法.熟练掌握好数学思想方法.会使你站在一个崭新的高度去审视问题.从而助力你在解答高考数学综合问题时能左右逢源.游刃有余!第1讲函数与方程思想思想方法简明概述函数思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数.运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题.从而使问题得到解决的思想方程思想方程思想就是建立方程或方程组.或者构造方程.通过解方程或方程组

2、或者运用方程的性质去分析、转化问题. 使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的.是相辅相成的.函数思想重在对问题进行动态的研究.方程思想则是在动中求静.研究运动中的等量关系热点探究考向调研调研一构建“目标函数”求最值【例11(1)20xx河北衡水中学三调平行四边形ABCD中.AB=2.AD=1.AfeAb=1点M在边CD上.则MAMB勺最大值为()Aa/2-1B.V3-1C. 0D. 2解析：如图.,ABAb= 1.AB=2.AD=1. . |AB ADcos/ BAD= 1. 1 2cos/ BAD= - 1.cos/ BAD= 2 ./ BAD =120 .D M

3、c以点A为原点.AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标 系.则A(0,0)旦2,0).D -2,乎.由点M在边CD上.可设M x,当则 x£ 一；，2 .则麻=x，-半.MB 2x,乎.所以MAMB=3-1x(x-2) + 4= (x-1)2-4.人一c 113 一 ,1令 f(x)=(x1)2 .xS 2, 2 .则 f(x)在一2, 1 上单调递减.在3 ,、一、一 一，1、，1, 2上单调递增.所以f(x)max = f 2 = 2.选D.答案：D(2)20xx 河南 XXHJX模已知数列an的首项 a1=21.且满足(2n 5)an+1 = (2n 3)an+ 4n2

4、16n+15.则an的最小的一项是()A . a5B. a6C. a7D. a8解析:(2n 5)an+ 1 = (2n-3)an +4n2-16n+15. (2n 5)an+1 = (2n - 3)an + (2n- 3)(2n - 5).an+1an an+1 an 2n-3=2n-5+ 1.2n-3-2n-5=1.一a1 21a1 21.-2 53一7.14 / 14anan数列 力 是首项为7.公差为1的等差数列.=7 + (n1)x1=n 8. 2n5. an=(n-8)(2n-5).n N*.令 f(n)=(n- 8)(2n 5).n N*.则其对称轴为 n =10.5= 5.25

5、.则an的最小的一项是第5项.选A.答案：Ay2(3)20xx黑龙江哈二中期末已知椭圆石a2+ x2= 1(a>1)的离心率e= 255.P为椭圆上的一个动点.若定点B( 1,0).则|PB|的最大值为()3A.2B. 25C.2D. 3解析：由题意得配方1 =逑2a2 5解得a2=5.则椭圆方程为y2+x2=1.5设 P(x.y).则 y2=5(1 x2).所以 |PB|= ' x+1 2+ y2=；1x+ 1 2+5 1 - x2=、4x2+2x + 61 , 因为x6 1,1.所以当且仅当x= 4时.5 t|PB|max = 2.选 C.答案：C(4)20xx安徽芜湖期末锐

6、角ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c.已知2asinC=gc.a=1.则ABC的周长的最大值为()B. :2+ 1D. 4a.3+1C. 3解析：: 2asin C= y/3c. 2sin Asin C=/3sin C. . sin A=弓. “一兀ABC为锐角三角形.：4=.3由正弦定理.得sin B sin C二 b= . sin B.c= . sin C. 3322.ABC 的周长为 1+市sin B+ 3sin C=1 + 布sin B+j3sin -3- B+ sin B31+ 23 sin B'31+ 2 cos B +2sin Bin B + 2 cos B一

7、一一一兀= 1 + 2sin B+ ?.兀 当B = 4.即 ABC为等边三角形时.周长取得最大值3.选C. 3答案：C方法点睛构建“目标函数”就是把待求目标写成函数的形式.将所求问题 转化为函数的最值或值域问题.(1)求最值或值域时.经常用到配方法、换元法、均值不等式法以及函数单调性法.(2)求最值或值域时.要根据题目的已知条件.准确求出目标函数 的定义域.调研二 分离参数“显化函数关系”求范围. 1【例2(1)20xx河北衡水中学二调若关于x的万程log,3(a3x) = x2有解.则实数a的最小值为()A. 4B. 6C. 8D. 2一一 、.一 一 、1 一解析：关于x的方程log-(

8、a-3x) = x- 2有解？ a- 3x= 3 x 2有解? a=3x+ 32-x有解.因为 3x + 32 xA2a/3x 32 x = 6(当且仅当 x= 1 时.等号成立).所以a的最小值为6.选B.答案：B(2)20xx浙江金华十校期末若关于x的不等式x3-3x2-ax+ a + 2w0在(-.1上恒成立 则实 数a的取值范围是()A (一oo.一3B. -3. + °°)C. ( 8.3D. 3. + S)解析：关于x的不等式x3 3x2 ax+ a + 2w0在(0°.1上恒成 立等价于 a(x 1)>x3 3x2 + 2= (x3 x2) 2

9、(x2 1)= (x1)(x2 2x 2)恒成立.当x=1时.不等式显然恒成立；当x<1时.不等式化为a<x2-2x-2./y=x2-2x-2=(x- 1)2-3>-3.x (s.1.二 aW 3.选 A.答案：A(3)20xx云南曲靖一中质量监测已知函数f(x)=ex(x m).m R.若对？ x (2,3).使得f(x) + xf' (x)>0.则实数m的取值范围为()A 815B 88r.4 4.3 3C. 145, +°°D. 8, +°043解析：: f(x) = ex(x m). f (x) = ex(x m)+ ex=

10、 ex(x m+ 1).由题意知 f(x) + xf' (x)>0? ex(x- m) + xex(xm+1)>0? exx2+(2 m)x m>0在(2,3)上恒成立. x2+ (2m)x m>0在(2,3)上恒成立.x2 + 2x ,m< x+1在(2,3)上怛成立.x2 + 2x1令g(x) = x2TT =(x+1) 不在(2,3)上单调递增. X I IX I I一 一 8 一 8,_ g(x)>g(2) = §.则 m< 3.选 B.答案：B方法点睛(1)对于方程有解、不等式恒成立问题或存在性问题.往往可以分 离参数.然后

11、再构造函数.把问题转化为求函数的值域或最值问题来解 决.(2)不等式有解、恒成立求参数的方法：g(a)>f(x)恒成立.则 g(a)>f(x)max.g(a)<f(x)恒成立.则 g(a)<f(x)min.g(a)>f(x)有解.则 g(a)>f(x)min.g(a)<f(x)有解.则 g(a)<f(x)max.(3)分离参数法是求参数范围的常用方法.恰当合理的参变分离有 助于问题的解决.有时需要分类讨论.调研三“构造函数”解不等式、求最值、比较大小【例3】(1)20xx湖北恩方质检设函数f(x)是定义在区间(0. + S)上的函数f(x)是函数

12、f(x)的导函数.f(x)+xln.In x xf' (x)>0.则不等式歹x->0的解集是()>0.所以函数g(x)=ln xf(x)在(0.+°°)上单调递增.而>0? In xf(x)>0? g(x)>0? g(x)>g(1)? x>1.故选 B.答案：B(2)20xx吉林调研设函数f(x)在R上存在导函数f' (x).对任意实数x.都有f(x) = f(x) + 2x.当x<0时f (x)<2x+ 1.若f(1 -a)<f(-a) + 2-2a.则实数a的最小值 为(),一 1A .

13、- 1B. 2A. C.2D.1解析：设 g(x) = f(x) x2 x.则 g' (x)=f' (x)-2x- 1.因为当 x<0 时f (x)<2x+ 1.所以 g' (x)<0.即 g(x)在(00.0)上单 调递减.又 g(x) = f(x) x2x.贝U g( x)= f(x) x2+x.又 f(x) = f(-x) + 2x.则 f(x)-f(-x)-2x=0.s +°°B. (1. 4 °°)3C. 0, 1D. (0,1)31f x +xln xf'xIn xf x解析：构造函数 g(x

14、) = ln xf(x)(x>0).则 g (x)=-f(x) + ln xf (x) x所以 g(x)g(x) = f(x) f(x) 2x=0.即 g(x)为 R 上的偶函 数.又 f(1 a) w f( a) + 2 2a? f(1 a) (1 a)2 (1 a) w f( a) (-a)2-(-a).即 g(1 a)w g( a).所以 |1 ag |a|.11角牛得an 2.即a的取小值为2.故选C.答案：C(3)20xx吉林延边质检已知定义在R上的函数f(x)和g(x)满足f(x)=L1e2x一叶乂2牙y且g'(x)+2g(x)<0.则下列不等式成立的是()A.

15、 f(2)g(20xx)<g(20xx)B. f(2)g(20xx)>g(20xx)C. g(20xx)<f(2)g(20xx)D. g(20xx)>f(2)g(20xx)解析：: f(x) = f 21 e2x 2+x2_2f(0)x. f' (x) = f' (1)e2x 2 + 2x2f(0). .f (1) = f' (1) + 2 2f(0).得 f(0)=1. .f(0) = f-2e 2=1.得 f' (1) = 2e2.f(x)=e2x+x2 2x.设 F(x) = e2xg(x).则 F' (x)=2e2xg(x

16、) + e2xg(x) = e212g(x)+g (x)<0.F(x)在R上单调递减. F(20xx)>F(20xx). e20xx 2g(20xx)>e20xx 2g(20xx).g(20xx)>e4g(20xx).又 f(2) = e4. g(20xx)>f(2)g(20xx).故选D.答案：D方法点睛常见的构造函数的方法有如下几种：1 .利用和、差函数的求导法则构造函数(1)对于不等式 f' (x) + g(x)>0(或 <0).构造函数 F(x) = f(x) + g(x)；(2)对于不等式 f' (x) g' (x)&

17、gt;0(或 <0).构造函数 F(x) = f(x) g(x)；特别地.对于不等式f' (x)>k(或<k)(k# 0).构造函数F(x) = f(x) kx.2 .利用积、商函数的求导法则构造函数(3)对于不等式 f' (x)g(x) + f(x)g'(x)>0(或<0).构造函数 F(x)= f(x)g(x)；(4)对于不等式 f' (x)g(x) f(x)g' (x)>0(或<0).构造函数 F(x)=f x(g(x)0)；g x上述(3)(4)都是利用积、商函数的求导法则构造函数的一般情况 但在考试中.

18、g(x)往往是具体函数.所以还有如下列(5)(16)常见构造 函数类型.(5)对于不等式 xf' (x) + f(x)>0(或 <0).构造函数 F(x) = xf(x);f x(6)对于不等式xf' (x) f(x)>0(或<0).构造函数F(x) = x(x* 0)；(7)对于不等式 xf' (x) + nf(x)>0(或 <0).构造函数 F(x) = xnf(x);f x(8)对于不等式xf (x) nf(x)>0(或<0).构造函数F(x)=V x(x* 0);(9)对于不等式 f' (x) + f(x)

19、>0(或<0).构造函数 F(x) = exf(x);f x(10)对于不等式f' (x) f(x)>0(或<0).构造函数F(x)=T；e(11)对于不等式 f' (x) + kf(x)>0(或<0).构造函数 F(x) = exf(x); f x(12)对于不等式 f' (x) kf(x)>0(或<0).构造函数 F(x)=ekr；(13)对于不等式f(x) + f' (x)tan x>0(或<0).构造函数F(x) = sinxf(x);f x(14)对于不等式 f(x) - f (x)tanx&

20、gt;0(或<0).构造函数 F(x)=7j sinx(sinx# 0);(15)对于不等式f' (x) f(x)tan x>0(或<0).构造函数F(x) = cosxf(x);f x(16)对于不等式 f (x) + f(x)tanx>0(或<0).构造函数 F(x)= cosx(cosx#0).调研四方程思想在解题中的应用【例4】(1)20xx福建龙岩质检若延 % ”一 . 、(0.兀虑L3sin %+ 2cos%= 2.则tan2一等于()1B.23 D.22A.23；3C.2解析：: 3sin %+ 2cos %= 2.a a, a6sin &#

21、163;cos"2"+ 2 cosZ sin2 2=2.aasin2 "2"+ cos2-2"6tan 2 + 2 2tan2 ? =2.atan2"2+1 3tany + 1-tan2-2 = tan2 22 + 1.-% 一 r、3解得tan=。或.- 、一. _又(0.兀) . tan2",。., 0t 3上小心一tanT = 2.故选 D.答案：D(2)20xx河北省乂勤质检将函数y=ex(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点。顺时针旋转 角 昭第一次与x轴相切则角 柄足的条件是()A . esin 0= cos 0

22、B. sin 0= ecos0C. esin0= 1D. ecos0= 1解析：设直线丫=卜乂与丫= ex相切.切点为(xo.y。). y' =ex.k= exo.又 exo= kxo./. k= kxo.解得 x0=1.k= e.即 tan 0= e； sin 0= ecos 0.故选 B.答案：B(3)20xx河北衡水中学二调等差数列an的前n项和为Sn.若a?+ a7 aio= 5.aii a4=7.则Si3=( )A. 152B. 154C. 156D. 158解析：设公差为d.则由已知可得a1 d = 5,7d=7,解得a1 = 6, d=1,c “ 八13X 12 ,小八 .,.813=13X6+2-=156.故选 C.答案：C一一. 、.，. x2 y2(4)20xx四川省x>而二诊双曲线C： 02右=1(a>0.b>0)的左、右焦点分别为F1.F2.过F1的直线与圆x2+y2 = a2相切.与C的左、右两支分别交于点A.B.若|AB|=|BF2|.则C的离心率为（）A. .5+2 3C. 13B.