2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学(理)试题及答案

1、2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学(理)试题一、单选题1 .设集合 A x|2x 2i因为L上1 i ,z 1 , B y |y log3x,x A ,则 3bA()A. 0,1B, 0,1C. 0,1D. 0,1【答案】B【解析】 先化简集合A,B,再求6b A得解.【详解】由题得 A x|2x1 20 x|x 1 , B y|y 0 .所以 eBA x| 0 x 1.故选：B本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求 法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平一 1 2i2 .已知复数z满足一11 i ,则|Z ()第2页共26页

2、包B.逑 C逸222d. V3【答案】C , 1 2i【斛析】将1 i化为zz【详解】1 2i后，两边取模即可求得答案1 i所以z1 2i1 i所以1z|号1篙票噂乎 故选：C1 2i，不需要本题考查了复数的模的运算化为z 1后，两边取模，根据模的运算性质求解1 i进行复数的除法运算，这样可以减少运算，本题属于基础题.一x0.23 .已知函数 f(x) 2 ,若 a f 2, b f 2 ,c f log2 5，则()A . av bv cC. bvav cD. avcvb【答案】A【解析】由于f(x) 2x为增函数，故只需判断f(x)中自变量的大小关系即可.【详解】由题，f32x 为增函数，

3、且 20.2212,2log2 4 log 2 5,故 2022 10g 25,所以f 20.2 f2 f log25 ,故 abc.故选： A.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性,当 f (x) 为增函数时,自变量越大则函数值越大.4我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法 .比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币(质量较轻)，把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币(质量较轻)，如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最

4、少次数为()A 2B 3C 4D 5【答案】B【解析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3 组，然后将有问题的一组再分为3 组，再将其中有问题的一组分为3 ，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27 枚硬币分为三组，每组9 枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3 枚，任取2 组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组， 每组 1 枚， 取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的

5、一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3 次天平.故选： B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.5.如图，直线1的解析式为y=-x+4,它与x轴和y轴分别相交于 A, B两点.平行于第 2 页 共 26 页直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒 1个单位长度的速度运动.它与x轴和y轴分别相交于 C, D两点，运动时间为t秒（0曝 4）以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E,O两点分别在 CD两侧）.若4CDE和4OAB的重合部分的面积为 S,则S与t之间的函数关系的图象大致

6、是A .C.0【解析】分别计算出04时，S与t之间的函数关系，再结合四个选项即第21页共26页可判断出答案.2时，S2t2,4时，S%22(2t4)23 2 -t28t 8,2分析四个选项可知，选C.故选:C本题考查了求分段函数的解析式，考查了函数的图象的识别，属于基础题.6 .如图所给的程序运行结果为S 41，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）D. k 6?【解析】程序运行结果为S 41,执行程序，当k 6时,判断条件成立，当k 5时,判断条件不成立，输出S 41,即可选出答案.根据程序框图，运行如下初始 k 10, S 1,判断条件成立，得到S1 1011,k109;判断条件成立，得到

7、S1120,k8;判断条件成立，得到S2028,k7;判断条件成立，得到S2835,k6；判断条件成立，得到S3541,k5;判断条件不成立，输出S 41，退出循环，即k6符合题意.故选：B.本题考查了程序框图的识别与判断，弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键，考查了学生的推理能力，属于基础题.7,下列判断正确的是（B.函数C.当2"是'ln(x 3)f(x)x2 90”的充分不必要条件R时，命题若sin sin ,则”为真命题x 0, 2019x 2019 0”的否定是0, 20192 2019 0”求解对数不等式之后即可考查选项A是否正确，利用换元法可确定选项

8、B中函数的最小值，利用原命题与逆否命题的关系可判断C选项是否正确，否定全称命题即可确定选项D是否正确.【详解】 逐一考查所给命题的真假:对于选项A：由ln(x 3) 0可得0 x 3 1,即3 x 2,故x2"是ln(x 3) 0”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题;对于选项b：令t7X29 t由对勾函数的性质可知函数fi .八八io- t 3单调递增，其最小值为 f 3 一，则t3题中的命题为假命题;对于选项C：考查其逆否命题:,贝U sin sin很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题;对于选项D：命题“x 0, 2019x 2019 0”的否定是“x。 0,2019x0

9、 2019 0”，则题中的命题为假命题;故选：C.当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断:一个命题的否定与原命题肯定一真一假:原命题与其逆否命题同真假r r、8.若两个非零向量a , b满足B. 一2C.r rb与v b的夹角是解得:va先将条件平方，进而得2 a平方得:r a b2rb023a2varbvavavar a b2v2r bb03a22vb2Va利用夹角公式求解即可b2a2 2vb b2 4v2，r r2所以向量v b与v b的夹角是至.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，利用向量的数量积求向量的夹角，本题的解题关键是将条件平方得向量的长度

10、关系及数量积的值，属于基础题9.如图，宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝梗不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿 爬”且乙不模仿 扶”的概率是()7B. 一12D._512【解析】 依题意，基本事件的总数为4 .A424,设事件A表示甲不模仿 爬 且乙不模仿32扶，则事件A包含1 A3

11、 2 2A2 14个基本事件，故 P (A)可求.【详解】依题意，基本事件的总数为A44 24,设事件A表示甲不模仿 爬”且乙不模仿 扶”,若甲模仿 扶”，则A包含1 A3 6个基本事件；若甲模仿 捡”或顶”则A包含2 2 A2 8个基本事件,综上A包含6+8=14个基本事件,一、，147所以P (A)24 12故选B.本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题. 22一 x y10.设F2是双曲线C： 4 1（a 0，b 0）的右焦点，。为坐标原点，过F2的直线 a b交双曲线的右支于点 P, N,直线PO交双曲线C于另一点M,若|MF2| 3PF2，且MF2N 60 ,则双曲

12、线C的离心率为（）A. 3B. 2C.哼口. ¥【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为 F1,则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得MFi a, MF2I 3a ,在 MF 1F2中利用余弦定理得出【详解】设双曲线的左焦点为 F1,由双曲线的对称性可知四边形 MF1|PF2 , MF1/PN .设 PF2m,则 | MF21 3m ,2a MF2 MF1 2m,即 MF1 a, |MF2 3a MF2N 60 ,F1MF2 60 ,又 FE 2c,在MFF2中，由余弦定理可得：4c2 a2 9a2 2 a27即 4c 7a ,2,a 4.双曲线的离心率e c 五a 2故选D.【

13、点睛】a, c的关系即可求出离心率.MF2PF1为平行四边形.3a cos60 ,本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题.11.设函数f (x)ex 2asin x , x0,有且仅有一个零点,则实数a的值为()A-任彳B.C.得到函数g(x)先由题意得到方程x2a在 x sinx0,上仅有一个实根;x令 g(x) , sinxxeg(x)与直线y 2a在xsinxx单调性，求出最值,sinx因为函数f (x) ex 2asin x ,所以方程2asin x 0 在 x0,上仅有一个交点；用导数的方法判断结合图像，即可得出结果x 0, 有且仅有一个零点;

14、0, 上仅有一个实根;x一、 e即方程sinx2a在 x 0,x .e上仅有一个头根；令 g(x) ,sinx则函数g(x)x与直线y2a在x 0,上仅有一个交点;因为g (x)x xe sin e cosx2sin xex sin2sincosx ，由 g (x) 0 得 sincosx0,因为由 g (x) 0 得 sincosx0,因为0,0,所以，函数g(x)sinx在0,4上单调递减，在上单调递增;因此 g (x)minsin 一4作出函数g(x)xesinx的大致图像如下:0,上仅有一个交点,一口2 .所以2a8濡、.2e"记得a三P故选B【点睛】本题主要考查利用导数研究

15、函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型12.在三棱锥 A BCD中， BAC BDC 60 ,二面角A BC D的余弦值为-,当三棱锥A BCD的体积的最大值为 Y6时，其外接球的表面积为（）34A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角A BC D的平面角为/AMD;根据题意可知当 AB AC, BD CD时，三棱锥A BCD的体积最大。根据体积的 最大值可求得 BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积。【详解】如图，设球心 O在平面ABC内的射影为Oi,在平面BCD内的射影为。2则二

16、面角 A BC D的平面角为/AMD点A在截面圆O1上运动，点D在截面圆02上运动，由图知，当 AB AC, BD CD时，三棱锥 A BCD的体积最大，此时 ABC与 BDC是等边三角形设BC a ,则AMDMS BCD3 a24h AM sin(AMD),6a3VA BCDS DBC h3 2 3 a12_3解得a J3,所以DM 21DO2 1 , 02M ,设 AMD 222，1则 cos2 2cos 1 3解得tan 2 002 O2M tan球O的半径R Jdo" oo； 12所求外接球的表面积为 S 4 R2 6故选B.【点睛】进而求得表面本题考查了三棱锥外接球的综合应

17、用，根据空间几何关系求得球的半径,积，对空间想象能力要求较高，属于难题。、填空题x 113.已知实数x、y满足线性约束条件y 1 则目标函数z 2x y的最大值是x y 4【解析】 在直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域，平移直线y 2x,在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可求出目标函数的最大值在直角坐标系内，不等式组所表示的平面区域如下图所示:平移直线y2x当直线经过点B时直线在纵轴上的截距最大.点B的坐标是方程组x y 4 x 5B(5, 1),所以目标函数z 2x y的最大值是5 2 19.y 1 y 1故答案为：9【点睛】本题考查了求线性目标

18、函数最大值问题，正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.5 一一14.在等比数列an中，已知a2a5 2a3,且a4与2a7的等差中项为一，则8s4【答案】315.1【解析】 根据a2 a5 2a3，求出a42 ,又a4与2a7的等差中项为-,得到a7 -,44所以可以求出1q ，a1 16 ,即可求出8 2【详解】依题意，数列an是等比数列，a2a5 2a3 ,即a；q5 2a1q2,所以a42 ,又a4与5 _2a7的等差中项为-,所以45 r 12 2a7 2 ,即 a7 ,44所以q3所以q-,所以ai416 ,a48 x2q1 516 1 (2)S5 1- 311 -2故答案为

19、：31【点睛】本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。是曲线y f x的一条对称轴，则15.函数 f x 3sin x 4cosx ,若直线 x cos2 sin cos .,19)1,从而【答案】 25【解析】引入辅助角，根据对称性的性质可得，sin(2，kz,结合诱导公式和二倍角公式可求得【详解】3 .4因为 f x 3sinx 4cosx5(sinxcosx),55人3 -4令 cos- ,sin-,贝U f (x) 5(sin xcos cosxsin ) 5sin( x ),因为直线x 是曲线y f x的一条对称轴，所以k 一 ,k Z,2所以 k 一 ,k Z

20、, 2所以 2 2k 2 ,k Z,3 c7所以 cos2 cos(2k 2 ) cos2 2cos212 (3)2 1 ,525sin cosIs"21-sin(2kc 、1. C2 ) - sin 2 sin cos 24 3125 525所以cos2sincos121925252519 故答案为：2925【点睛】本题考查了三角函数的辅助角公式，函数的对称性，诱导公式和二倍角公式，属于中档题.2216.F1、F2是椭圆xy 与 a2b2b 0的两个焦点，P为椭圆上的一点,如果 PF1F2的面积为1, tan PF1F2tan PF2F11【解析】 不妨设点P在x轴下万，根据tan

21、 PF|F2 , tan PF2F12,可得直线2PF1 ,直线PF2的斜率和方程，联立方程组成方程组解得 P的坐标，利用面积可以算出c Y3,将p的坐标代入椭圆方程，结合b22a2 c2,解方程组可得a2，根据a c舍去一个值即可得到答案不妨设点P在x轴下方，如图所示：i(xc),1.1因为tan PF1F2 2，所以kpF12，直线PF1的方程为：y因为 tan PF2F12,所以 kpF22，直线PF2的方程为：y 2(x c),1 (x c)22(x c)，解得4-c 354、，即 p( c, c),33(1)求角C;第23页共26页2c1,所以c 11, 2一一 ，一 ，1又PF1F

22、2的面积为1,所以一2所以P将p代入到2.3、, 丁,5,3.2得上_2a(等)23b21 ,又 b2所以2512a23(a24)1 -c 4，整理得12a50a27540,所以(3a25 2产215)0,解得3或a21215因为3，所以45人一舍去,12所以1515,所及a4'.152本题考查了直线方程的点斜式，考查了三角形的面积公式考查了椭圆的标准方程，考查了运算求解能力，利用直线PF1 ,直线PF2的方程解得点P的坐标，代入椭圆方程是解题关键，属于中档题.三、解答题17.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为abc,若coV £ 2(2)BM平分角B交AC于点M,且BM

23、 1,c 6 ,求cos ABM.【答案】(1) C ; (2) cos ABM 2【解析】（1）利用降次公式化简 cos2公b一，再用正弦定理、三角形内角和定理、 2c第32页共26页两角和的正弦公式进行化简，由此求得cosC的值，进而求得 C的大小.BC（2）设 ABM MBC ,求得CB,然后利用cos ABC 以及二倍角公AB式列方程，解方程求得cos ABM 的值.【详解】1 cosA(1)由题21 b.2 2ccosA b ccos Asin C sin Bsin( AC) sin AcosC cosAsinCsin AcosC 0又 A(0,)sin A0 cosC 0 C 2(

24、2) t己 ABM则 MBC在RtMCB 中,CB在Rt ACB中,cosABC即 2cos21cos6cosBC，即AB3曲一或4cos2cos本小题主要考查利用正弦定理解三角形,2 人3 (舍)cosABM考查二倍角公式和降次公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题18.在四棱锥P ABCD中，AD II1 一BC , AB BC CD 2 AD, G 是 PB 的中点,PAD平面ABCD.（I）求证：CD 平面GAC;（n）求二面角 P AG C大小的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（n）近5【解析】（I ）取AD的中点为O ,连结OP , OC , OB ,设OB交AC于H

25、,连结GH .根据题意可得到四边形 ABCO与四边形OBCD均为菱形，即可说明 CD AC,再由题意说明PO 平面ABCD ,即PO CD ,又GH P PO ,即可说明CD GH ,即可说明CD 平面GAC.（n ）取BC的中点为E ,以O为空间坐标原点，分别以uuru uuu uuu、, OE，OD，OP的万向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系uuu uuurO xyz.令ad 4,则可写出 AP , AG.即可求出平面 PAG的法向量n，再由（1）知平面AGC的法向量CDu,代入公式IV uuv|n CDcosvjuuiv即可求出二面角 P AG C的平面角的余弦值，方可求出

26、二面角H|cd|P AG C大小的正弦值.【详解】解：（I ）取AD的中点为O ,连结OP , OC , OB ,设OB交AC于H ,连结GH .1 _. AD II BC , AB BC CD -AD 2四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形OB AC , OB / CD CD ACPAD为等边三角形， O为AD中点PO AD.平面PAD 平面ABCD且平面PAD I平面ABCD AD .PO 平面PAD且PO ADPO 平面ABCDCD 平面ABCDPO CD H , G分别为OB , PB的中点 GH P POGH CD又 GH I AC HAC , GH 平面 GACCD 平面GAC(

27、n)取BC的中点为E ,以O为空间坐标原点，分别以uuru uuu uuuOE，OD，OP的万向为x设 AD 4,则 P 0,0, 2向，A 0, 2,0 ,向ODOWG. 1,73轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.uuu- uur、3 3 -AP0,2,2V3 , AG,-,V32 2r设平面PAG的一法向量n (x,y,z).v2y 2.3z 0,nAP0_ 3由vuuuvBq_n AG 0 x - y . 3z 0 22令 z 1,则 n 1,73,1.' 3,1,0 .v uuv 一.=n CD2'3'.15阍阿韭 Tuuir面角P

28、 AG C的平面角的余弦值 cos由(I )可知，平面 AGC的一个法向量CD面角P AG C大小的正弦值为乂105【点睛】本题考查线面垂直的证明、二面角的正弦值，其中证明线面垂直一般情况有两种思路： 一，根据线面垂直的判定定理，在平面内找两条相交直线与这条直线垂直；二、通过面 面垂直的性质定理，构造两平面垂直，且直线在平面内且垂直于两平面的相交直线，则 直线就垂直于另一个平面。二面角的正弦值一般通过向量法，先求其余弦值，再求正弦 值。属于中档题。19.设函数f(x)ax sin x,x (0,a为常数(1)若函数f x在0, 上是单调函数，求 a的取值范围;1 3(2)当 a 1 时，证明

29、f (x) -x . 6【答案】(1) (,01,) ; (2)证明见解析【解析】(1)对函数求导，单调分单调增和单调减，利用f x a cosx 0或f x a cosx 0在0,上恒成立，求得实数 a的取值范围;2(2)利用导数研究函数的单调性，求得结果(1)由 f x ax sinx得导函数 f x a cosx,其中 0 cosx 1.当a 1时，f x 0恒成立，故f x ax sinx在0,-上是单调递增函数，符合题意； 2当a 0时，f x0恒成立，故f x ax sinx在0,上是单调递减函数，符合题意；2当 0 a 1时，由 f x a cosx 0 得 cosx a,则存在

30、x00, 一,使得 cosx0 a .2当 0 x % 时，f x00 ,当 x 一时，2f x00,所以f x在0,x0上单调递减，在x0,-2上单调递增，故f x在0,- 上是不是单调函数，不符合题意 2综上，a的取值范围是,01,(2)由(1)知当 a 1 时，f x x sinx f 00,2即 sinx x ,故 sin2 二22f x1x3 ax sinx 1x3, x 0,6621 2a cosx 一 x 22 x 1 2a 1 2sin x2 22._x12a12x a22当a 1时，g x0,所以g x在0,2上是单调递减函数,12从而 g x g 00,即 f x -x3.

31、6【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目 20.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量 x （千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图I1日415 而7fl学仆 I 4 9S-7 6 5 4 3 3 2观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y a七和指x数函数模型y cedx分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归

32、方程为§ 96.54e0.2x，lny与x的相关系数r10.94 .1参考数据（其中 5 一）xi8uyii 1u-2 u8 2Ui i 18yii 182 yii 16.61 6185.52 e183.40.340.1151.5336022385.561.40.135（1）用反比例函数模型求 y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01）,并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本;(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出).根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为 0.8,签iT

33、10千件订单的概率为0.2;若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为 0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由参考公式：对于一组数据Ui, 1 , U2, 2 ,Un, n ,其回归直线斜率和截距的最小二乘估计分别为:nui i num jjn 222uinui 1而，相关系数nunui i1【答案】(1) $ 11 100 (2)见解析；(3)见解析.x1b.【解析】(1)首先可令u 一并将y a 转化为y a bu ,然后根据题目所给数据以及线性回归方程的相关计算出$以及

34、$,即可得出结果;(2)计算出反比例函数模型的相关系数r并通过对比即可得出结果;(3)可分别计算出单价为100元和90元时产品的利润，通过对比即可得出结果。一人1(1)令 u ，则 y因为360“45 ,所以8b?=8?“-8U183.4-8创0.34 4561:221.53- 8? 0.115? ui - 8ui=10.61二 100,11100x则$ y $u 45 100 0.34 11,所以 y 11 100u，所以y关于x的回归方程为1(2) y与的相关系数为: x61.0.616185.5610.9961.48Ui x nuy i 18822202Ui 8u y 8yi 1i 1因

35、为卜112| ,所以用反比例函数模型拟合效果更好，当 x 10 时，y 100 11 21 （元），10所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）当产品单价为100元，设订单数为x千件：因为签订9千件订单的概率为 0.8,签订10千件订单的概率为 0.2,所以 E（x） = 9?0.8 10?0.2 9.2,所以企业利润为100? 9.2 9.2? It00 21 = 626.8 （千元）， 桃.2当产品单价为90元，设订单数为y千件：因为签订10千件订单的概率为 0.3,签订11千件订单的概率为 0.7,所以 E（y） = 10?0.3 11? 0.7 10.7,00所以企

36、业利润为90? 10.7 10.7? U记 21 =638.3 （千兀），故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元.本题考查了线性回归方程的相关性质，主要考查了线性回归方程的求法、函数模型的对 比以及通过线性回归方程解决实际问题，考查了计算能力，是中档题。321 .已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点（1,0）,椭圆C1过点G 1,-抛物线C2的顶点为原点.求椭圆Cl和抛物线C2的方程；(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点， 过点P作抛物线C2的两条切线PA, PB,其 中A、B为切点.设直线PA, PB的斜率分别为ki, k2,求证：kik2为定值；若直线AB交椭圆Ci于

37、C, D两点，Sapab , Sapcd分别是 PAB , PCD的面积，试问：?理是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.SVPCD22【答案】(1)抛物线C2的标准方程为y2 4x椭圆Ci的方程为：土 L 1,(2)证明43_ 4见解析，有，最小值为一3【解析】(1)利用R 1可得抛物线的标准方程，根据c 1和点p在椭圆上列方程组可求2得a2和b2，从而可得标准方程；(2)利用 =0以及韦达定理可得结论；1q -d |AB|先求出直线过定点(1,0)，将问题转化为一皿 -2 即求 LB1得最SvPCD1d | CD | |CD | |CD I小值，当直线AB的斜率存在时，联立直

38、线与抛物线，利用弦长公式求出I AB I和|CD |,然后求比值，此时大于4,当直线AB的斜率不存在时，直接求出| AB |和|CD |可得比值为 34一 .从而可彳#结论.3【详解】(1)因为抛物线C2有相同的焦点(1, 0),且顶点为原点，所以-21,所以P 2 ,4 0,第33页共26页所以抛物线C2的标准方程为y2 4x,2设椭圆方程为二2a24 1,则 c b222a b 121且 19，解得a-21a 4b4,b2 3,22所以椭圆C1的方程为：左匕 1.432(2)证明：设P(巾)，过点P与抛物线y4x相切的直线为y tk(x 1),由 y2t k(xy 4x4tk1)2 4，消

39、去x得y - y k,4 2 4tc由 二 ( )4( 4) 0 得 k2 tk 1 0,k k则小21.设 A(xi, yj B(x2, y2)221由得 yi , y2'一，则 xi2, x2kik2ki所以直线AB的方程为y yi2 _2y2yL(x Xi),所以 y yi A一kT(x 1), x2 为_1_ _1_k2 k7r2，、- 八、即y (x 1),即直线AB恒过定点(1,0),ki k2AB的距离为d ,1-lABI |AB|id |CD| 2D |当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y k(x 1),设点P到直线所以SPAB SVPCD设 C(x3, y3), D(x4, y4),由 y24xy k(x，消去y得k i)2x2 (2k2 4)x k2 0,第39页共26页k 0 时，0恒成立,|AB| ,(1k2)% %)2(1 k2)216 16k2k42y3 k(x1消去y得(3i)4(1 k2)k222_224k )x 8kx 4k 12 0 , 0恒成立，则 |CD| .(1 k2)